Análise de Projectos
ESAPL / IPVC
Taxas Equivalentes
Rendas
Taxas Equivalentes
z
Duas taxas i e i’, referentes a períodos
diferentes, dizem-se equivalentes se,
aplicadas a um mesmo capital, produzirem
durante o mesmo prazo de tempo, o mesmo
valor acumulado.
Taxas Equivalentes
em regime de juro simples
i
Seja i uma taxa de período unitário.
0
1
i’
0
1/m
2/m
…
(m-1)/m
1
Fraccione-se este período unitário em
m partes iguais, por forma a que cada
novo período fique igual a 1/m do
período de i. Seja i’ a taxa de juro para
o novo período.
m é o número de vezes que o período da taxa i’ está contido no período da taxa i. Podemos então
dizer que:
Período de i
m=
Período de i’
De acordo com a definição, dizemos então que i e i’ são equivalentes se, durante o intervalo [0,1]
produzirem o mesmo valor acumulado.
Taxas Equivalentes
em regime de juro simples
z
Se o capital inicial for unitário, ou seja, C0=1, sabemos que:
1 + i Æ é o valor acumulado para C0=1 no final do período de i ;
1 + mi’ Æ é o valor acumulado para C0=1 no final de m períodos de i’ .
z
Como pretendemos que esses valores sejam iguais:
(1 + i) = (1 + mi’) D mi’ = i ou
i’ = i/m
z
Esta última expressão dá-nos a expressão para a equivalência de
taxas em regime de juro simples.
Taxas Equivalentes
em regime de juro composto
z
Partindo exactamente dos mesmos pressupostos anteriores,
teremos para o caso do regime de juro composto:
1 + i Æ é o valor acumulado para C0=1 no final do período de i ;
(1 + i’)m Æ é o valor acumulado para C0=1 no final de m períodos de i’ .
z
Como pretendemos que esses valores sejam iguais:
(1 + i) = (1 + i’)m Elevando ambos os membros a i/m obtemos mi’ = i ou
(1 + i)1/m = (1 + i’)
z
D
i’ = (1 + i)1/m - 1
Esta última expressão dá-nos a expressão para a equivalência de
taxas em regime de juro composto.
Rendas
z
z
z
Denomina-se por Renda um conjunto de
capitais que se vencem em momentos
equidistantes.
Chama-se de Termo da Renda a cada um
desses capitais.
E chama-se de Período da Renda ao
intervalo de tempo que decorre entre os
vencimentos de dois termos consecutivos.
Rendas – condição necessária
e condição suficiente
z
z
z
Não é condição necessária para que se fale
de uma renda que os capitais vencidos em
cada momento sejam iguais.
É condição suficiente para que se fale de
uma renda que o intervalo de tempo que
decorre entre o vencimento de dois termos
consecutivos (o período da renda) seja uma
constante.
Falamos assim de anuidades,
semestralidades, trimestralidades,
mensalidades, etc..
Classificação das Rendas
z
Quanto ao número de termos:
z
z
z
Renda Temporária – a que tem nº limitado de termos
Renda Perpétua – a que tem nº ilimitado de termos
Quanto à dependência de factores aleatórios:
z
z
Renda Certa – a disponibilidade dos termos é
absoluta
Renda Incerta – o vencimento dos termos está
condicionado por qualquer facto aleatório
Classificação das Rendas
z
Quanto ao momento a que são referidos os
seus Valores Actuais:
z
z
z
Renda Imediata – o Valor Actual é referido ao
momento que coincide com o início do 1º período.
Renda Diferida – o Valor Actual é referido a um
momento anterior ao início do 1º período.
Quanto à relação entre Período e Taxa:
z
z
Renda Inteira – o período da renda e o período da
taxa são coincidentes.
Renda Fraccionada – os períodos da renda e da taxa
não são coincidentes.
Classificação dos Termos das
Rendas
z
Quanto ao seu vencimento:
z
z
z
Termos Normais – aqueles que se vencem no fim do
período a que dizem respeito.
Termos Antecipados – aqueles que se vencem no
início do período a que dizem respeito.
Quanto ao seu valor:
z
z
Termos Constantes – aqueles que apresentam todos
o mesmo valor.
Termos Variáveis – aqueles que apresentam valores
desiguais.
Valor Actual de uma Renda
Imediata
1€
1€
0
1
2
...
t-1
t
t+1
1º Período
z
z
...
t+(n-1)
1€
t+n
Último Período
Seja a renda uma renda certa, temporária, imediata e inteira, com n termos normais
e unitários:
O Valor Actual (em t ) de cada um dos seus termos será:
(1+i)-1 ; (1+i)-2 ; (1+i)-3 ; ... ; (1+i)-(n-1) ; (1+i)-n ; ou seja, uma progressão
geométrica de razão (1+i)-1 .
z
Calcular o Valor Actual da renda não custa então mais do que calcular o somatório
daquela progressão.
Valor Actual de uma Renda
Imediata
z
O somatório de uma progressão geométrica é dado pela expressão:
a (1 − r n )
1− r
z
Em que a é o primeiro termo da progressão, r é a razão e n o
número de termos.
Então teremos:
−1
−n
−1
− ( n +1)
(
1 + i ) (1 − (1 + i ) ) (1 + i ) − (1 + i )
=
V.A. =
−1
−1
1 − (1 + i )
1 − (1 + i )
Multiplicando ambos os
termos da fracção por (1+i)
obtemos:
−1
− ( n +1)
−n
(
(
1 + i ) − (1 + i )
1 + i ) 1 − (1 + i )
V.A. =
=
−1
i
1 − (1 + i ) (1 + i )
z
Esta é a expressão que nos dá o valor actual de uma renda com as características
anteriormente indicadas, ou seja, dá-nos no fundo o Factor de Desconto de uma
Renda.
Valor Acumulado de uma
Renda Imediata
1€
1€
0
1
2
...
t-1
t
t+1
1º Período
z
z
...
1€
t+(n-1)
t+n
Último Período
Seja de novo uma renda certa, temporária, imediata e inteira, com n termos normais
e unitários:
O Valor Acumulado ou Futuro (em t ) de cada um dos seus termos será:
(1+i)n-1 ; (1+i)n-2 ; (1+i)n-3 ; ... ; (1+i)n-(n-1) ; (1+i)n-n ; ou seja, também uma
progressão geométrica de razão (1+i)-1 .
z
Calcular o Valor Acumulado desta renda não custa então mais do que calcular o
somatório daquela progressão.
Valor Acumulado de uma
Renda Imediata
z
Seguindo exactamente o mesmo raciocínio que o anterior:
n −1
n −1
−n
−1
(
1 + i ) (1 − (1 + i ) ) (1 + i ) − (1 + i )
=
V.F. =
−1
−1
1 − (1 + i )
1 − (1 + i )
Multiplicando ambos os
termos da fracção por (1+i)
obtemos:
−1
n −1
n
(
1 + i ) − (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) − 1
V.F. =
=
−1
i
1 − (1 + i ) (1 + i )
z
z
Esta é a expressão que nos dá o valor acumulado ou futuro de uma renda com as
características anteriormente indicadas, ou seja, dá-nos no fundo o Factor de
Capitalização de uma Renda.
Note-se ainda que capitalizando a expressão do Valor Actual durante n períodos, ou
seja, multiplicando-a por (1+i)n, se obtém a expressão do Valor Acumulado. Pode-se
assim afirmar que o valor actualizado de uma renda, capitalizado durante n períodos,
é igual ao valor acumulado da mesma renda, ao fim de n períodos.
Valor Actual e Acumulado de Renda
Imediata com Termos Antecipados
z
z
Os casos vistos anteriormente referiam-se a rendas com termos normais,
ou seja, com termos vencidos no fim de cada período.
No caso da renda possuir termos antecipados, ou seja, vencidos no
princípio de cada período:
z
O Valor Actual da Renda difere do V.A. do caso anterior pelo facto do primeiro
termo não dever ser actualizado (já que se vence no início da contagem de
tempo). Isso será o mesmo que fazer uma actualização a menos, ou seja, no
fundo usar o anterior valor actual e capitalizá-lo por um período – multiplicá-lo por
(1+i):
−n
V.A. =
z
1 − (1 + i )
i
(1 + i )
O Valor Futuro da Renda difere do V.F. do caso anterior pelo facto de faltar
capitalizar o último termo. Isso será o mesmo que fazer mais uma capitalização
de um período, ou seja, também multiplicar o anterior V.F. por (1+i):
n
(
1+ i) −1
(1 + i )
V.F. =
i
Valor Actual de Rendas
Diferidas
1€
1€
0
1
2
...
t-1
t
V.A. se termos
normais
z
t+1
...
t+(n-1)
1€
t+n
V.A. se termos
antecipados
Quer no caso do Valor Actual duma renda temporária, certa, inteira e diferida de t
períodos com n termos normais e unitários, quer no caso do Valor Actual de uma
renda temporária, certa, inteira e diferida de t+1 períodos com n termos antecipados
e unitários, a expressão a utilizar será:
1 − (1 + i )
v
i
−n
t
1
−1
, com v =
= (1 + i )
1+ i
t+n+1
Valor Acumulado ou Futuro de
Rendas Diferidas
1€
1€
0
1
2
...
t-1
t
t+1
...
1€
t+(n-1)
t+n
t+n+1
V.F. se termos
normais
z
Em ambos os casos, com termos normais e com
termos diferidos, o Valor Acumulado é
exactamente igual ao que seria no caso das
Rendas Imediatas:
V.F. se termos
antecipados
n
(
1+ i) −1
V.F. =
n
(
1+ i) −1
(1 + i )
V.F. =
No caso de termos normais
No caso de termos antecipados
i
i
Rendas Perpétuas
z
z
Se o número de termos de uma renda for ilimitado a renda terá a
designação de Perpétua, ou dir-se-á tratar-se de uma Perpetuidade.
O seu valor Actual será:
1 − (1 + i )
V.A. = lim
i
n →∞
−n
V.A. =
z
1
(1 + i ) = 1 + i
i
i
1
i
No caso dos termos serem normais, ou:
No caso dos termos serem antecipados.
Se a renda for diferida:
1⎛ 1 ⎞
V.A. = ⎜
⎟
i ⎝1+ i ⎠
z
=
t
No caso de uma renda perpétua, falar de valor futuro ou acumulado não faz
qualquer sentido.
Factor de Reposição do
Capital
z
Corresponde ao valor de cada um dos n termos de uma
renda imediata de valor actual unitário, ou seja, ao
montante anual necessário para repor ao fim de n
períodos um total unitário, tendo em conta os juros
sobre o montante ainda não reposto. O seu valor é dado
pelo inverso do factor de Desconto de uma Renda:
i
F.R.C. =
−t
1 − (1 + i )