Imagem Digital
Conceitos, Processamento e
Análise
Parte 2 - Eliminação de ruídos e
realce de arestas
Aplicações da Transformada de
Fourier
Redução de ruídos
• Dada uma imagem I com um ruído n, reduza n o
máximo que puder (preferencialmente elimine n
completamente) sem alterar significativamente I.
Iˆ(i, j)  I (i, j)  n(i, j)
s
SNR 
n
s
SNRdB  10log10
n
s
 100
20 dB significam
n
Dois tipos básicos de ruídos
• Ruído Gaussiano branco : processo estocástico
de média zero, independente do tempo e dos
espaço.
n (i, j ) ~ n (i  i0 , j  j0 ) é o mesmo processo estocástico
que não varia no tempo.
n (i, j )  0
n (i, j )
é uma variável aleatória com a distribuição:
x2
G ( x) 

1
2 2
e
2 
Dois tipos básicos de ruídos
• Ruído impulsivo: causado por erro de
transmissão, CCDs defeituosos, etc...
Também chamado de pico e de sal e pimenta.
xl
0
nsp (i, j )  
imin  y (imax  imin ) x  l
x, y  0,1
são v.a. uniformemente distribuídas
imin, imax, e l são parâmetos de controle da quantidade de ruídos.
Exemplo de ruído Gaussiano (=5) e
Impulsivo ( =0.99)
Imagem com ruído impulsivo
Uso da mediana
223
204
204
204
204
204
204
204
204
204
204
204
204
223
171
120
120
120
18
120
50
120
120
120
120
120
120
171
171
120
120
120
116
120
120
120
120
120
120
120
120
171
138
120
120
120
120
120
50
120
97
120
120
120
120
171
171
120
120
120
120
120
120
120
120
120
187
120
120
242
172
120
120
120
120
120
120
120
120
120
120
120
120
171
171
120
120
120
120
120
179
120
120
120
120
167
120
171
171
120
120
120
120
120
120
235
120
120
120
120
120
171
171
120
120
120
120
120
120
235
120
76
175
120
120
171
171
120
120
120
120
120
120
120
120
120
120
120
120
171
171
120
120
120
120
120
120
120
123
120
120
214
120
114
171
120
120
120
120
120
120
120
120
120
120
120
143
171
171
120
120
120
232
120
120
198
120
120
120
120
120
171
203
171
171
171
171
171
171
171
171
205
171
171
171
203
Iij = mediana Ωij
Sinal com ruído
f3( x ) := 10 cos( 2  x )6 sin( 10  x ).8 cos( 40  x )
20
15
10
5
0
-5
-10
-15
-20
Filtragem Gaussiana
20
15
10
5
0
-5
-10
-15
w1+w2+w3
filtro
w1+w2
-20
f i 1  2 f i  f i 1
hi 
4
Filtro
• Um filtro é um operador que atenua ou
realça uma determinada freqüência
• Fácil de visualizar no domínio da freqüência
onde:
F ( )  f (t )
H ( )  F ( )G( )
h(t )  H ( )
h(t) é o f(t) filtrado
Tipos de Filtros
F
G
H
Passa baixa

=

=
Passa alta

=
Passa banda
Imagem filtrada com um filtro passa baixa
Imagem filtrada com um filtro passa alta
Filtragem no domínio espacial
G( )  g ( x)
F ( )  f ( x)
H ( )  F ( )G( )
ou:
h( x)  H ( )

h( x)  f  g   f (u) g ( x  u)du

• Filtragem no domínio espacialNaérealidade
obtida
é ao
contrário: a TF é
pela convolution (e vice-versa).
uma ferramenta
para filtragem.
Mascara ou Filtro
f i 1  2 f i  f i 1
hi 
4
ou:
hi 
n 1
g
k 0
( k i )
fi
se l  1
0
1 / 4
se l  1


g l  2 / 4 se l  0
1 / 4 se l  1


se l  1
0
Discretização da Gaussiana 1D
1
e
2 
G ( x) 
0.3

x2
2
0.2
0.1
-4
-3
1
1
4
-2
2
-1
0
1
1
1
64
1
2
1
1
16
6
15
20
15
3
4
6
6
1
4
4
1
2
Discretização da Gaussiana 2D
G ( x, y ) 
1
1 
2

16

1

1
e
2 
2
4
2
1
2

1

x2  y2
2
2
1
4
1 
7
273 
4

1
4
7
4
16
26
26
41
16
26
16
4
26
7
16
4
1
4

7

4
1

Separabilidade do filtro
gaussiano
207
247
38
131
38
62
90
129
234
231
211
175
44
1
26
236
58
75
128
112
210
141
125
168
58
1
1
4
2
1
1 
2
16 

1
2
4
2
1
2

1

130
117
129
125
90
88
129
93
92
130
117
129
125
90
88
129
93
92
1
185
113
84
93
145
207
151
66
18
107
84
111
154
140
130
1
1 2 1
4
Transformada normalizada de
Fourier
w1 h 1
1
i 2 ( xr / w ys / h )
F (r , s) 
f ( x, y)e

wh x0 y 0
w1 h 1
1
i 2 ( xr / w ys / h )
f ( x, y) 
F ( r , s )e

wh r 0 s 0
Transformada normalizada de Fourier: separação
w1 h 1
1
i 2 ( xr / w ys / h )
F (r , s) 
f ( x, y)e

wh x0 y 0
 i 2 ( xr / w)
1 w1  1 h1
i 2 ( ys / h )
F (r , s) 
f ( x, y )e

e


w x 0  h y 0

T ( x, s )
Transformada normalizada de Fourier: Matriz H

 1 i 2 ( ys / h )  
T ( x, s)    f ( x, y )
e
 
 h

y 0 
h 1
H ( y, s )
1 i 2 ( ys / h )
1 
e
H ( y, s ) 
e

h
h 
i 2

h




ys
T  fH
 f 00
 f
10

f
 

 f ( h 1) 0
f 01

f11



f ( h 1)1 


f1( h 1)




f ( h 1)( h 1) f 0 ( h 1) 
f 0 ( h 1)
T  fH
   i 2  00
 e h 

 


i 2 10

1   e h 
H

 

h 


i 2 ( h 1)0
  h 

 e



i 2

h
01


e





i 2 11
 h 
e






i 2 ( h 1)1
 h 
e












e







i 2 1( h 1) 
 h 

e









i 2 ( h 1)( h 1)
 h 

e







i 2

h
0( h 1)

1
e
F (r , s ) 

w x 0 
w1
i 2

w
xr

 T ( x, s )


W ( r , x)
1 
e
W (r , x) 

w
i 2

w




rx
F  WT  WfH
   i 2  00
 e h 

 


i 2 10

1   e h 
H

 

w 


i 2 ( w 1)0
  h 

 e



i 2

h
01



e




i 2 11
 h 

e





i 2 ( w 1)1
 h 

e












e






i 2 1( w 1) 
 h 


e








)
1

w
(

)
1

w
(
  i 2h 


e






i 2

h
0( w 1)
Problemas com a Transformada de Fourier
f ( x1 , x2 )  F (k1 , k2 )
f ( x1  a, x2  b)  F (k1 , k2 )e
f (  x1 ,  x2 ) 
1

i ( ak1 bk 2 )
k1 k2
F( , )
 
f ( x1 cos  x2 sin  , x1 sin   x2 cos )

F (k1 cos  k2 sin  , k1 sin   k2 cos )
Transformada de Mellin
M ( f ( x))  M ( f (ax))

M ( s )   f ( x ) x s1dx
0
dx  e d
x  e 


0

M ( s )   f ( x ) x s1dx 

f (e  )e s d
s    i 2w
M (i ) 

 f (e


)e
 i 2
e
d   f (e ) e


Transformada de Mellin

M ( z1 , z2 )    f ( x, y ) x
z1 1
y
z 2 1
dxdy
0 0
xe

y  e

dx  e d
dy  e d
M ( z1 , z 2 ) 
 
  f (e
  


, e )e
 ( z1 1)  ( z 2 1)
e


(e d )(e d )
Transformada de Mellin
 
M ( z1 , z2 ) 



f (e , e )e
 z1  z2
e
dd

z1  i 2 u
 
M (u, v) 


z2  i 2 v


f (e , e )e
i 2u
e
i 2v
dd
Transformada de Mellin
 
M (u, v) 



f (e , e )e
i 2u
e
i 2v
dd

1
u 
w x
w1 h 1
1
v 
hy
1
ln x
ln y
M (r , s) 
f (e , e )e

wh x 0 y 0
2
i r
w
e
2
i s
h
F  WT  WfH
   i 2  00
 e h 

 


i 2 10

1   e h 
H

 

w 


i 2 ( w 1)0
  h 

 e



i 2

h
01



e




i 2 11
 h 

e





i 2 ( w 1)1
 h 

e












e






i 2 1( w 1) 
 h 


e








)
1

w
(

)
1

w
(
  i 2h 


e






i 2

h
0( w 1)
Transformada de Mellin

M ( z1 , z2 )    f ( x, y ) x
z1 1
y
z 2 1
dxdy
0 0
z1  i 2 r
z2  i 2 s

M ( r , s )    f ( x, y ) x
i 2 r 1
y
i 2 s 1
dxdy
0 0
xe


dx  e d
ye


dy  e d

M ( r , s )    f ( x, y ) x
i 2 r 1
y
i 2 s 1
dxdy
0 0
xe

y  e

dx  e d

M ( r , s )    f (e , e ) e
0 0
   ln x


dy  e d
i 2 r 1 i 2 s 1
e
dxdy