RESOLUÇÃO DA AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA
– 3o ANO DO ENSINO MÉDIO –
DATA: 18/09/10
PROFESSORES: CARIBÉ E ROBERTO CIDREIRA
Sobre a função f(x) = ax2 + bx + c, sabe-se que:
I)
Im(f) = ] – ∞; 18 ] ⇒ yv = 18
II) Eixo de simetria x = 1 ⇒ xv = 1
f(1) = 18
III) 4 é raiz de f ⇒ – 2 também é raiz de f.
Forma fatorada
f(x) = a . (x + 2) . (x – 4)
f(1) = a . (1 + 2) . (1 – 4) = 18 ∴ a = – 2
Logo, f(x) = – 2 . (x + 2) . (x – 4) e f(2) = – 2 . (2 + 2) . (2 – 4) = 16
f(2) = 16
O conjunto solução da inequação
x +1 7 − x
≤
possui exatamente quantos números inteiros?
x−2 x−4
x +1 7 − x
−
≤0
x−2
x−4
(x + 1) . (x − 4) − (7 − x ) . (x − 2) ≤ 0
(x − 2) . (x − 4 )
x 2 + x − 4x − 4 − 7x + x 2 + 14 − 2x
≤0
x 2 − 6x + 8
2 x 2 − 12 x + 10
≤0
x 2 − 6x + 8
2
2x – 12x + 10 = 0
2
x – 6x + 5 = 0
x = 1 ou x = 5
++
+
1
–
5
2
x – 6x + 8 ≠ 0
x≠2ex≠4
+
+
2
–
4
S = [1; 2[U]4;5]
Logo, a inequação tem apenas 2 soluções inteiras.
O dono de uma loja combinou com cada um de seus vendedores a seguinte tabela de comissões a
partir do total vendido no mês:
Total vendido no mês
R$ 0,00
R$ 2.000
R$ 5.000
R$ 10.000
R$ 20.000
Acima de R$ 20.000
Comissão
R$ 0,00
R$ 50
R$ 200
R$ 500
R$ 1.500
10% sobre o total das vendas
Ele combinou ainda que para valores de venda abaixo de R$ 20.000 e que não estivessem na tabela
acima seria usado o método da interpolação linear para o cálculo da comissão. José e Maria são
casados e ambos vendedores desta loja. No mês passado José vendeu um total de R$ 4.500 e Maria
vendeu R$ 8.000.
Quanto os dois ganharam juntos de comissão?
José
Maria
2000 ----- 50
5000 ----- 200
4500 ----- x
8000 -----
5000 ----- 200
10000 ----- 500
y
5000 − 2000
4500 − 2000
=
200 − 50
x − 50
10000 − 5000
8000 − 500
=
500 − 200
y − 200
3000
2500
=
150
x − 50
5000
3000
=
300
y − 200
x – 50 = 125
y – 200 = 180
x = 175
y = 380
Logo, x + y = 555
R$ 555
A Empresa Caribe Holding S.A. fabrica e vende um determinado produto. Sendo Q o número de
unidades fabricadas e vendidas e sendo P o preço de venda de cada unidade, sabe-se que o custo de
fabricação é dado por C = 2000 + 30 Q e a quantidade vendida é dada por Q = 1000 – 10P.
Calcule o preço de venda para o qual a receita é máxima.
R=P.Q
R = P . (1000 – 10 P)
2
R = 1000 P – 10 P
Logo, a receita será máxima quando P = xv =
−b
− 1000
=
= R$ 50
2a
− 20
Calcule o preço de venda para o qual o lucro é máximo.
L=R–C
2
L = 1000 P – 10 P – 2000 – 30 Q
2
L = 1000 P – 10 P – 2000 – 30 . (1000 – 10 P)
2
L = 1000 P – 10 P – 2000 – 30000 + 300 P
2
L = – 10 P + 1300 P – 32000
Logo, o lucro será máximo quando P = xv =
−b
− 1300
=
= R$ 65
2a
− 20
2
Sabendo que a função quadrática f(x) = ax + 4x + c admite máximo 5 no ponto de abscissa 1, então
3a + 2c é igual a:
xv = 1 ⇒
−b
=1
2a
−4
=1
2a
a=−2
f(1) = 5 ⇒ a + 4 + c = 5 ⇒ – 2 + 4 + c = 5 ⇒ c = 3
Logo, 3a + 2c = 0
Sobre equações e inequações, no universo real, considere as seguintes afirmativas:
I)
Falsa.
II) Falsa.
III) Falsa.
Todas as afirmativas são falsas.
Um produto foi comprado em 15 prestações mensais. Cada prestação era reajustada passando a valer
2% a mais que a prestação do mês anterior e a primeira prestação foi de R$ 1.000,00.
Sabendo que (1,02)15 = 1,346 calcule o valor total pago pelo produto.
Soma da P.G.
Sn =
(
)
(
)
15
a1 . qn − 1
1000 (1,02 ) − 1
1000 . (1,346 − 1)
=
=
= R$ 17.300
q−1
1,02 − 1
0,02
O gráfico abaixo representa uma função quadrática f de vértice V. Determine f(12).
y
7
Forma fatorada
y
f(x) = a . (x – 3) . (x – 7)
f(0) = a . (0 – 3) . (0 – 7) = 7 ∴ a =
f(12) =
1
. (12 − 3 ) . (12 − 7 ) = 15
3
1
3
7
5
3
7
x
V
Com sete frutas diferentes, o número de modos distintos de preparar uma salada contendo quatro ou
mais dessas frutas é:
C7;4 + C7;5 + C7;6 + C7;7 =
= 35 + 21 + 7 + 1 =
= 64
O origami é uma tradicional arte japonesa de criar seres ou objetos
através de dobras geométricas de uma peça de papel, sem cortá-la ou
colá-la, com o objetivo de desenvolver a atenção, a coordenação motora
e, consequentemente, o cérebro.
Para fazer um objeto, utilizou-se uma peça quadrada de papel,
representada na figura, sendo que a primeira dobra foi feita levando-se o
canto inferior esquerdo do quadrado a um ponto P da diagonal AC, de tal modo que o triângulo MNP
fosse isósceles e o MNC, equilátero.
2
2
Tendo o triângulo MNP área igual a 32 cm , o valor que mais se aproxima da área, em cm , da peça de
papel utilizada é:
SMNP = 32
x2
= 32
2
x 2
x=8
x
Aplicando o teorema de Pitágoras no ∆ CBN temos:
(
2
2
y + (y − 8 ) = 8 2
2
x
2
)
2
y + y – 16y + 64 = 128
x
x 2
y
x 2
x
y–x
2
2y – 16y – 64 = 0
2
y – 8y – 32 = 0
∆ = 64 + 128 = 192
y=
8+8 3
=4+4 3
2
8±8 3
2
8−8 3
=4−4 3
2
y =4+4 3
Área do quadrado:
(
Sq = 4 + 4 3
2
)
= 16 + 32 3 + 48
(
= 64 + 32 3 = 32 . 2 +
)
3 ≅
≅ 32 . (3,7 ) ≅ 118,4 cm 2
2
o
Sendo f(x) = ax + 8x + a uma função do 2 grau cuja imagem é o intervalo ]–∞; 6] e g(x) = – 4x + b uma
o
função do 1 grau que passa pelo ponto (0; 16), podemos afirmar:
yv = 6
−∆
=6
4a
2
– (64 – 4a ) = 24a
2
4a – 24a – 64 = 0
2
a – 6a – 16 = 0
∆ = 36 + 64 = 100
8
6 ± 10
2
a=–2
–2
2
Logo, f(x) = – 2x + 8x – 2 e o seu gráfico é:
a=
y
6
4
1
2
x
3
–2
Se g(x) = – 4x + b passa pelo ponto (0; 16), então b = 16. Logo, g(x) = – 4x + 16 e o seu gráfico é:
y
16
4
x
(01) Falso, pois a + b = 14.
(02) Falso, pois xv = 2.
(04) Verdadeiro (vide gráfico).
(08) Verdadeiro (vide gráfico).
(16) Verdadeiro, pois g é sobrejetora e injetora.
(32) Verdadeiro, pois igualando as funções, temos:
2
– 2x + 8x – 2 = – 4x + 16
2
– 2x + 12x – 18 = 0
2
x + 6x + 9 = 0
∆ = 36 – 36 = 0
x=3
Logo, as duas funções têm um único ponto em comum e portanto g tangencia f.