A
N
O
V
A
χ2
Universidade dos Açores
Licenciaturas em Biologia e Biologia Marinha
Bioestatística
Aula Prática
Teoria das Probabilidades
Objectivos
Descrever espaços amostrais. Realizar operações entre acontecimentos. Calcular o número de
resultados possíveis através da análise combinatória. Aplicar alguns teoremas da teoria das
Probabilidades.
Exercícios
(resolver na aula os exercícios a negro)
1. Descreva os seguintes espaços amostrais associados a diversas experiências aleatórias, por
extensão ou por compreensão, assinalando o método utilizado.
1.1. Acontecimentos resultantes do lançamento de um dado equilibrado.
1.2. Acontecimentos resultantes do lançamento de um dado equilibrado e de uma moeda.
1.3. Fenótipos resultantes de uma amostragem do tipo de sangue pelos sistemas ABO e Rh na
população humana.
1.4. Genótipos resultantes do cruzamento de uma mulher portadora do alelo da hemofilia com
um homem não-hemofílico.
1.5. Medidas de larvas de tritão de crista, sabendo que o valor mínimo é superior a 0,5 cm e o
máximo é inferior a 10 cm.
1.6. Número de lagartas-da-pastagem por metro quadrado, admitindo um limite máximo de 60
larvas.
2. Considere a extracção aleatória de uma carta de um baralho com 52 cartas.Tendo em conta
os acontecimentos A = {dama}, B = {ouros}, C = {2}, descreva os acontecimentos
seguintes (B' é o acontecimento complementar de B).
B-A
A∪B
B∩C
C' ∩ A
(A ∪ B)'
B' ∪ A
C' - A
A∩B∩C
A ∩ B'
3. Numa espécie de borboleta existem 4 padrões alares diferentes para os machos e dois para
as fêmeas. Quantos cruzamentos diferentes é possível realizar?
4. Quantos tripletos diferentes é possível formar no DNA?
5. Uma célula diplóide contém 23 pares de cromossomas, mas apenas um membro de cada
par se encontra em cada gâmeta. Quantos gâmetas diferentes é possível formar?
6. De quantas maneiras diferentes se podem distribuir 5 plantas?
6.1. Em fila?
6.2. Em círculo?
7. Quantas saladas diferentes podemos fazer com cinco verduras diferentes, considerando que
uma salada pode ter entre uma e cinco verduras?
8. Em 20 amostras de 1m2 realizadas num pasto, encontrou-se lagarta-das-pastagens em 15
amostras. Quantas sequências de 20 amostras são, em teoria, possíveis?
Bioestatística
Probabilidades
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9. De quantos modos podem ser permutados 12 amino-ácidos num péptido com 10
elementos? E se o pépido for circular?
10. Um decapéptido contém 4 unidades de um amino-ácido, 3 de outro, e uma de cada um de
outros três amino-ácidos. Quantas sequências diferentes são possíveis?
11. Queremos marcar um tritão-de-crista cortando as falanges de dois dedos em diferentes
patas. Quantas combinações são possíveis, sabendo que o animal tem 4 dedos nas patas
anteriores e 5 nas posteriores? E se marcarmos dois dedos em cada pata?
12. Se P(A) = 0,7 e P(A∩B) = 0,3 determine P(B).
12.1. Sabendo que A e B são acontecimentos independentes.
12.2. Sabendo que P(A | B) = 0,3.
13. A labaça, uma infestante das pastagens, é infectada por dois fungos, com a seguinte
probabilidade:
Ferrugem
Sem ferrugem
Necrose
0,1
0,4
Sem necrose
0,2
0,3
13.1. Qual a probabilidade de uma planta com necrose vir a desenvolver ferrugem? Os
acontecimentos são independentes?
14. A tabela seguinte apresenta as probabilidades de, numa dada população, um indivíduo
escolhido aleatoriamente ser classificado de acordo com os critérios A = {é fumador} e
B= {tem cancro}.
Fumador
Não Fumador
Ter cancro
0,5
0,1
Não ter cancro
0,2
0,2
14.1. A e B são acontecimentos independentes?
14.2. Determine as seguintes probabilidades: P(B'|A), P(B|A'), P(B'|A'), P(A|B), P(A-B).
15. Numa espécie de insectos em que a razão sexual é de 3 machos para 1 fêmea, a
probabilidade de um insecto doente ser fêmea é de 2/3 e, entre as fêmeas, a probabilidade
de estar doente é 1/2.
15.1. Complete a função de probabilidade conjunta. A doença é independente do sexo?
16. Numa ilha, a população humana é originária de três países A, B e C, nas seguintes
proporções: 70%, 25% e 5%. Um estudo genético revelou que um alelo ocorre em 8%,
5% e 70% dos indivíduos das populações A, B e C, respectivamente. Qual a origem mais
provável de um indivíduo em que foi detectado o referido alelo.
17. Um teste é capaz de detectar uma doença rara em 97% de todos os indivíduos infectados.
O teste é positivo para 5% dos indivíduos saudáveis e para 10% de indivíduos com outra
doença menos grave. A percentagem de indivíduos dos três tipos na população é 1%,
96% e 3%, respectivamente. Calcular a probabilidade de um indivíduo ter a doença se o
teste é positivo.
Bioestatística
Probabilidades
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