UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
CCT-Unidade Acadêmica de Fı́sica
Solução do 1o Estágio de Eletricidade e Magnetismo 2015.1
Disciplina: 1108083 Turma 03
Prof. Adriano de A. Batista
05/06/2015
1)(2.0) (a) Na figura abaixo as três partı́culas carregadas estão colineares. A partı́cula com carga
q2 encontra-se na metade entre q1 e q3 . Encontre a força F~ sobre a partı́cula de carga q2 devida
às outras cargas. Escreva as componentes Fx e Fy em função dos valores algébricos dados.
y
q1
d2
q2
x
q3
d1
Solução: Utilizando a lei de Coulomb e o princı́pio de superposição, encontramos
"
"
#
#
d1
d1
d2
d2
−
ı̂
−
̂
ı̂
+
̂
q
q
q
q
1
2
3
2
2
2
2
2
F~ =
+
,
4π0
4π0
( d2 )3
( d2 )3
q2
[(q1 − q3 )d1 ı̂ + (q3 − q1 )d2 ̂]
=
π0 d3
p
onde d = d21 + d22 . Assim as componentes da força são dadas por
q2 (q1 − q3 )d1
π0
d3
q2 (q3 − q1 )d2
Fy =
π0
d3
Fx =
2) (2.0) (a) Mantendo as partı́culas 1 e 3 fixas nas posições da questão anterior, determine
a posição da partı́cula 2 ao longo da linha reta entre as partı́culas 1 e 3 para que o campo
elétrico gerado pelas três cargas na origem da figura acima tenha máxima magnitude. Assuma
q1 = q2 = q3 = q > 0 e d1 = 2d e d2 = d. (b) Obtenha essa magnitude do campo elétrico.
Solução:
y
q
c
q
d
h
q
`
x
~0
E
2d
A equação da reta das partı́culas carregadas é x/2d + y/d = 1. Enquanto que a equação
da reta de altura h é y = 2x. Assim o ponto c da altura tem coordenadas (2d/5, 4d/5).
√
Assim h = 2d/ 5. O campo elétrico resultante na origem é
h
i
q
~ =E
~0 +
cos(θ
+
θ
)
Ê
+
sen(θ
+
θ
)
Ê
×
k̂
,
E
0
0
0
0
4π0 `2 (θ)
h
i
2
~ =E
~ 0 + q cos (θ) cos(θ + θ0 ) Ê0 + sen(θ + θ0 )Ê0 × k̂ ,
E
4π0 h2
onde `(θ) = h/ cos θ e
~0 = − q
E
4π0
Assim obtemos
E 2 (θ) = E02 +
ı̂
̂
+ 2
2
d
4d
.
qE0 cos2 (θ) cos(θ + θ0 ) q 2 cos4 (θ)
+
,
2π0 h2
(4π0 )2 h4
cuja equação para o ângulo do valor máximo de E(θ) não é simples de obter analiticamente.
3) (2.0) Existem três placas planas paralelas infinitas uniformemente carregadas. As placas têm
as seguintes densidades superficiais de carga: σ1 = 2, 0 × 10−12 C/m2 , σ2 = −1, 0 × 10−12 C/m2 ,
e σ3 = −1, 0 × 10−12 C/m2 . A placa 1 está situada em x = −1, 0mm, a placa 2 em x = 0 e a
placa 3 está em x = 1, 0mm. (a) Encontre o campo elétrico em todas as regiões do espaço. A
constante de permissividade elétrica do vácuo é ε0 = 8, 85 × 10−12 C/(Vm). (b) Encontre as
diferenças de potencial entre as placas.
Solução: (a) Esse problema envolve distribuições de carga com simetria planar em planos
paralelos cujo vetor normal é ı̂. Aplicando a lei de Gauss e o princı́pio de superposição
obtemos que só há campo elétrico na direção x e ele é dado por
2 +σ3
Ex (x) = − σ1 +σ
= 0 para x < −1, 0mm.
20
σ1 −σ2 −σ3
Ex (x) =
= 2, 0 × 10−12 C/(m2 0 ) ≈ 0, 23V/m se -1,0mm< x < 0
20
σ1 +σ2 −σ3
Ex (x) =
≈ 0, 11V/m se 0< x < 1, 0mm
20
σ1 +σ2 +σ3
Ex (x) =
= 0 para x > 1, 0mm.
20
(b) As diferenças de potencial são dadas por V2 − V1 = −0, 23V/m×1, 0mm=−0, 23mV e
por V3 − V2 = −0, 11mV.
4) (2.0) Em uma certa região, o potencial elétrico varia ao longo do eixo x de acordo com o gráfico
da figura abaixo. (a) Determine a componente x do campo elétrico nos intervalos (ab), (bc), (cd)
e (de). (b) Plote Ex em função de x. Ignore o comportamento nos extremos dos intervalos.
V (x)(volt)
2.0
c
b
d
a
e
-6
-4
-2
2
x(10−4 m)
4
-1.0
Solução: (a) No intervalo (ab) o campo elétrico é dado por
Ex = −
dV (x)
1, 0 − 0
=−
V/m = −5, 0 × 103 V/m
dx
[−4 − (−6)]10−4
No intervalo (bc)
Ex = −
dV (x)
1, 5 − 1, 0
=−
V/m = −1, 25 × 103 V/m
dx
[0 − (−4)]10−4
No intervalo (cd)
Ex = −
dV (x)
1, 0 − 1, 5
V/m = 2, 5 × 103 V/m
=−
dx
[2 − (0)]10−4
No intervalo (de)
Ex = −
dV (x)
0 − 1, 0
V/m = 5, 0 × 103 V/m
=−
dx
[4 − 2]10−4
(b)
Ex (x)(kV/m)
5.0
x(10−4 m)
-6
-4
-2
2
4
-5.0
~ r) = Ex (x)ı̂ e é plotado na
5) (2.0) O campo elétrico numa certa região do espaço é dado por E(~
figura abaixo. (a) Escreva a equação para o campo elétrico Ex (x) baseada nos dados fornecidos
no gráfico abaixo. (b) Obtenha a expressão para V (x) assumindo que V (0) = 0. (c) Plote V (x)
em função de x. (d) Qual a densidade superficial de carga em x = 0, 0mm?
Ex (volt/m)
2.0
1.0
x(10−4 m)
-3
-2
-1
1
2
3
-1.0
-2.0
Solução: (a) Pelo gráfico obtemos que o campo elétrico é dado por
2
1, 0 × 104 xV/m + 2, 0V/m, se −2, 0 × 10−4 m< x < 0, 0
Ex (x) =
2
4
1, 0 × 10 xV/m − 2, 0V/m, se 0, 0 < x < 2, 0 × 10−4 m
se −2, 0 × 10−4 m< x < 2, 0 × 10−4 m. Fora desse intervalo Ex = 0.
(b) O potencial elétrico é dado por
Z x
Z x
Ex (x0 )dx0 = −
Ex (x0 )dx0 ,
V (x) = V (0) −
0
0
pois assumimos que V (0) = 0. Obtemos
2
−0, 5 × 104 x2 V/m − 2, 0xV/m, se − 2, 0 × 10−4 m< x < 0, 0
V (x) =
2
−0, 5 × 104 x2 V/m + 2, 0xV/m, se 0 < x < 2, 0 × 10−4 m
, fora desses intervalos V (x) = 2.0 × 10−4 V.
(c) Utilizando os resultados acima, obtemos o gráfico abaixo:
V (x)(10−4 volt)
2.0
1.5
1.0
0.5
x(10−4 m)
-3
-2
-1
0
1
2
3
(d) Pela lei de Gauss, a densidade de cargas em x = 0 é σ = 0 [Ex (0+ ) − Ex (0− )] ≈
−3, 5 × 10−11 C/m2 .