UFPE, 2o semestre de 2007
Disciplina ET-604, Estatı́stica, 75 horas.
Professor André Toom.
Prova 1 de Estatı́stica na área II. 2-o semestre de 2007
1.Um comitê com N membros deve escolher um chefe, um secretário e um
tesoureiro, todas três cargas cumpridas por membros diferentes. Qual é o número
dos jeitos fazer esta escolha? (10 pontos.)
2. Num pais cada placa de automóvel é uma seqüência de quatro sinais, daqueles
os primeiros dois são letras maiúsculas e últimos dois são algarismos decimais.
(O alfabeto contem 26 letras.) Qual é o número de placas possı́veis neste pais?
(10 pontos.)
3. Uma moeda, se lançada, mostra cara com probabilidade p e coroa com probabilidade 1 − p. Esta moeda foi lançada n vezes e cara foi obtida X vezes.
a) Escrever o conjunto dos valores possı́veis de X e a formula das probabilidades
destes valores. (5 pontos.)
b) Qual é EX ? 10 pontos.
c) Qual é V arX? 10 pontos.
4. Há duas moedas.
A 1-a moeda, se lançada, mostra cara com probabilidade 1/4.
A 2-a moeda, se lançada, mostra cara com probabilidade 3/4.
Uma destas moedas foi escolhida ao acaso (com probabilidades iguais), lançada
e mostrou cara. Quais são probabilidades a posteriori que
a) a 1-a moeda foi lançada? (5 pontos.)
b) a 2-a moeda foi lançada? (5 pontos.)
5. Dois dados perfeitos, vermelho e azul, foram lançados uma vez. Cada dado
tem 6 lados marcados 1, 2, 3, 4, 5, 6. Denotamos de X o número mostrado por
dado vermelho e de Y o número mostrado por dado azul.
a) Qual é a probabilidade P (X + Y < 6) ? (5 pontos.)
b) Qual é a probabilidade condicional P (X + Y < 6 | X − Y < 1)? (10 pontos.)
6. As variáveis aleatórias X e Y são independentes e cada distribuda uniformemente no conjunto finito 1,2,...,N.
a) Qual é a probabilidade P (X = Y )? (5 pontos.)
b) Qual é a probabilidade P (X < Y )? (5 pontos.)
7. Seja variável aleatória discreta X toma um conjunto finito de valores. Escrever
a prova que E(−X) = −EX. (10 pontos.)
8. Variável aleatória continua X é distribuida uniformemente em (−1, 1). Escrever a formula e desenhar o gráfico da função acumulada de X. (10 pontos.)
Todas respostas devem ser argumentadas.
A nota será igual ao número dos pontos obtidos dividido por 10.
GABARITOS
1.Um comitê com N membros deve escolher um chefe, um secretário e um tesoureiro,
todas três cargas cumpridas por membros diferentes. Qual é o número dos jeitos fazer
esta escolha? Resposta: N · (N − 1) · (N − 2).
2. Num pais cada placa de automóvel é uma seqüência de quatro sinais, daqueles
os primeiros dois são letras maiúsculas e últimos dois são algarismos decimais. (O
alfabeto contem 26 letras.) Qual é o número de placas possı́veis neste pais?
Resposta: 26 · 26 · 10 · 10 = 67600.
3. Uma moeda, se lançada, mostra cara com probabilidade p e coroa com probabilidade
1 − p. Esta moeda foi lançada n vezes e cara foi obtida X vezes.
a) Escrever o conjunto dos valores possı́veis de X e a formula das probabilidades destes
valores. Resposta: o conjunto é {0, 1, 2, . . . , n}. As probabilidades são
!
P (X = k) =
n
· pk · (1 − p)n−k .
k
b) Qual é EX ? Resposta: EX = np.
c) Qual é V arX? Resposta: V ar X = np(1 − p).
4. Há duas moedas.
A 1-a moeda, se lançada, mostra cara com probabilidade 1/4.
A 2-a moeda, se lançada, mostra cara com probabilidade 3/4.
Uma destas moedas foi escolhida ao acaso (com probabilidades iguais), lançada e
mostrou cara. Quais são probabilidades a posteriori que
a) a 1-a moeda foi lançada? Resposta: 1/4.
b) a 2-a moeda foi lançada? Resposta: 3/4.
5. Dois dados perfeitos, vermelho e azul, foram lançados uma vez. Cada dado tem 6
lados marcados 1, 2, 3, 4, 5, 6. Denotamos de X o número mostrado por dado vermelho
e de Y o número mostrado por dado azul.
a) Qual é a probabilidade P (X + Y < 6) ? Resposta: 10/36.
b) Qual é a probabilidade condicional P (X + Y < 6 | X − Y < 1)? Resposta: 6/21.
6. As variáveis aleatórias X e Y são independentes e cada distribuda uniformemente
no conjunto finito 1,2,...,N.
a) Qual é a probabilidade P (X = Y )? Resposta: 1/N .
b) Qual é a probabilidade P (X < Y )? Resposta: (N − 1)/(2N ).
7. Seja variável aleatória discreta X toma um conjunto finito de valores. Escrever a
prova que E(−X) = −EX.
Prova: seja X toma valores x1 , . . . , xn com probabilidades p1 , . . . , pn . Logo
E(−X) = (−x1 ) · p1 + · · · + (−xn ) · pn = −(x1 · p1 + · · · + xn · pn ) = −EX.
8. Variável aleatória continua X é distribuida uniformemente em (−1, 1). Escrever a
formula e desenhar o gráfico da função acumulada de X. Veja formula e gráfico:
se
t ≤ −1,
F (t) = (t + 1)/2 se −1 ≤ t ≤ 1,

1
se 1 ≤ t.

0
1 6
-1
O
1
-
t