Breve Sessão de Trabalho. Equações Diferenciais
Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias
• Definição: São equações que estabelecem uma relação entre a
variável independente x, a função desconhecida y = f (x) e as
suas derivadas y ′ , y ′′ , ..., y (n) .
• Exemplos:
– y ′ + 2y − 4x = 0
– y ′′′ − senx = 0
• Motivação: As equações diferenciais estão presentes na
formulação diferencial de modelos que representam fenómenos
estudados em diversas áreas.
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Algumas aplicações das equações diferenciais
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Algumas aplicações das equações diferenciais
Pursuit problem
p
′
y = y/ a2 − y 2
Cable of a suspension bridge
p
′′
y = k 1 + y ′2
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Algumas aplicações das equações diferenciais
Current I in an
RL circuit
LI ′ + RI = E
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Algumas aplicações das equações diferenciais
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Algumas aplicações das equações diferenciais
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O que se pretende quando se resolve uma equação diferencial?
• Pretende-se encontrar a função desconhecida y.Uma vez que as
equações diferenciais envolvem derivadas, para encontrar a sua
solução vamos ter de as integrar!
• A solução de uma equação diferencial estabelece uma relação
entre as variáveis que não contem quaisquer derivadas.
• Quando a solução se obtem por integração, regra geral, surgem
constantes arbitrárias, chama-se solução geral.
• Quando as constantes arbitrárias são fixadas, obtemos uma
solução particular.
• Finalmente, quando se encontra uma solução que não se obtem a
partir da solução geral, diz-se encontrada uma solução singular.
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Exemplos:
y
′
• y −
=0
x
y
′
• y −
= 0 para x = 1 e y = 0.
x
Tipos de equações diferenciais ordinárias de 1a ordem.
• Existem vários tipos e a resolução da equação depende do tipo.
• Vamos apenas ver as mais simples que são as de variáveis
separadas ou de variáveis separáveis.
• y ′ = f (x)g(y)
• f1 (x)g1 (y) + f2 (x)g2 (y) = 0
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Exercícios
• y′ = x
• y ′ + 2xy = 0
•
y′
1
+ y=0
x
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