Armazenagem de Dados Geográficos
Mediante Transformação de Schwarz-Christoffel
Patrícia F. Doern de Almeida a , Manuel Malásquez Negrón b e Rubén Panta Pazos c
Departamento de Matemática – UNISC,
Av. Independência, 2293,
96815-900, Santa Cruz do Sul, RS
a. e-mail: [email protected]
b. e-mail: [email protected]
c. e-mail: [email protected]
O interesse por expandir as bases de dados
geográficos (ou geológicos) é hoje muito relevante.
Neste trabalho apresentamos um método para
armazenar em forma vetorial (matricial) os diversos
dados numéricos associados a objetos de natureza
geográfica como mapas, cartas hidrográficas,
diagramas geopolíticos.
•
Uso de imagens para gerar os dados a
serem armazenados. Por exemplo, se o
objetivo é o perfil de um mapa (a fronteira),
então será necessário obter alguns pontos
para gerar uma região poligonal que
aproxime a fronteira.
Atualmente utilizam-se várias técnicas para
armazenamento de dados geográficos: espectro de
Fourier, uso de sistemas de computação algébrica
incluindo gráficos especiais2, entre outros. Neste
trabalho pretendemos armazenar dados de forma
mais compacta possível.
Dada uma região G simplesmente conexa,
escolhe-se um número finito de pontos na fronteira
∂G , e gera-se uma região poligonal Gn com
vértices V1, V2,...Vk,...,Vkmax.
πα2
Fig.1. Mapa onde são tomados pontos na fronteira.
V2
•
πα1
V1
cujos ângulos exteriores são respectivamente πα1,
πα2,... παk,... παkmax.
> readlib(readdata):
> DataRS:=readdata(`MapRS.dat`,2):
A transformação de Schwarz–Christoffel 3, 4 é
uma transformação conforme que leva o semiplano
> for j from 1 to nops(DataRS) do
H = {z ∈ C ℑ( z ) > 0 } na região interior de Gn e
Map[j,1]:=DataRS[j,1];
Map[j,2]:=400-DataRS[j,2];
está dada por w = g(z) = A + B f(z), onde
f(z) =
z k
max
Π (ξ − x k ) −α k dξ
0
k =1
Os pontos são definidos como uma matriz
de n linhas e duas colunas, ou como um
arquivo *.dat para depois empregar a
seguinte seqüência de comandos Maple:
od:
> NewData:=[seq([Map[j,1],Map[j,2]],
(1)
e, A e B são números complexos que representam
coeficientes de translação, escala e rotação.
A metodologia usada para armazenar dados de
um mapa ou uma foto consiste dos seguintes passos:
j=1..nops(DataRS))]:
•
Com
o
comando
Maple
polygonplot(NewData) podemos reproduzir
o perfil cujos dados serão armazenados de
forma conveniente.
•
Cada três vértices consecutivos da região
Gn definem um ângulo interior desta região.
O uso das seguintes sentenças no ambiente
Maple:
> with(linalg):
>alpha:=(v,w)->
arccos(dotprod(v,w)/(norm(v,2)*norm(w,2)));
permitem calcular o número “alpha” que
multiplicado por π dá o valor do ângulo
suplementar do citado ângulo interior
(ângulo exterior).
•
Tomando a transformação inversa de
Schwarz Christoffel g-1 obtemos os pontos
x1, x2,..., xk ,... , xkmax . Desta forma,
podemos definir,
Mn
=
x1
x2
α1 α 2
... x k
... α k
... x k max
... α k max
(2)
onde παk são os ângulos exteriores da
região poligonal Gn sob consideração.
Assim, Gn é uma representação de G. Com a
metodologia apresentada acima acreditamos ter
obtido uma forma compacta de armazenamento dos
dados que definem Gn, com a melhor aproximação
desejada (obtida por uma adequada escolha do fator
de precisão ε > o para a determinação do valor de n).
O problema de determinar a inversa g-1 é um
trabalho que exige um esforço de natureza
computacional. Recentemente Driscoll 1 apresentou
um conjunto de procedimentos num sistema de
computação algébrica para a manipulação da
transformação de Schwarz-Christoffel e sua inversa.
Quando precisarmos armazenar um mapa
orográfico, deve-se ter como ponto de partida um
conjunto de dados obtidos do GIS (Geographical
Information System).
Uma vez armazenados os dados na forma da
matriz (2) ou mediante o uso de um arquivo *.dat,
devemos aplicar o procedimento que envolve a
transformação conforme de Schwarz-Christoffel
para reproduzir o mapa.
Os resultados obtidos foram aplicados no mapa
do Rio Grande do Sul, usando o sistema de
computação algébrica Maple.
Fig.2 Mapa obtido com polygonplot(NewData).
O trabalho final referente a este resumo está
organizado da forma seguinte: Introdução (primeira
seção). Na próxima seção é dada uma revisão dos
principais conceitos relativos à transformação
Schwarz-Christoffel. Na seção 3 são estudadas as
diversas formas de obter os dados iniciais, sejam por
imagens ou dados obtidos do GIS, além de explicar
a implementação computacional no ambiente Maple.
Na seção 4, fornecemos os resultados obtidos
mediante um sistema de computação algébrica, em
forma gráfica, além dos referentes sistemas
computacionais envolvendo as integrais de SchwarzChristoffel. Algumas extensões são dadas no final
do trabalho, incluindo conclusões de primeira
ordem.
Referências
1.
DRISCOLL, Tobin A., Schwarz-Christoffel
Mapping, Cambridge Monographs on Applied and
Computational Mathematics (No. 8), Cambridge
University Press, 2002.
2.
KNIGHT, D. G., Digital maps, matrices and
computer algebra, International Journal of
Mathematical Education in Science and
Technology, vol. 36, n° 4, 2005, p 345 – 359
3.
KYTHE, Prem K., Computational Conformal
Mapping, Birkhäuss, Boston USA, 1998
4.
O’ NEIL, Peter V., Advanced engineering
mathematics, Pacific Grove, An International
Thomson Publishing, 1995.