Mecânica Técnica
Aula 7 – Equilíbrio do Ponto
Material em Três Dimensões
Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Aula 7
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Tópicos Abordados Nesta Aula
Equilíbrio do Ponto Material de Sistemas
Tridimensionais.
Diagrama de Corpo Livre de Sistemas
Tridimensionais.
Equações
de Equilíbrio de Sistemas
Tridimensionais.
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Formulação Matemática para
Equilíbrio em Três Dimensões
Para o Equilíbrio é necessário que:
r
∑F = 0
r
r
r
∑ Fx i + ∑ Fy j + ∑ Fz k = 0
∑F
∑F
∑F
x
=0
y
=0
z
=0
A solução é obtida por um sistema
de três equações e três incógnitas
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o
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Exercício 1
1) Determine a intensidade e os ângulos diretores da força F
necessários para o equilíbrio do ponto O.
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Solução do Exercício 1
Vetor unitário e Vetor posição:
r
rOB
r
u OB =
rOB
r
r
r
r
rOB = −2i − 3 j + 6k m
rOB = 2 2 + 3 2 + 6 2
rOB = 7 m
Determinação das forças:
r
r
r
r
F = Fx i + Fy j + Fz k N
v
r
F1 = (400 j ) N
r
v
F2 = (−800 k ) N
v
r
F3 = F3 ⋅ u OB
r
u OB
r
r
r
r
− 2i − 3 j + 6 k
u OB =
7
r
r
r
= −0,286i − 0,429 j + 0,857k
v
r
F3 = F3 ⋅ u OB
r
v
r
r
F3 = 700 ⋅ (−0,286i − 0,429 j + 0,857k )
r
v
r
r
F3 = (−200i − 300 j + 600k ) N
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Solução do Exercício 1
Condição de equilíbrio:
r
∑F = 0
r r
r
r
F1 + F2 + F3 + F = 0
r
r
r
r
r
r
r
r
400 j − 800k − 200i − 300 j + 600k + Fx i + Fy j + Fz k = 0
∑F
∑F
∑F
x
=0
y
=0
400 − 300 + Fy = 0
z
=0
− 800 + 600 + Fz = 0
r
r
r
F = (200i − 100 j + 200k )N
Módulo de F:
F = 200 2 + 100 2 + 200 2
Sistema de equações:
− 200 + Fx = 0
Vetor força F:
Fx = 200 N
F = 300 N
Fy = −100 N
Fz = 200 N
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Solução do Exercício 1
Ângulos diretores de F:
r
r
F
uF =
F
r
r
r
r
200i − 100 j + 200k
uF =
300
r
 200  r  100  r  200  r
uF = 
k
i − 
j +
 300   300 
 300 
 200 

 300 
α = 48,2°
 − 100 

 300 
β = 109°
 200 

300


γ = 48,2°
α = arccos
β = arccos
γ = arccos
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Exercício 2
2) A caixa de 100kg mostrada na figura é suportada por três cordas,
uma delas é acoplada na mola mostrada. Determine a força nas
cordas AC e AD e a deformação da mola.
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Solução do Exercício 2
Determinação das forças:
v
r
FB = ( FB i ) N
r
v
r
r
FC = ( FC ⋅ cos120°i + FC ⋅ cos135° j + FC ⋅ cos 60k )
r
v
r
r
FC = (−0,5 ⋅ FC i − 0,707 ⋅ FC j + 0,5 ⋅ FC k ) N
r
r
W = ( −981k ) N
v
r
FD = FD ⋅ u AD
Vetor unitário e Vetor posição:
r
rAD
r
u AD =
rAD
r
r
r
r
rAD = −1i + 2 j + 2k m
rAD = 12 + 2 2 + 2 2
rAD = 3 m
r
u AD
r
u AD
r
r
r
− 1i + 2 j + 2k
=
3
r
r
r
= −0,333i + 0,667 j + 0,667 k
v
r
FD = FD ⋅ u AD
r
v
r
r
FD = FD ⋅ ( −0,333i + 0,667 j + 0,667 k )
r
v
r
r
FD = ( −0,333 ⋅ FD i + 0,667 ⋅ FD j + 0,667 ⋅ FD k ) N
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Solução do Exercício 2
Condição de equilíbrio:
r
F
∑ =0
r
r
r
r
FB + FC + FD + W = 0
r
r
r
r
r
r
r
r
FB i − 0,5 ⋅ FC i − 0,707 ⋅ FC j + 0,5 ⋅ FC k − 0,333 ⋅ FD i + 0,667 ⋅ FD j + 0,667 ⋅ FD k − 981k = 0
Sistema de equações:
∑F
∑F
∑F
x
=0
FB − 0,5 ⋅ FC − 0,333 ⋅ FD = 0 (I)
y
=0
− 0,707 ⋅ FC + 0,667 ⋅ FD = 0 (II)
z
=0
0,5 ⋅ FC + 0,667 ⋅ FD − 981 = 0 (III)
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Solução do Exercício 2
Solução das equações:
De (II):
0,707 ⋅ FC
FD =
0,667
FD = 1,059 ⋅ FC (IV):
Em (IV):
FD = 1,059 ⋅ 813
FD = 862N
Em (I):
FB − 0,5 ⋅ 813 − 0,333 ⋅ 862 = 0
Substituindo (IV) em (III):
FB = 406,5 + 287,04
0,5 ⋅ FC + (0,667 ⋅ (1,059 ⋅ FC )) − 981 = 0
FB = 693,7 N
0,5 ⋅ FC + 0,706 ⋅ FC − 981 = 0
Deformação da mola:
1,207 ⋅ FC − 981 = 0
981
FC =
1,207
FB = k ⋅ s
FC = 813N
693,7 = 1500 ⋅ s
s=
693,7
1500
s = 0,462 m
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Exercícios Propostos
1) Determine a intensidade e o sentido de F1 necessários para manter
o sistema de forças concorrentes em equilíbrio.
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Exercícios Propostos
2) Determine as intensidades de F1, F2 e F3 para a condição de
equilíbrio do ponto material.
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Exercícios Propostos
3) Determine as intensidades de F1, F2 e F3 para a condição de
equilíbrio do ponto material.
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Exercícios Propostos
4) Determine a intensidade e o sentido de P necessários para manter
o sistema de forças concorrentes em equilíbrio.
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Exercícios Propostos
5) Os três cabos são usados para suportar a luminária de 800N.
Determine a força desenvolvida em cada cabo para a condição de
equilíbrio.
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Solução de Exercícios.
Equilíbrio em Três Dimensões.
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