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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE GOÍAS
UNIDADE UNIVERSITÁRIA DE JUSSARA
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
LUCIANA BEZERRA DA SILVA
APLICAÇÕES DA DERIVADA DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL COM A
UTILIZAÇÃO DE MÁXIMOS E MÍNIMOS
JUSSARA – GO
2010
1
Luciana Bezerra da Silva
APLICAÇÕES DA DERIVADA DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL COM A
UTILIZAÇÃO DE MÁXIMOS E MÍNIMOS
Pesquisa monográfica para fins de Conclusão de Curso
de Licenciatura em Matemática da Universidade
Estadual de Goiás, Unidade Universitária de Jussara,
sob orientação do professor Helias Assunção Freitas.
JUSSARA – GO
2010
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3
Dedico este trabalho aos meus pais, Minouro e Terezinha, pois foi na formação como
pessoa por eles recebida e nas suas instruções que só quem ama oferece que pude caminhar
com destino a concretização de um sonho construído sobre um alicerce tão firme quanto os
laços de família
4
.
AGRADECIMENTOS
A todos os professores, destacando o professor Márcio pela dedicação, entusiasmo, apóio e
amizade demonstrado ao longo do curso, pela cumprida tarefa de não só de compartilhar
conhecimento mas multiplicá-lo.
Aos demais funcionários participantes da família UEG - Unidade Universitária de Jussara, em
especial a professora e coordenadora de curso Rejane pelo seu extraordinário espírito
positivista, preocupando-se sem fazer qualquer distinção aos alunos e prestando seu incentivo
a cada um, mesmo em particular se necessário, pois quando os ânimos se acabavam e
pensávamos em desistir, ela nos renovava com seu otimismo.
Aos colegas com quem compartilhei todos os momentos no decorrer do curso, pela amizade,
companheirismo e cumplicidade tanto nas dificuldades e nas vitórias.
Ao professor orientador Helias, sem a qual este trabalho não teria a mesma qualidade.
À minha família por ter sido a base para trilhar cada etapa deste curso e principalmente a
Deus pela oportunidade de estar entre tantas pessoas excepcionais e obter tantas experiências.
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RESUMO
A construção deste trabalho tem o objetivo de apontador a importância do estudo da Derivada
bem como enfatizar suas aplicações na solução de problemas com a utilização de Máximos e
Mínimos de funções de uma variável real. Para a construção deste mesmo foram utilizados
recursos bibliográficos de autores conhecidos como Amilton Luis Guidorizzi, Geraldo Ávila,
Howard Anton, James Stewart e entre tantos outros cujas obras nos levam ao estudo do
Cálculo Diferencial e Integral, além do uso da informática para a pesquisa em homepages.
Mas o tema abordado neste mesmo está direcionado exclusivamente ao Cálculo Diferencial,
pois é através da definição da Derivada que foram selecionados meios para que se possam
encontrar soluções práticas a distintos problemas que envolvem diversas áreas do
conhecimento como Economia, Física e Biologia por exemplo. Baseado na apresentação
destas informações que foi construída uma sequência onde foi introduzido desde o relato dos
fatos históricos que marcaram o caminho do Cálculo Diferencial, da apresentação do conceito
da Derivada a partir de uma interpretação geométrica até os problemas de aplicações que
visam maximizar ou minimizar valores que expressem o melhor resultado que se almeja para
uma determinada situação, como por exemplo, uma empresa que deseja maximizar seus
lucros e minimizar seus custos. É no fechamento deste trabalho que são apresentados alguns
problemas de aplicação da derivada para que o leitor possa verificar de maneira mais clara a
importância do estuda de Derivada.
PALAVRAS CHAVE: Derivada. Funções. Problemas. Aplicações. Máximos. Mínimos.
6
LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico 2.1.1
16
Gráfico 2.1.2
17
Gráfico 2.5.1
21
Gráfico 2.9.1
26
Gráfico 2.9.1
27
Gráfico 3.1.1
29
Gráfico 3.5.1
42
Gráfico 3.5.2
44
Gráfico 3.5.3
45
7
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO
08
CAPÍTULO 1 A HISTÓRIA DA DERIVADA
09
1.1
A Derivada do século XVI
09
1.2
A Derivada do século XVII
10
1.3
Newton, Leibniz e o Cálculo
11
1.4
Jean Benoulli e L' Hospital
12
1.5
O Cálculo Diferencial no século XVIII e século XIX
13
CAPÍTULO 2 DERIVADA
14
2.1
A reta tangente
16
2.2
Definição – Derivada de uma função
17
2.3
A derivada de f (x) = xn
18
2.4
Derivadas especiais
19
2.5
Diferenciabilidade e Continuidade
20
2.6
Regras de Derivação
22
2.7
Derivada de f (x) g(x)
24
2.8
Derivada de uma função dada implicitamente
25
2.9
Interpretando dy como um Quociente Diferencial
dx
CAPÍTULO 3 APLICAÇÕES DA DERIVADA
26
29
3.1
Teorema do Valor Médio
29
3.2
Intervalos de crescimento e de decrescimento de uma função
30
3.3
Máximos e Mínimos Locais
31
3.4
Máximos e Mínimos Absolutos
33
3.5
Aplicações com Máximo e Mínimos
35
CONCLUSÃO
47
BIBLIOGRAFIA
48
8
INTRODUÇÃO
Esta pesquisa monográfica foi elaborada com a finalidade de apontar a importância
dos estudos de Derivada, para que a partir deste trabalho seja apresentado aos leitores o poder
de aplicação da diferenciabilidade sobre os problemas existentes entre as mais diversas áreas
do conhecimento, como Economia e Física por exemplo. Problemas estes que podem ser
resolvidos a partir do emprego da derivada, usando ferramentas como o estudo de máximos e
mínimos de funções de uma variável real, que é o foco deste trabalho.
É possível verificar nas universidades que os acadêmicos, alguns em maioria no curso
de matemática, conquistam um diploma mas não adquirem o conhecimento necessário para
compreenderem a importância do que foi estudado durante o curso, como a Derivada por
exemplo. Esta é apenas uma situação que explicita a escolha pelo tema desta pesquisa que é:
Aplicações da Derivada de funções de uma variável real com a utilização de Máximos e
Mínimos. Meu objetivo não se concentra em um fator didático que visa resolver o problema
anteriormente comentado, mas sim de oferecer um trabalho que possa servir como um
recurso, uma fonte de pesquisa opcional a leitores que buscam conhecer a empregabilidade do
estudo da Derivada fazendo uso da análise de Máximos e Mínimos.
A construção deste trabalho esta fundamentada em pesquisas bibliográficas que se
destinam ao estudo do Calculo Diferencial incluindo a própria história da Derivada, pois com
estes conhecimentos foi possível apontar os fatores que contribuíram para o desenvolvimento
desta ciência, onde os grandes matemáticos da história buscavam solucionar problemas de sua
realidade, construindo assim uma trajetória de formalização de idéias que nos trouxeram para
o conhecimento existente atualmente.
Dessa forma, compreendida a trilha histórica pela qual se formalizou o conhecimento
da Derivada, este trabalho teve continuidade na apresentação do conceito da Derivada, bem
como suas principais propriedades, dando suporte ao foco principal desta pesquisa
monográfica, que são as Aplicações da Derivada com a utilização de Máximos e Mínimos. E
é nesta sequência que procurei enfatizar a utilização da Derivada para solucionar problemas
de aplicações apresentando situações que envolvem áreas do conhecimento como Economia,
Biologia, Geometria e Física finalizando o objetivo do deste trabalho.
9
CAPÍTULO 1 A HISTÓRIA DA DERIVADA
Neste capítulo o trabalho estará destinado ao relato da História da Derivada,
abordando os principais fatos e personagens que contribuíram para o desenvolvimento deste
conhecimento. Com isto teremos uma ferramenta a nosso favor na compreensão de que o
estudo da Derivada é consequência de inúmeras pesquisas e formalizações de conhecimentos
que se desenrolaram no decorrer da história, onde o homem buscava superar dificuldades de
resolver problemas do cotidiano empregando a matemática.
1.1 A Derivada no século XVI
Os grandes cientistas que contribuíram para o início do estudo de derivada, na maioria
das vezes, não se expressavam diretamente à matemática, eles possuíam necessidade de se
encontrar soluções para problemas em diversas áreas, como astronomia, medicina, biologia,
física e etc. Com respeito à astronomia e a física, podemos considerar que o desenvolvimento
do estudo do Cálculo Diferencial hoje conhecido iniciou-se principalmente graças a estas
ciências. No século XVI, período em que se iniciava a Ciência Moderna, cientistas como
Galileu Galilei (1564-1642) e Johannes Kepler (1571-1630) dedicavam-se ao estudo do
sistema de Copérnico, buscando esclarecer dúvidas com respeito à órbita da terra e o
movimento dos planetas.
Havia necessidade de explicar fenômenos como o movimento de um
projétil ou a razão pela qual os objetos são arrastados pela Terra em seu
movimento. Galileu demoliu toda a Física antiga e criou uma nova Ciência
do Movimento [...] Ele enfatizou a relatividade do movimento e mostrou que
as leis da Mecânica são invariantes quando os referenciais usados estão em
movimento uniforme relativamente uns aos outros. Este é chamado Princípio
da Relatividade da Mecânica Clássica. De seus estudos nascia o conceito de
função. Em vários lugares do seu livro, Galileu expressa a idéia de função
em termos de proporções. Até a idéia de velocidade instantânea – e portanto
de derivada – já aparece, ao menos um estado embrionário, nas discussões
de Galileu. (ÁVILA, 1992, p. 110).
10
Com respeitos às contribuições de Kepler, ele chegou a mencionar os conceitos de
força gravitacional. As discussões sobre as leis dos movimentos dos planetas e gravitação
puncionaram os estudos com velocidade e direção variáveis, podendo observar que o traçado
da reta tangente a uma curva era a melhor maneira de visualizar o comportamento desses
movimentos. E isto fez com que fosse o ponto foque para o surgimento do Cálculo
Diferencial, uma vez que se passava a se tratar de noções de velocidade e aceleração
instantânea.
1.2 A Derivada no Século XVII
Visto que a origem da Derivada está estreitamente ligada aos problemas geométricos
envolvendo a reta tangente a uma curva de uma função, no século XVII, os franceses René
Descartes (1596-1650) e Pierre de Fermat (1601-1665) foram estudiosos matemáticos que se
destacaram. Até então não havia um conceito de função propriamente definido, os cientistas
ainda usavam métodos puramente geométricos para determinar variação, mas a partir deste
período pôde ser possível transformar problemas geométricos em problemas algébricos, isto
foi chamado de “aritmetização da geometria”, logo o aprofundando no estudo de funções foi
possível através da introdução das coordenadas cartesianas formalizada por René Descartes
(1596-1650) e Pierre Fermat (1601-1665).
A obra de Descartes é com demasia frequência descrita simplesmente como
aplicação da álgebra à geometria, ao passo que na verdade poderia ser bem
caracterizada como sendo a tradução de operações algébricas em linguagem
geométrica. [...] Descartes ia mais longe do que qualquer de seus
predecessores em sua álgebra simbólica, e na interpretação geométrica da
Álgebra. A álgebra formal vinha progredindo constantemente desde a
Renascença, e encontrou seu auge na La Géometrie de Descartes, o texto
matemático mais antigo que um estudante de hoje possa seguir sem
encontrar dificuldade com a notação. (Boyer, 1966, p. 232).
Descartes e Fermat foram também importantes percussores do estudo do problema
dirigido a localização da reta tangente a uma curva, o que na época era uma grande
dificuldade. O autor Boyer, 1996 relata as seguintes palavras: “Descartes tinha toda razão em
dizer que o problema de achar a normal (ou tangente) a uma curva era de grande importância,
mas o método que publicou em La Géométrie era menos eficiente que o que Fermat tinha
desenvolvido na mesma época.” Dessa forma, Fermat ficou conhecido como o autor da
11
solução para este problema, que na história da matemática é chamado de “Problema da
Tangente”. Fermat dirigia seus estudos com ênfase na geometria analítica, mas um dos mais
importantes de seus trabalhos, não divulgados em vida, foi o Método para achar máximos e
mínimos de uma função.
[...]Portanto é razoável acompanhar Laplace ao saudar Fermat como o
descobridor do cálculo diferencial, bem como co-descobridor da geometria
analítica. Evidentemente Fermat não tinha o conceito de limite, mas por
outro lado seu método para máximos e mínimos se assemelha ao usado hoje
no Cálculo, só que agora se usa em geral o símbolo h ou ∆x em lugar do E de
Fermat.[...]. (BOYER, 1966, p. 240).
O matemático René François de Sluse (1622- 1685), conhecedor dos trabalhos
italianos, teve importante participação como seguidor das idéias de Descartes, embora
preferisse algumas notações de Fermat. Tinha ele um dedicado estudo dirigido às tangentes, e
por ele foi dada a forma de se descrever uma equação da reta tangente dado por f (x,y) = 0,
sendo f uma função polinomial.
1.3 Newton, Leibniz e o Cálculo
Personagens do cenário matemático que ficaram historicamente conhecidos não só por
suas contribuições para o desenvolvimento do Cálculo Diferencial e Integral, mas também por
seus conflitos, foram, Isaac Newton (1642–1727) e Gottfried Leibniz (1646-1716). Estes
conflitos, em que Newton acusava Leibniz (autor da primeira publicação do cálculo
diferencial) de plágio sobre suas teorias do cálculo. Embora não se possa comprovar quem
entre eles é o verdadeiro autor da criação do Cálculo, é importante que fique claro, que apesar
das diferenças entre Newton e Leibniz, suas teorias tiveram repercussão histórica, onde ambos
tiveram participação extremamente importante para a o conhecimento matemático.
Newton pode ser reconhecido como um dos grandes estudiosos da história da
matemática, seus primeiros trabalhos já esboçavam grandes sabedorias, e por Newton
podemos descrever como suas principais descobertas, o teorema binomial, o Cálculo, a lei de
gravitação e a natureza das cores. Lembrando que essa definição de criador do Cálculo foi o
grande impasse entre Newton e Leibniz, pois em 1684, Leibniz faz a primeira publicação do
Cálculo Diferencial, cujos métodos eram semelhantes aos empregados por Newton anos antes.
Na primeira edição dos Principia Newton reconhece que Leibniz
estava de posse de um método semelhante, mas na terceira edição em 1726,
após a amarga disputa entre aderentes dos dois homens quanto a
12
independência e prioridade do Cálculo, Newton omitiu as referencias ao
Cálculo de Leibniz. Agora está bastante claro que a descoberta de Newton
antedata a de Leibniz de cerca de dez anos, mas a descoberta de Leibniz é
independente da de Newton. (BOYER, 1996, p. 274).
Este conflito, em que Newton acusava Leibniz (autor da primeira publicação do
cálculo diferencial) de plágio sobre suas teorias do cálculo, interferiram de certa forma na
matemática inglesa, mesmo após o século XVII. “Em conseqüência da deprimente disputa de
prioridade os matemáticos ingleses ficaram até certo ponto afastados dos continentes durante
boa parte do século dezoito.” (BOYER, 1996, p.285). Este fato contribuiu timidamente para o
retardamento do progresso do Cálculo, embora mesmo diante deste impasse, o
desenvolvimento deste conhecimento seguiu-se ainda por gerações.
1.4 Jean Bernoulli e L’ Hospital
A história do Cálculo Diferencial foi desenvolvido por grandes personagens, e por
cerca de décadas ditada por uma mesma família, estamos nos referindo aos Bernoulli, geração
de célebres matemáticos, voltados ao Cálculo Diferencial Leibniziano. Mas seus interesses ao
Cálculo foram tão crescentes que estabeleceram relações de contato com Leibniz na
finalidade de se adentrarem melhor sobre o assunto, bem como com outros matemáticos de
seus tempos.
Dos filhos de Nicolaus Bernoulli (1623-1708), o mais novo, Jean Bernoulli, chegou a
escrever dois livros didáticos sobre cálculo diferencial e integral, ambos não divulgados. Mas
que além de ensinar a nova disciplina ao jovem francês G. F. A. de L’ Hospital (1661-1704),
deu lhe o direito ao uso de suas descobertas em troca de remunerações. “O resultado foi que
uma das importantes contribuições dos Bernoulli, datada de 1694, a partir daí passou a ser
conhecida como regra de L’ Hosptital sobre formas indeterminadas.” (BOYER, 1996, p. 290).
Jean Bernoulli considerou e provou ser verdade, que se f (x) e g (x) são funções
diferenciais em x = a de modo que f (a) = 0 e g(a) = 0, se
‫׳‬
lim f (x)
x→∞
‫׳‬
g (x)
existe, então
‫׳‬
lim f (x) = lim f (x).
x→a
g (x)
x→a
‫׳‬
g (x)
Essa regra está contida na primeira publicação do livro didático sobre cálculo
diferencial, em Paris, 1696, por L’ Hospital, denominado, Analyse des infinimente petits, que
13
predominou por quase todo século XVIII. Os postulados que regiam a base do livro pode hoje
serem considerados inaceitáveis, mas o L’ Hospital era cientista muito convincente. Em,
Traité analytique des sections contiques, publicado após sua morte, em 1707, foi tão
importante para a geometria analítica no século XVIII assim como Analyse foi para o cálculo.
Deste fato foi assistido outro episódio de “plágio”, só que com menos força, Bernoulli,
em 1704, mesmo com as menções de L’ Hospital a ele dedicadas em seu livro, como
reconhecido professor, pode se deixar interpretar que acusou-o da apropriação e uso de suas
idéias em cartas emitidas a outros, mas isso após a morte de L’ Hospital. A autenticidade de
L’Hospital foi admitida, e a sua obra Analyse reconhecida como trabalho independente, não
relacionado a Jean Bernoulli.
[...] Os contemporâneos consideram as reivindicações de Bernoulli
infundadas, mas a publicação recente da correspondência BernoulliL’Hospital indica que muito do trabalho se deve evidentemente a Bernoulli.
Porém, a parte do material na Analise era certamente trabalho independente
de L’Hospital, pois ele era um matemático competente. (BOYER, 1996, p.
290).
Como mencionado anteriormente, os Bernoulli eram adeptos do Cálculo Leibniziano.
Jean Bernoulli, especificamente, era extremo defensor do lado Leibniz. Como o próprio autor
Boyer menciona em seu livro em relação a Jean Bernoulli: “Sua correspondência com Leibniz
foi muito ativa, e ele defendeu a causa de Leibniz contra Newton com agressividade
injustificada. Pode-se-ia chamá-lo o cão de fila de Leibniz[...]”. Mas a participação da família
Bernoulli na história da matemática não parou por aí. Eles ainda continuaram por décadas o
trabalho matemático do século XVIII.
1.5 O Cálculo Diferencial no século XVIII e século XIX
Joseph Louis Lagrange (1736-1813), nascido em Turim, é considerado um dos
matemáticos mais notáveis do século XVIII, tornou-se professor na academia militar de
Turim. Sua participação no Cálculo diferencial deve-se especialmente pela sua teoria das
funções e a notação inserida por ele na análise de derivadas de funções de várias ordens, na
época da Revolução Francesa. Foi ele também inventor do método da variação de parâmetro
na resolução de equações diferenciais lineares não-homogêneas.
Mas Lagrange cometeu o erro de considerar que todas funções podem ser expandidas,
sem recorrência ao uso de limites ou infinitésimos. “Mas pode-se dizer que a obra de
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Lagrange durante a Revolução teve uma influência ampla por iniciar um assunto que a partir
daí foi um centro de atenção na matemática – a teoria das funções de uma variável real.”
(BOYER, 1996, p. 338). Lagrange tinha também grande interesse na teoria dos números.
Com respeito ao século XIX, podemos considerar que este período foi o mais próspero
do que qualquer outro na historia da matemática no que diz respeito ao o Cálculo e com
relação a outros períodos que o antecederam. “Seu crescimento durante estes cem anos é de
longe maior que a soma total da produtividade em todas as épocas precedentes”. (BOYER,
1996, p. 343).
Um dos prodígios da matemática que se destacaram no século XIX foi Carl Friedrich
Gauss (1777-1855). Suas contribuições para o estudo do Cálculo são dadas pelo seu trabalho
com a Geometria diferencial, iniciada em 1827. A partir do tratado de Gauss, Disquisitiones
circa superfícies curvas pode ser discutido com maior destaque o estudo de superfícies
planas. “Falando genericamente, a geometria usual se interessa pela totalidade de um
diagrama ou figura, ao passo que a geometria diferencial se concentra nas propriedades de
uma curva ou superfície numa vizinhança imediata de seu ponto.” (BOYER, 1996, p. 349).
É importante mencionarmos que os trabalhos de Gauss não limitaram apenas no
sentido da Geometria Diferencial, ele teve importante participação nos estudos dirigidos a
astronomia por exemplo. Mas nos vinte últimos anos de sua vida apenas dois importantes
trabalhos podem ser considerados de interesse matemático, e um deles está relacionada a
quarta prova do teorema fundamental da álgebra publicado em 1849 em seu doutoral, e o
segundo trata da teoria o potencial através de um artigo publicado em 1940.
Embora se reconheça Gauss como um dos mais esplendidos matemáticos de sua
época, podemos também apontar Augustin Louis Cauchy (1789-1857) como o principal
matemático do período que data de 1820 a 1830. Os trabalhos de Cauchy que se destacaram
foram os estudos com determinantes, integral e séries infinitas por exemplo. Mas a
participação de Cauchy no Cálculo se apresenta por defender o processo de integração
independentemente da derivação.
Observou-se que no século XVIII, havia a consideração de que a integral era o a
inversa da derivada. Mas Cauchy esforçara-se para mostrar a integral como sendo o limite das
somas em vez de derivação. “Tendo definido a integral independentemente da diferenciação,
Cauchy precisava provar a relação usual entre a integral e a antiderivada, e isto ele fez com o
teorema do valor médio.” (BOYER, 1996, p. 356).
Foi observado o surgimento de idéias semelhantes entre Cauchy e o padre
checoslovaco Bernhard Bolzano (1781-1848) quase nos mesmos períodos com respeito a
15
alguns conceitos como o do cálculo mencionado há pouco. “A semelhança entre suas
aritmetização do cálculo e de suas definições de limite, derivada, continuidade e convergência
foi apenas uma coincidência.” (BOYER, 1996, p. 356).
Entretanto, os matemáticos apontados até aqui são apenas alguns entre muitos dos que
contribuíram para a construção do conhecimento matemático, e em especial para o surgimento
e concretização do estudo da derivada, onde seu conceito foi sendo aprimorado no decorrer da
história, onde pôde se chegar ao conhecimento atualmente usado. E que veremos no próximo
capítulo deste trabalho é como este conceito de derivada está atualmente sendo empregado,
bem como apontando suas definições, principais propriedade e teoremas, para que possamos
chegar no entendimento de como a aplicação da derivada está inserida em nossas vidas.
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CAPÍTULO 2 DERIVADA
2.1 A reta tangente
Tratando a definição da Derivada, vamos analisar seu estudo a partir da reta tangente
a uma curva qualquer no plano e relacionar sua inclinação (coeficiente angular). O autor
Howard Anton, nos mostra a seguinte interpretação para o entendimento de conceito da
derivada: Ele define a derivada f ' (x) de uma função f, cujo valor em x é a inclinação da reta
tangente ao gráfico e y = f (x).
Para visualizarmos melhor esta idéia, vamos analisar a seguinte notação dada pelo
autor Hamilton Luiz Guidorizzi de derivada num ponto: Tomando uma função f e p um ponto
de seu domínio, para definir a reta tangente ao gráfico de f no ponto (p, f (p)) devemos
encontrar seu coeficiente angular. Consideremos então, a reta sx que passa pelos pontos (p, f
(p)) e (x, f (x)). Vejamos o gráfico 2.1.1:
Gráfico 2.1.1
O coeficiente angular é representado por Sx = f (x) – f (p) .
x–p
O autor explica, “Quando x tende a p, o coeficiente angular de sx tende a f ' (p), onde
f ' (p) = lim f (x) – f (p)”.
x→p
x–p
Uma interpretação coloquial desta apresentação, é dizer que aplicando o limite na
equação sx = f (x) – f (p), reduziremos o resultado ao valor mais próximo possível de p,criando
x–p
17
uma reta que tangencia a curva de f.
Para visualizarmos essa idéia vamos inserir uma reta T como sendo a reta tangente no
ponto (p, f (p)), veja agora o gráfico 2.1.2:
Gráfico 2.1.2
Observemos que a equação da reta tangente em (p, f (p)) é representada pela forma:
y – f (p) = f ' (p) (x – p).
2.2 Definição-Derivada de uma Função
Com as palavras do autor Guidorizzi, “à medida que x vai se aproximando de p, a reta
sx vai tendendo para a posição da reta T. Guidorizzi também nos fornece a seguinte definição
em seu livro, Um Curso de Cálculo vol. 1, 2001:
Sejam f uma função e p um ponto de seu domínio. O limite
lim f (x) – f (p).
x→p
x–p
quando existe e é finito, denomina-se derivada de f em p e indica-se por f '(p) (leia: f linha de
p). Assim
f ' (p) = lim f (x) – f (p).
x→p
x–p
Se f admite derivada em p, então diremos que f é derivável ou diferencial em p.
As idéias esboçadas anteriormente representam a definição da Derivada num
determinado ponto, mas o intuito neste trabalho é generalizar este conceito para que possa ser
aplicado a qualquer seguimento do gráfico, de acordo com as representações de Guidorizzi e
pelas propriedades de limite temos:
lim f (x) – f (p) = lim f (p + h) – f (p).
x→p
h→0
x–p
h
18
Dessa forma,
f ' (p) = lim f (x) – f (p) ou f ' (p) = lim f (p + h) – f (p).
x→ p
h→ 0
x–p
h
Analogamente,
f ' (p) = lim f (p + h) – f (p) segue a forma geral, f ' (x) = lim f (x + h) – f (x).
x→ p
h→0
x–p
h
Vimos até aqui a definição fundamental da derivada com a utilização do limite, e
apresentamos a notação mais usual para a definição da derivada, no entanto existem outras
formas de representar a derivada, vamos conhecê-las:
Dada a função y = f (x), temos a notação dy para indicar a derivada de f em x.
dx
logo, dy = f '(x), esta última notação foi dada por Leibniz.
dx
Veremos adiante deste capítulo como esta notação é interpretada dentro do estudo da
derivada.
Por hora vamos compreender a definição através seguinte exemplo: Seja a função
f (x) = x2 , calcule a f '(x) , f '(-1) e f '(3).
Solução
f ' (x) = lim f (x + h) – f (x)
h→0
h
f ' (x) = lim (x + h)2 – x2
h→0
h
f ' (x) = lim 2xh + h2 = 2x.
h→0
h
Logo temos f ' (x) = 2x é a derivada de f. Fazendo f ' (-1) = 2(-1) ; f ' (3) = 2(3) daí f ' (-1) = -2
e f ' (3) =6 e estes últimos são os valores que representam a derivada de f nos pontos f '(-1) e
f '(3). ■
2.3 A derivada de f (x) = xn
É muito comum encontrarmos funções do tipo f (x) = xn, fato que comprova isso será
apresentado no próximo capitulo onde estaremos tratando dos problemas de aplicações da
derivada, e calcular a sua derivada através do limite acaba se tornando algo extenso. E este
tópico tem uma dedicação especial sobre a apresentação e prova do teorema referente a
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derivada de funções do tipo f (x) = xn. Temos então uma ferramenta que facilitará nossos
cálculos de aplicação da derivada apresentando-se da seguinte forma mostrado por
Guidorizzi.
Teorema. Seja n ≠ 0 um número natural, é válida a fórmula de derivação:
f (x) = xn → f '(x) = nxn – 1
Demonstração
Dada f (x) = xn, temos,
f '(x) = lim (x + h)n − xn
h→0
h
Vamos agora fazer (x + h) = t (t → x quando h → 0), logo
f '(x) = lim tn − xn = lim [tn-1 + tn-2x + tn-3x2 +...xn-1].
t→ x
t→ x
t–x
Observemos que (tn-1 + tn-2x + tn-3x2 +...xn-1) são n parcelas, sendo assim,
f '(x) = tn-1 + tn-2x + tn-3x2 +...xn-1
pode ser escrito como
f '(x) = nxn – 1.■
Exemplo: Cálcule f '(x):
a) f (x) = x4
b) f (x) = 1
x6
Solução
a) f (x) = x4→ f '(x) = 4x4–1 = 4x3
b) f (x) = 1 é o mesmo que f (x) = x–6 → f '(x) = −6x–6–1 = –6x–7 ■
x6
2.4 Derivadas especiais
Como apresentado anteriormente a derivada de funções polinomiais são bastante
comuns e os estudiosos procuravam sempre encontrar uma forma de facilitar a resolução da
derivada dessas funções. Mas as funções se apresentam de variadas formas. Estaremos
20
tratando neste tópico do trabalho a apresentação de algumas funções mais usuais e suas
respectivas derivadas. Mas o diferencial nesta apresentação é que não será abordado o cálculo
pela definição das derivadas, evitando assim que este trabalho torne-se apenas uma extensão
de conteúdo, visto que nos servirá como simples recordação das definições da derivada e suas
principais características para que possamos compreender a sua importância mediante as
aplicações propostas como objetivo deste trabalho.
No entanto o caro leitor tem a oportunidade de acompanhar, como sugestão, passo a
passo a demonstração de cada item que será apontado aqui através do autor Guidorizzi.
a) f (x) = ex → f '(x) = ex
b) g(x) = ln x → g' (x) = 1 , x > 0
x
Como dito anteriormente a variedade de funções é muito grande, e vamos agora
apresentar algumas funções trigonométricas e suas derivadas.
c) sen' x = cos x
(Lê-se: derivada de sen x igual a cos x, para este caso. Vale esta
notação para as funções seguintes também.)
d) cos' x = − sen x
e) tag' x = sec2 x
f) sec' x = sec x tg x
g) cotg' x = − cosec2 x
h) cosec 'x = − cosec x cotg x.
2.5 Diferenciabilidade e Continuidade
De acordo com Howard Anton, a derivada de uma função é definida nos pontos onde o
limite existe, esses pontos são denominados pontos de diferenciabilidade para f, e os ponto
onde os limites não existem, são denominados pontos não-diferenciabilidade para f. A
diferenciabilidade está relacionada a um ponto ou intervalo que se deseja definir em uma
função. Por exemplo, se dizermos que x0 é um ponto de diferenciabilidade de f, é o mesmo
que dizer que f é diferenciável em x0 ou que a derivada de f existe em x0. O exemplo anterior
mostra um exemplo onde f '(-1) e f '(3) são pontos de diferenciabilidade da função f (x) = x2.
Agora se considerarmos f diferenciável em todo intervalo aberto (a, b), dizemos então que f é
diferenciável em (a, b) ou que a derivada de f existe em (a, b), se esse intervalo for
21
desprezível, então poderemos dizer simplesmente que f é diferenciável. “Geometricamente, os
pontos de diferenciabilidade de f são aqueles onde a curva y = f (x) tem uma reta tangente, e
os pontos de não- diferenciabilidade são aqueles onde a curva não tem reta tangente.”
(ANTON, 2000, p. 181).
Observando o gráfico 2.5.1, temos três exemplos citados por Anton, em que podemos
encontrar pontos de não-diferenciabilidade:
Pico
Ponto de tangência vertical
Ponto de descontinuidade
Gráfico 2.5.1
Com referência aos pontos de descontinuidade, vamos lembrar como se identifica uma
função contínua. O autor Simmons, em seu livro, Cálculo com Geometria Analítica vol. 01,
1987, nos diz: “No linguajar cotidiano, um processo “contínuo” é aquele que ocorre sem
falhas ou interrupções ou mudanças repentinas. Grosso modo, uma função y = f (x) é contínua
se ela mostra um comportamento semelhante, isto é, se uma pequena variação em x produz
uma pequena variação no valor correspondente f (x).” Com este entendimento analisemos
então o seguinte teorema, onde uma função f deve ser contínua em cada ponto onde é
diferenciável.
“TEOREMA. Se f é diferenciável no ponto p, então f é também contínua em
p.”(GUIDORIZZI, 2001, p. 152).
Demonstração
Consideremos por hipótese que f é diferenciável em p, logo teremos que
lim f (x) – f (p)
x→p
x–p
existe e representa a derivada de f em p ( f '(p)).
Queremos provar que f é contínua em p, ou seja temos que mostrar que
lim f (x) = f (p)
x→ p
O autor Guidorizzi aponta a seguinte sequência:
f (x) – f (p) = f (x) – f (p) . (x – p), x ≠ p,
x–p
22
daí,
lim [ f (x) – f (p)] = lim f (x) – f (p) ∙ lim ( x – p) = f '(p) ∙ 0 = 0
x→ p
x–p
x→ p
ou seja,
lim [ f (x) – f (p) ] = 0
x→ p
lim f (x) = f (p). ■
e portanto,
x→ p
2.6 Regras de Derivação
O trabalho de calcular derivada é repleto de minuciosos detalhes que fazem toda a
diferença para o seu cálculo. Para o desenvolvimento do cálculo da derivada foram postas
regras de derivação, que obedecem as características de cada função. Essas regras são
proposto como teoremas, cujas demonstrações também podem serem vistas na obra antes
sugerida, do autor Guidorizzi, e com base neste mesmo autor daremos a apresentação dos
seguintes teoremas como o da Derivada de uma função constante, por exemplo. Para o
conhecermos melhor teremos com base na obra do autor Howard Anton, Cálculo um novo
horizonte, vol. 1, temos;
Seja f (x) = c , onde c é uma constante real qualquer, segue f '(x) = 0. Logo podemos
concluir que a derivada de uma função constante qualquer é 0, se c for um número real
qualquer, vamos ver por que:
Prova. Seja f (x) = c. Usando a definição da deriva,
lim f (x + h) − f (x) = lim c − c = lim 0 = 0
h→ 0
h→0
h→0
h
h
■
Em sequência vamos conhecer as demais regras de derivação:
Teorema 1. Sejam f e g deriváveis em p e seja k uma constante. Então as funções f +g,
kf e f ∙ g são deriváveis em p e têm-se;
I) (f + g)' (p) = f '(p) + g' (p)
II) (kf)' (p) = kf '(p)
III) (f ∙ g) ' (p) = f '(p) g(p) + f (p) g' (p).
Teorema 2. (Regra do quociente). Se f e g forem deriváveis em p e se g (p) ≠ 0 então
f será derivável em p , daí
g
23
(p) = f '(p) g (p) − f (p) g' (p) .
IV)
[g (p)]2
Regra da cadeia. Seja y = f (u) e u = g (x) deriváveis, com Img ∁ Df, então a derivada
da função composta dada por y = f (g (x)) é dada por
dy = f '(g (x)) g '(x)
dx
ou
dy = f '( u) g '(x), onde u = g (x) ou
dx
dy = dy du
dx du dx
onde dy deve ser calculado em u = g (x).
dx
Vejamos alguns exemplos para melhor compreensão.
Exemplo 01. Calcule f '(x) e f '(1), dada f (x) = 4x3 + x2 + 5x - 3
Solução
f '(x) = [4x3 + x2 + 5x – 3]' = [4x3]' + [x2]' + [5x]' – [ 3]' = 12x2 + 2x +5 − 0
note que usamos aqui as regras I), II) do Teorema 1 e a regra da função constante, logo
f '(x) = 12x2 + 2x +5 e
f '(1) = 12 + 2 +5 = 19. ■
Exemplo 02. Seja g (x) = (3x2 + 1) ex. Calcule f '(x).
Solução
Aplicando a regra do produto ( item III do Teorema 01), teremos
f '(x) = [(3x2 + 1)]' ex + (3x2 + 1)[ ex]'
f '(x) = 6x ex + (3x2 + 1) ex
logo,
f '(x) = (3x2 + 6x + 1) ex ■
Exemplo 03. Calcule f '(x) onde f (x) = 2x + 3 .
x2 + 1
Solução
Usando a regra do quociente (item IV do Teorema 02),
f '(x) = (2x + 3)' ( x2 + 1) – (2x + 3)( x2 + 1) '
(x2 + 1)2
Resulta
f '(x) = 2( x2 + 1) – (2x + 3)2x
(x2 + 1)2
24
Logo,
f '(x) = − 2x2 – 6x + 2
(x2 + 1)2
■
Exemplo 04. Calcule a derivada de y = e3x.
Solução
Vamos agora usar a regra da cadeia para solucionar o problema, temos a função y = e3x ,
fazendo y = eu , onde u = 3x, usando a regra da cadeia temos que resolver
dy = dy du
dx du dx
resolvendo separadamente,
dy = eu e du =3
du
dx
resulta
dy = eu ∙ 3 ou dy = 3e3x
dx
dx
■
2.7 Derivada de f (x) g(x)
Dando sequência a apresentação das diferentes formar de funções e a regras de
derivação, encontramos casos em que a função se apresenta na forma y = f (x) g(x) onde f e g
são funções deriváveis num mesmo conjunto A, com f (x) > 0 para todo x ∈ A.
Vamos encontrar a fórmula que é válida para a derivada de y = f (x)
vamos continuar nos embasando pelo autor Guidorizzi.
De
y = f (x) g(x)
vamos aplicar ln aos dois lados, então teremos,
ln y = g (x)ln f (x)
segue que,
y = eg (x)ln f (x)
ou seja,
f (x) g(x) = eg (x)ln f (x)
logo,
[f (x) g(x)]' = eg (x)ln f (x)[ g (x)ln f (x)]' ,
e portanto
[f (x) g(x)]' = f (x) g(x) [ g (x)ln f (x)]' ■
g(x)
, para tanto
25
Um exemplo prático para o uso dessa fórmula é aplicá-lo à função y = xx para
encontrarmos a sua derivada.
Solução
Fazendo
xx = ex ln x
aplicando a fórmula referida
(xx)' = ex lnx (x lnx) = xx( ln x + 1)
e portanto,
(xx)' = xx( ln x + 1) ■
2.8 Derivada de uma função dada implicitamente
Entre as mais diversas funções englobadas no estudo do Cálculo, encontramos funções
cuja derivação deve ser tratada de forma especial, pois ela se difere das demais funções
apresentadas até este momento na sua resolução. Então vamos compreender a origem dessa
forma especial e por que é dita função dada implicitamente. Primeiro, uma função é dita
implícita quando equações como, por exemplo, x2 + y2 = 1, onde cada x correspondem a dois
valores de y, neste caso a fácil notar que os valores assumidos são
ey=−
y=
.
Em termos técnicos: “Dizemos que uma função y = f (x) é dada implicitamente por tal
equação, para todo
x no domínio de f, o ponto (x,f (x)) for solução da
equação.”(GUIDORIZZI, 2001, p. 185).
Vejamos outro exemplo apresentado pelo autor Geraldo Ávila, para compreendermos
melhor a teoria apresentada.
Exemplo. Calcule y' da equação x2y – 2y – 3x – 1 = 0.
Solução
O método mais simples neste caso para calcular a derivada é resolver a equação determinando
y em função de x , então fica
(x2 – 2)y = 1 + 3x
y = 1+ 3x
x2 – 2.
Agora o passo seguinte é calcular a derivada usando a regra do quociente, teremos
26
y '= (x2 – 2)(3) – (1+ 3x)(2x)
(x2 – 2)2
y '= −3x2 – 2x – 6
(x2 – 2)2
■
2.9 Interpretando dy como um Quociente Diferencial
dx
Até este momento usamos dy como uma notação que representasse a derivada de
dx
y = f (x), no entanto estaremos agora inserindo uma interpretação de dy como uma razão, onde
dx
olharemos dx como um acréscimo em x e em seguida para o acréscimo de dy. O autor Howard
Anton chama esse processo de aproximação linear local, nos remitindo para a definição da
derivada como uma forma de diferenciar valores referentes à inclinação da reta tangente a
uma curva no plano, assim como visto no inicio deste capítulo.
Vamos entender geometricamente este conceito, usando algumas interpretações dada
por Guidorizzi, para isto vamos relembrar os conceitos da derivada com relação à reta
tangente. Sabe-se que a derivada é o coeficiente angular da reta tangente que chamaremos de
T, no ponto (x, f (x)), onde
dy = f '(x) = tg α ou dy = f '(x)dx
dx
Vejamos o gráfico 2.9.1, apresentado por Guidorizzi, para que possamos estabelecer relações
com referencia a dy e dx.
Gráfico 2.9.1
Notemos que
∆y = f (x + dx) – f (x) .
27
Isso significa que a expressão acima caracteriza a variação ou acréscimo que a função
sofre quando passa de x à x + dx, daí a idéia de se dizer que dy é um valor aproxima para ∆y.
Logo, quando fizermos ∆y – dy no intuito de aproximar ∆y por dy encontraremos uma
margem de erro como visto no gráfico acima, no entanto quanto menor for dx menor também
será o erro e tão próximos serão dy de ∆y.
Mencionamos a pouco sobre aproximação linear local, para entendermos esses termos
vejamos o que o autor seguinte nos relata. “Fixado x, podemos olhar para a função linear que
a cada dx ∈ IR, associa dy ∈ IR, onde dy = f '(x)dx. Tal função denomina-se diferencial de f
em x , ou, simplesmente, diferencial de y = f (x).” (GUIDORIZZI, 2001, p. 193).
Vamos analisar a função y = x2 como exemplo para que possamos ver como essa
relação de dy com ∆y ocorre.
Primeiro calculemos o diferencial de y = x2, fica,
dy = (x2)' = 2x ou
dx
Vejamos o gráfico 2.9.2 e como se comporta ∆y:
dy = 2xdx.
Gráfico 2.9.2
notemos que
∆y = (x + dx)2 – x2
ou seja,
∆y = 2xdx + (dx)2
como já tinha dy = 2xdx fica que
∆y − dy = (dx)2.
E ressaltando, quando menor for dx, mais próximo dy estará de ∆y. ■
Estes conteúdos referentes ao estudo da derivada realizados até este momento nos
permitiram compreender como a derivada é definida e quais as suas principais características,
28
pois é através destas que daremos como base para o estudo das aplicações da derivada de
funções de uma variável real com a utilização de Máximos e Mínimos na resolução de
problemas economia, física e biologia, por exemplo.
Sendo assim, nosso próximo capítulo estará dedicado um pouco mais às definições da
derivada com ênfase nos estudos de Máximos e Mínimos de uma função e aos problemas de
aplicações, onde o leitor terá a oportunidade de conhecer o mais próximo possível de sua
realidade os motivos pelos quais a derivada se tornou um estudo tão fundamental no
desenvolvimento da vida do homem com a finalidade de vencer suas necessidades.
29
CAPÍTULO 3 APLICAÇÕES DA DERIVADA
Quando falamos em aplicações de derivada estamos simultaneamente falando das
aplicações mais notáveis do Cálculo, principalmente quando procuramos usar estas aplicações
com a finalidade de se encontrar os valores máximos e mínimos de uma função. O cotidiano é
repleto dessas aplicações, onde podemos encontrar, por exemplo, industrias que visam
maximizar sua produção e minimizar custos, economistas que dedicam-se a maximizar lucros.
É sobre estas aplicações que trataremos neste capítulo, conhecendo os principais conceitos
que auxiliarão na visualização das aplicações.
3.1 Teorema do Valor Médio
O teorema apresentado a seguir é um dos mais importantes do estudo do cálculo,
vamos conhecê-lo:
Teorema do Valor Médio. Seja f contínua no intervalo [a,b] e derivável em ]a,b[, então
haverá pelo menos um c em ]a,b[ tal que,
f (b) – f (a) = f ' (c) ou f (b) – f (a) = f ' (c) (b – a)
b–a
Esta notação foi extraída com base no autor Guidorizzi, e pelo mesmo vamos entender
geometricamente como se deu este teorema. Analisemos o gráfico 3.1.1
Gráfico 3.1.1
30
Interpretando o gráfico temos, s é a reta que passa pelos pontos (a, f (a)) e (b, f(b)), e
existirá pelo menos um ponto (c, f (c)) tal que a < c < b onde a reta tangente ao gráfico de f ,
nesse ponto, é paralela a reta s. Temos por definição que,
f (b) – f (a)
b–a
é o coeficiente angular de s, e que f ' (c) é o de T, daí
f (b) – f (a) = f ' (c)
b–a
■
3.2 Intervalos de crescimento e de decrescimento de uma função
Dando continuidade ao teorema anteriormente relacionado vamos aprender a analisar
as zonas de crescimento e decrescimento de uma função através do uso da derivada. Para isto
vamos utilizar alguns fundamentos teóricos dados pelo autor George F. Simmons, e em uma
de suas obras, encontramos uma notação bem clara sobre análise de intervalos de crescimento
e decrescimento de uma função, onde o autor nos diz: “Uma função f (x) é crescente nos
intervalos em que f ' (x) > 0 e é decrescente nos intervalos em que f ' (x) < 0”.
Paralelamente, Guidorizzi nos apresenta o mesmo conceito através de um teorema,
onde encontraremos uma definição mais formal, eles nos fornece:
Teorema. Seja f contínua no intervalo I,
a) Se f ' (x) > 0 para todo x interior a I, então f será estritamente crescente em I.
b) Se f ' (x) < 0 para todo x interior a I, então f será estritamente decrescente em I.
Demonstração
Sejam x1 e x2 pontos quaisquer pertencentes ao intervalo I, com x1 < x2, pelo teorema do
valor médio aplicado ao intervalo [x1, x2], nos garante que existe um ponto c em (x1, x2) de
maneira que,
f (x2) – f(x1) = f '(c)(x2 – x1).
Ocorre que, se f ' for positiva em (a,b), f (x2)
f (x1) > 0 ou f (x2) > f (x1) o que nos diz que a
função será crescente. Da mesma forma se f ' for negativa em (a,b) teremos f (x2)
f (x1) < 0
ou f (x2) < f (x1).■
Esta transformação, “de crescente para decrescente”, ocorre quando a curva passa por
um ponto onde a inclinação da reta tangente (coeficiente angular) é zero, em outras palavras,
31
ocorre quando a derivada de f é zero. Temos que, os valores onde f ' (x) = 0 é denominado por
pontos críticos, e a partir deles podemos estabelecer os pontos de máximos e mínimos
(relativos ou locais) da função, ou em outras palavras, os extremos relativos. Veremos a
seguir a definição de Máximos e mínimos com maior clareza, por hora: “È importante
compreender que um valor crítico não é necessariamente um ponto de máximo ou de mínimo
[...]”. (SIMMONS. 1987, p. 147).
3.3 Máximos e Mínimos Locais
Com base nas informações do tópico anterior vamos definir o que é um ponto de
máximo e de mínimo locais, através de dois conhecidos Testes da Primeira e da Segunda
Derivada.
Teste da Derivada Primeira. Seja f uma função com ponto crítico
em x0, de sorte que f (x0) = 0. Se f '(x) for positiva à esquerda e negativa à
direita de x0, então x0 será ponto de máximo de f (x). Ao Contrário, se f '(x)
for negativa à esquerda e positiva à direita de x0, então x0 será ponto de
mínimo de f (x).
Teste da Derivada Segunda. Seja f uma função com ponto crítico
em x0, tal que f '(x) seja contínua num intervalo (x0 – , x0 + ). Então x0 será
ponto de máximo de f ''(x0)< 0 e ponto mínimo se f ''(x0) > 0.(ÁVILA, 1994,
p.224).
Uma aplicação onde usaremos esse procedimentos para localização de máximo ou
mínimo local podemos observar pelo seguinte exemplo:
● Um jardim retangular de 50 m2 de área deve ser protegido contra animais. Se um
lado do jardim já esta protegido por uma parede de celeiro, quais a dimensões da cerca de
menor comprimento?
Solução
Vamos chamar de L o comprimento total da cerca, onde x simboliza a medida da largura da
certa e y é comprimento lateral. Logo,
L = 2x + y
Com a restrição de que a área seja de 50m2, dai
xy = 50 ou y = 50
x
substituindo fica
L = 2x + 50.
x
32
Derivando teremos
L ' = 2 – 50.
x2
Equacionando
2 – 50 = 0 → x2 = 25 → x = 5.
x2
Observe que a raiz x = −5 foi ignorada, pois x representa uma medida, logo é descartada. De
xy = 50 temos que y = 10. Logo o jardim com a menor cerca tem 5 metros de largura e 10
metros de comprimento. ■
Temos ainda um reforço para o entendimento de quando se agrega a definição de
valores máximos e mínimos locais (relativos) fornecidos pelo autor Simmons. Ele nos remete
que Máximos ou Míninos relativos são ocasionados quando comparamos valores de máximos
e de mínimos, levando em consideração, somente pontos vizinhos sobre essa curva. Agora, se
compararmos esses valores de máximos e mínimos relativos entre si, estaremos determinando,
o máximo e o mínimo absoluto (extremos absolutos). Nosso próximo tópico tratará da
definição de extremos absolutos para que possamos fazer a sua a sua distinção.
3.4 Máximos e Mínimos Absolutos
Vejamos a definição apresentada pelo autor Howard Anton:
Definição. Dizemos que uma função f tem um máximo absoluto em um intervalo I num
ponto x0 se f (x0) for o maior valor de f em I; isto é, f (x0) ≥ f (x) para todo x em I.
Analogamente, dizemos que f é um mínimo absoluto em um intervalo I num ponto x0 se f (x0)
for o menor valor de f em I; isto é, f (x0) ≤ f (x) para todo x em I. Se f tiver em x0 qualquer um
dos dois, máximo absoluto ou mínimo absoluto em I, dizemos que f tem em x0 um extremo
absoluto em I.
Dessa forma podemos dizer que um ponto extremo absoluto é aquele em que se
assume o maior e o menor valor que qualquer outro. E serão estes valores absolutos que nos
interessará para colocarmos em prática o conceito de aplicação. Vejamos a seguir uma
propriedade que nos ajudará na indicação da existência de extremos absolutos.
“TEOREMA. (Teorema do Valor Extremo). Se uma função f for contínua num
intervalo fechado finito [a,b], então f tem ambos um máximo e um mínimo absolutos em [a,
b].” (ANTON. 2000, p. 331).
33
O teorema apresentado anteriormente é um mecanismo de determinação de existência
dos extremos absolutos, mas não é o suficiente para a determinação propriamente dita desses
valores. Então quando falamos em determinar condições para encontrar valores de extremos
absolutos, temos o seguinte teorema que nos orienta: “TEOREMA. Se f tiver um extremo
absoluto em um intervalo aberto (a, b), então ele precisa ocorrer em ponto crítico de
f.”(ANTON. 2000, p. 332).
Anton nos apresenta de forma detalhada, os procedimentos para encontrar extremos
absolutos de uma função contínua f em um intervalo finito fechado [a, b]:
“Passo 1. Ache os pontos críticos de f em (a, b).
Passo 2. Ache o valor de f em todos os pontos críticos e nos extremos a e b.
Passo 3. O maior entre os valores do Passo 2 é o valor máximo absoluto de f em [a, b],
enquanto que o menor valor é o mínimo absoluto.”
Tendo bem definido como encontrarmos os extremos absolutos de uma função, vamos
entender como esses extremos são úteis na resolução de problemas de aplicação. Para isto
vamos analisar o problema proposto pelos autores Laurence D. Hoffann e Gerald L. Bradley:
● Há varias semanas, o Departamento de Estradas vem registrando a velocidade do
tráfego fluindo numa auto-estrada após uma saída. Os dados sugerem que, entre 13:00 h e
18:00 h num dia de semana normal, a velocidade do tráfego na saída é aproximadamente
expressa pela equação S(t) = t3 – 10,5t2 + 30t + 20 km/h, onde t é o número de horas após o
meio-dia. A que horas entre 13:00 e 18:00 o tráfego se move mais rápido, e a que horas ele se
move mais lentamente?
Solução:
A meta é achar o máximo e o mínimo absolutos da função S(t) no intervalo 1 ≤ t ≤ 6.
Da derivada
S ' (t) = 3t2 – 21t + 30 = 3(t2 – 7t +10) = 3(t – 2)(t – 5)
obtém as coordenadas t = 2 e t = 5 dos pontos críticos de primeira ordem, ambos os quais
situam-se no intervalo 1 ≤ t ≤ 6.
Calcule S(t) para estes valores de t e nas fronteiras t = 1 e t = 6, para obter
S(1) = 40,5
S(2) = 46
S(5) = 32,5
S(6) = 38
Como o maior desse valores é S(2) = 46, e o menor é S(5) = 32,5, você pode concluir que o
tráfego está se movendo mais rápido às 14:00, quando a velocidade é de 46km/h, e mais
lentamente às 17:00 h, quando a velocidade é de 32,5 km/h. ■
Podemos encontrar vários problemas como este, onde podemos usar a derivada
de primeira ordem para encontrar os extremos absolutos, no entanto vamos também nos
34
defrontar com problemas cujo intervalo possuirá apenas um ponto crítico, neste caso o
método anteriormente utilizado será insuficiente para resolver o problema. Logo, podemos
utilizar o Teste da Segunda derivada para Extremos Absolutos para solucionar essa situação.
Teste da Segunda derivada para Extremos Absolutos
Suponha que f seja contínua num intervalo no qual x = a seja o único ponto
crítico de primeira ordem, e que f (a) = 0.
Se f ''(a) > 0, então f (a) é um mínimo absoluto de f no intervalo.
Se f ''(a) < 0, então f (a) é um máximo absoluto de f no intervalo.
O teste da segunda derivada para extremos absolutos pode ser
aplicado a qualquer intervalo, seja ele fechado ou não. O único requisito é
que a função seja contínua e tenha somente um ponto crítico no intervalo.
Aqui está uma definição mais precisa desta situação. (HOFFMANN;
BRADLEY. 1999, p. 158.).
Vamos então apresentar mais um exemplo, onde aplicaremos o teste da segunda
derivada, lembrando que este exemplo também é uma abordagem aprestada pelos autores
Hoffmann e Bradley.
● Supondo que, quando q unidades de um certo produto são produzidos, o custo de
produção total seja C(q) = 3q2 + 5q + 75 u.m. Em que nível de produção o custo médio
unitário será mínimo?
Solução:
O custo médio unitário é o custo total dividido pelo número de unidades produzidas. Assim,
se q unidades são produzidas, o custo médio é
A(q) = C(q) = 3q2 + 5q + 75 = 3q + 5 + 75
q
q
q
u.m. por unidade. Como somente valores positivos de q têm significado no contexto, a meta é
encontrar o mínimo absoluto da função A(q) no intervalo não-limitado q > 0.
A derivada de A é:
A' (q) = 3 – 75.
q2
a qual é zero quando
3 – 75 = 0
q2
q2 = 25
ou
q = +5
Deste dois valores de q, somente q = 5 está no intervalo relevante q > 0. Como q = 5 é
o único número crítico de primeira ordem no intervalo, e também A(q) é contínua no intervalo
(sua única descontinuidade de primeira ordem ocorre em q = 0, que não está no intervalo),
você pode aplicar o teste da segunda derivada para extremos absolutos.
A segunda derivada é A'' (q) = 150. Como A'' (5) = 150 > 0, segue-se que A(q) tem
35
q3
(5)3
seu mínimo absoluto em q = 5. Isto é, o custo médio unitário e mínimo quando 5 unidades são
produzidas e é igual a A(5) = 35 u.m. por unidade neste nível de produção. ■
Estes exemplos citados anteriormente são apenas alguns entre uma infinidade de
problemas de aplicações de máximos e mínimos de funções de uma variável real, onde
podermos ressaltar a importância da derivada e seus conceitos de aplicações. No entanto
estaremos expondo nos próximos tópicos alguns problemas de aplicações em diversas áreas
do conhecimento.
3.5 Aplicações com Máximo e Mínimos
Estaremos neste momento listando alguns problemas de aplicações, estes mesmos
foram extraídos com base em pesquisas bibliográficas, onde a cada problema estará apontado
o(s) autor(s) e obra responsável pela informação prestada auxiliando assim na construção
deste trabalho, como, Howard Anton, Laurence D. Hoffmann , Gerald L. Bradley, Geraldo
Ávila e Hamilton Luiz Guidorizzi, por exemplo, para que possamos conhecer diferentes
pontos de vista sobre os problemas de aplicações envolvendo Máximos e Mínimos.
Vamos considerar os seguintes problemas abaixo relacionados à Economia, expostos
pelo autor Howard Anton em seu livro Cálculo: Um novo horizonte. Notemos que estes
problemas exprimem na maioria das vezes um objetivo comum, de maximizar lucros,
minimizar custos, fazendo com que um economista busque a melhor forma de traçar
estratégias que visam a melhor rentabilidade para a empresa a qual está direcionando seu
projeto.
Problema 01. Uma forma líquida de penicilina fabricada por uma firma farmacêutica
é vendida a granel a um preço de $200 por unidade. Se o custo total de produção (em Dolores)
para x unidades for C(x) = 500.000 + 80x + 0,003x2 e se capacidade de produção da firma for
de, no máximos, 30.000 unidades em um tempo especificado, quantas unidades de penicilina
devem ser fabricadas e vendidas naquele tempo para maximizar o lucro?
Solução
Notemos que o rendimento total na venda de x unidades é representada por R (x) = 200x, e o
lucro sobre x unidades será
36
P (x) = R (x) – C (x)
P (x) = 200x – (500.000 + 80x + 0,003x2)
Como a capacidade de produção é de no máximo , 30.000 unidades, x deve estar no intervalo
[0, 30.000]. Derivando P em função de x fica
P' (x) = 200 – (80 + 0.006x)
P' (x) = 120 – 0,006x.
Equacionando teremos
120 – 0,006x = 0 ou x = 20.000.
Observemos que x = 20.000 encontra-se entre os pontos críticos no intervalo [0, 30.000], logo
o lucro só deve ocorrer em um dos pontos
x = 0,
x = 20.000 ou
x = 30.000
substituindo os valores acima em
P (x) = R (x) – C (x) = 200x – (500.000 + 80x + 0,003x2)
obteremos os resultados
P (0) = -500.000 , P (20.000) = 700.000 e P(30.000) = 400.000.
Daí concluímos que o lucro máximo P = 700.000 ocorre quando x = 20.000 unidades forem
fabricadas no tempo especificado. ■
Os problemas que serão apresentados a seguir estão fundamentados no livro Cálculo:
um curso moderno e suas aplicações, dos autores Laurence D. Hoffmann e Gerald L. Bradley,
notemos também que são problemas aplicáveis por profissionais de Economia e mesmo de
Administração.
Problema 02. Um produtor pode fazer rádios a um custo de $2 cada. Os rádios são
vendidos por $5 cada, a este preço, a este preço os consumidores compram 4.000 rádios por
mês. O produtor planeja elevar o preço dos rádios, e estima que, para cada $1 de aumento no
preço, 400 rádios a menos serão vendidos por mês. A que preço deve o produtor vender os
rádio para maximizar seu lucro?
Solução
Chamemos de x o preço pelo qual os rádios serão vendidos, e P (x) o lucro referente. O
objetivo é maximizar o lucro. Notemos que o lucro é representado por
Lucro = (número de rádios vendidos)(lucro por rádio)
Como 4.000 rádios são vendidos em um mês quando o preço é $5 e 400 menos são vendidos
mensalmente par cada $1 de aumento no preço, seque que:
Número de rádios vendidos = 4.000 – 400(número de aumento de $1)
37
O número de aumentos de $1 no preço é representado pela diferença x – 5. Assim,
Número de rádios vendidos = 4.000 – 400(x – 5)
Número de rádios vendidos = 400 [10 − (x – 5)] = 400(15 – x)
E o lucro por rádio é dado por
Lucro por rádio = x – 2
Logo nossa fórmula fica
P (x) = 400(15 – x)(x – 2)
A partir desta informação vamos encontrar o intervalo para x. Sabemos que $5 é preço
mínimo admitido, note que se fizermos x = 5 a equação 400(15 – x) se anulará, logo podemos
restringir o problema para o intervalo [5,15]. Calculando a derivada de P (x) termos
P' (x) = 400[(15 – x) + (x – 2)(-1)] = 400[(15 – x − x + 2) = 400(17 – 2x)
Equacionando temos
17 – 2x = 0 ou x = 8,5
Substituindo o valor crítico e os do intervalo encontrados, teremos:
P (5) = 12.000 , P (8,5) = 16.900 e P (15) = 0
Logo, o lucro máximo possível é de $ 16.900 se o s rádios forem vendidos por $8,50 cada. ■
Problema 03. Uma lata cilíndrica deve ser construída para conter um volume fixo (constante)
de líquido. O custo do material usado para a tampa e fundo da lata é de 3 centavos por
polegada quadrada, e o custo do material para a lateral é de 2 centavos por polegada. Use o
Cálculo para reduzir uma relação simples entre o raio e a altura da lata que produz o menor
custo de construção.
Solução
Vamos usar as seguintes denominações:
r = raio, h = altura, C = custo total (em centavos) e V = volume (fixo). E poderemos verificar
que o custo é formado da seguinte forma:
Custo = custo da tampa + custo do fundo + custo lateral
onde cada componente de custo representa o (custo por polegada quadrada)(área), Dessa
forma teremos que:
Custo da tampa = custo do fundo = 3πr2
Custo lateral = 2(2πrh) = 4πrh.
Logo,
C = 3πr2 + 3πr2 + 4πrh ou C = 6πr2 + 4πrh
38
e matematicamente teremos
V = πr2h, onde o volume representara uma
constante. Isolando h fica
h=V.
πr2
Substituindo h na fórmula de C obteremos
C (r) = 6πr2 + 4πr
= 6πr2 +
.
Sabemos que r > 0. Derivando C
Equacionando
C' (r) = 12πr – 4V
r
12πr = 4V ou 3r = V mas como h = V
r
πr2
πr2
logo
h = 3r.
Isto significa que a função custo é minimizada quando a sua derivada é zero e a altura da lata
deve ter 3 vezes o seu raio, e ainda aproveitando a equação r anterior termos que C(r) tem
somente um ponto crítico correspondente à
r=
onde r > 0.
Por isso apliquemos a regra da segunda derivada, fica
C '' (r) = 12π + 8V
r3
que é claramente positiva quando r > 0.
Logo o ponto crítico que levou a h = 3r corresponde ao mínimo absoluto da função custo no
intervalo r > 0. Portanto, a relação h = 3r produz o menor custo de construção para a
construção da lata. ■
Analisando as aplicações acima relacionadas até este momento, podemos verificar que
tanto um economista ou um administrador de empresas visam estabelecer as melhores
condições de produção para a empresa a qual prestam seus serviços, e o uso desta análise
matemática referente aos Máximos e Mínimos se torna uma ferramenta comum em seus
trabalhos, por este motivo, o problema apresentado pode nos sugerir uma interpretação tanto
baseado na Economia como na Administração. Vejamos o problema de aplicação seguinte
extraído da obra Cálculo com Aplicações dos autores Larson, Hostetler e Edwards, onde
poderemos assimilar melhor esta idéia.
Problema 04. Uma empresa acha que o custo (em dólares) da produção de x unidades de um
artigo pode ter como modelo C = 800 + 0,04x + 0,0002x2. Ache o nível de produção que
minimiza o custo médio unitário.
Solução
39
Temos da equação anterior que C representa o custo total, x é o número de unidades e
chamemos o custo médio de C. A equação fundamental de custo médio é dada por
C=C
x
substituindo C fica
C = 800 + 0,04x + 0,0002x2
x
ou
C = 800 + 0,04 + 0,0002x com x > 0,
x
derivando
C' = − 800 + 0,0002x.
x2
Equacionando,
− 800 + 0,0002x = 0
x2
0,0002
x = + 2.000
Escolhendo o valor positivo de x observa-se que o nível de produção x = 2.000 minimiza o
custo médio unitário. ■
Como mencionado anteriormente, problemas como estes podem ser utilizados tanto
por economistas como por administradores, desde que seus trabalhos estejam centrados do
objetivo maior de direcionar a melhor rentabilidade e os menor custo de produção dentro de
um mercado industrial qualquer.
Agora, vamos conhecer uma aplicação muito interessante relacionado à área de
Biologia. O problema está fundamentado na obra Cálculo - Um curso moderno e suas
Aplicações dos autores Laurence D. Hoffmann e Gerald L. Bradley.
Problema 05. Quando você tosse, o raio da traquéia diminui, afetando a velocidade do ar da
traquéia . Se r0 é o raio normal da traquéia, a relação entre a velocidade S do ar e o raio r da
traquéia durante a tosse é dada pela função na forma S(r) = ar2(r0 – r), onde a é uma constante
positiva. Encontre o raio r na qual a velocidade do ar é máxima.
Solução
40
O raio r da traquéia contraída não pode ser maior que o raio da traquéia normal r0 ou menor
que zero. O objetivo é encontrar o máximo absoluto de S(r) no intervalo 0 ≤ r ≤ r0. Derivando
S(r) teremos que
S' (r) = − ar2 + (r0 – r)(2ar) = ar[−r + 2(r0 – r)] = ar (2r0 – 3r).
Equacionando
ar (2r0 – 3r) = 0 → r = 0 ou r = 2r0.
3
Observemos que os valores de r situam-se no intervalo 0 ≤ r ≤ r0. Temos então os seguintes
valores:
S(0) = 0
S(2r0/3) = 4ar03
27
S(r0) = 0
Comparando esses valores podemos concluir que a velocidade do ar é máxima quando o raio
da traquéia contraída é 2r0/3, isto é, quando ela vale 2/3 do raio da traquéia não-contraída. ■
Aplicações como esta acima é somente um exemplo de como o e estudo da Derivada
por meios de Máximos Mínimos auxiliam cientistas na observação do comportamento do
organismo humano e funcionalidade de nossos órgãos, contribuindo para o avanço de
pesquisas e diagnósticos de problemas de saúde. Lembrando, que como mencionado antes, a
aplicação em Biologia não se restringe a meios medicinais, ela pode ser tratada com inúmeras
finalidades, como estudo de ecossistemas, por exemplo, sejam animais ou vegetais.
Mas o uso da Derivada é facilmente verificado em várias ciências, vamos agora
conhecer as aplicações para Geometria, como mostra os problemas adiante, que estão
baseados nos conceitos apresentados pelos autores Mustafa A. Munem e David J. Foulis onde
daremos introdução a mais algumas aplicações da derivada com a utilização de máximos e
mínimos absolutos voltados para a geometria.
Problema 06. Quadrados iguais são cortados de cada canto de um pedaço retangular de
papelão medindo 8 centímetros de largura por 15 centímetros de comprimento, e uma caixa
sem tampa é construída virando os lados para cima. Determine o comprimento x dos lados dos
quadrados que devem ser cortados para a produção de uma caixa de volume máximo.
Solução
Chamaremos o volume da caixa sem tampa de V. Da figura vemos que a altura da caixa é de
x centímetros, a largura é 8 – 2x centímetros e o comprimento 15 – 2x centímetros.
Desse modo teremos
V = x(8 – 2x)(15 – 2x) = 4x3 – 46 x2 + 120, com 0 ≤ x ≤ 4.
Essa informação nos remete à
41
f (x) = 4x3 – 46 x2 + 120,
derivando fica:
f '(x) = 12x2 – 92x + 120 = (x – 6)(12x – 20).
Equacionando teremos
(x – 6)(12x – 20) = 0, onde x = 5/3 ou x = 6,
como o nosso intervalo 0 ≤ x ≤ 4 admite somente x = 5/3 como ponto crítico. Substituindo os
valores de x:
f (0) = 0, f (5/3) ≈ 90,74 e f (4) = 0.
Logo podemos concluir que o volume máximo (aproximadamente 90,74 centímetros cúbicos)
é obtido cortando dois quadrados cujos lados medem 5/3 centímetros. ■
Problema 07. Uma lata cilíndrica de estanho (sem tampa) tem volume de 5
centímetros cúbicos. Determine suas dimensões se a quantidade de estanho para a fabricação
da lata seja mínima.
Solução
Vamos denominar de h a altura da lata cilíndrica e de r o raio da base circular. Lembremos
que o volume de um sólido cilíndrico é dado por V = πr2h, logo πr2h = 5 ou h =
. E a área
da superfície lateral é 2πrh e a área base é πr2. Logo S que denotaremos como a área total
será
S = 2 πrh + πr2 = 2πr
+ πr2 =
+ πr2, com r > 0.
E seja g a função definida por
+ πr2 para r > 0.
g (r) =
Derivando
g' (r) = −
+ 2πr para r > 0.
Equacionando
−
+ 2πr = 0, 2πr =
ou ainda
r3 =
=
42
é o único valor crítico para g. Como g' (r) < 0 para 0 < r <
Portanto r =
para r >
.
Segue que g é decrescente em (0,
e g' (r) > 0
π] e crescente em [
Consequentemente, g atinge um valor mínimo absoluto quando r =
π,∞).
≈ 1,17 cm e h
=
≈ 1,7 cm. ■
Tendo compreendido a aplicabilidade da Derivada como mostra os problemas
anteriores, vamos apresentar também aplicações da Derivada voltadas para a Física, onde
pode ser tratado, por exemplo, na ótica o princípio de Fermat afirmando que a luz segue o
caminho que minimiza o tempo de percurso, então o exemplo seguinte mostra como o
princípio de Fermat pode ser usado para resolver um problema da ótica, como mostra os
autores Munem e Foulis.
Problema 08. Um raio luminoso partindo do ponto (0,1) no eixo y encontra um
espelho horizontal disposto ao longo do eixo x no ponto (x, 0) e é refletido para o ponto (4,1),
como mostra o gráfico 3.5.1.Use o princípio de Fermat para determinar valor de x. (Assuma
que a luz viaja com velocidade constante c).
Gráfico 3.5.1
Solução
A distância entre (0,1) e (x, 0) é dada por
–
–
=
,
então o tempo necessário para o raio luminoso ir de (0,1) a (x, 0) é
o tempo necessário para o raio refletido ir de (x, 0) a (4,1) é dado por
. Da mesma forma,
43
=
Portanto, o tempo total de percurso (denominado por T) do ponto (0,1) ao ponto (4,1) é dado
por,
T(x) =
+
).
Derivando,
+
T '(x) =
.
Equacionando
–
x
(
)
- 8x + 17) =
+ 17
=
−8
(
− 8x + 16
+ 17
8x = 16 ⟹ x = 2
Logo, 2 é o púnico ponto crítico de T . Substituindo os valores encontrados temos:
T (0) =
(1+
≈
; T (2) =
(
≈
; T (4) = =
(1+
≈
Portanto T atinge seu valor mínimo absoluto quando x = 2. ■
Problema 09. James mora numa ilha a 6 km da praia e sua namorada Jean mora a 4
km praia acima, James pode remar seu barco a 3 km por hora e pode andar 5 km por hora na
praia. Encontre o tempo mínimo gasto por James para alcançar a casa de Jean vindo de sua
ilha.
Solução
Vamos representar os pontos de localização entre a ilha de James e a casa de Jean
estabelecendo um sistema de coordenadas. Situando a ilha de James no ponto (0,6) e a casa de
Jean no ponto (4.0) como mostra o gráfico 3.5.2. Supondo que James reme seu barco de sua
ilha ao ponto (x,0) na praia e então caminhe a pé de (x,0) até a casa de Jean.
44
Gráfico 3.5.2
Levando em consideração as diferentes relações de tempo gasto para remar e andar, vemos
que o tempo de percurso denominado por T é dado por
+
T=
ou seja,
+
T=
, 0 ≤ x ≤ 4.
Desse modo, a função f é definida por :
+
f (x) =
para 0 ≤ x ≤ 4.
Nosso objetivo é encontrar o valor mínimo absoluto da função contínua f no intervalo fechado
[0,4]. Derivando teremos
f ' (x) =
x
=
x
−
Equacionando fica
5x =
,
x=+
.
.
45
Analisando os pontos críticos x = −
ex=
temos que rejeitá-los, pois ambos os valores não
pertencem ao intervalo 0 ≤ x ≤ 4. Desse modo a função f não possui pontos crítico no
intervalo (0,4). Agora calculando f (0) e f (4), termos:
≈
f (0) = 2,8 e f (4) =
.
Podemos concluir que f assume valor mínimo quando x = 4, ou seja, James fará o percurso em
menor tempo se remar direto para a casa de Jean e ele levará
≈
horas para
chegar.■
Problema 10. O navio A está 65 km a leste do navio B e está viajando para o sul a 15
km por hora, enquanto o navio B está indo para o leste a uma velocidade de 10 km por hora.
Se os navio continuam seus cursos respectivos, determine a menor distância entre eles e
quando isto irá ocorrer.
Solução
Observe o gráfico 3.5.3, onde P mostra a posição original do navio A enquanto Q mostra a
posição original do navio B.
Gráfico 3.5.3
Depois de t horas, B terá se movido 10t km, enquanto que A terá se movido 15t km.
Calculando a distância entre os navios pelo teorema de Pitágoras no tempo t teremos:
y=
=
y é mínima quando a expressão é mínima,
= 325(
ou seja , quando
- 4 + 13)
- 4 + 13 é mínima. E seja a função definida por f (t) = (
- 4 + 13)
derivando fica
f ' (t) = 2t – 4
onde t = 2 é o único ponto crítico de f. Neste caso, f ' (t) < 0 para 0 < t < 2 e f ' (t) > 0 para
46
t > 2. Logo f é crescente no intervalo [0, 2] e crescente no intervalo [2, ∞).
Consequentemente, f atinge um valor mínimo absoluto quando t = 2 horas. Portanto a menor
distância entre os navios ocorre depois de 2 horas, e a distância entre eles será de:
y=
≈
km ■
Estes últimos problemas mostram aplicações físicas, onde os problemas apresentavam
uma necessidade de se calcular a menor distância e tempo gasto para percorrer um percurso
entre pontos distintos representados pelos problemas 09 e 10, por exemplo. Mas as aplicações
da derivada se estendem a tantas outras áreas do conhecimento não relatadas aqui, mas este
trabalho foi elabora com a finalidade de apresentar situações que auxiliam ao leitor a
compreender que o estudo da Derivada é muito mais que a análise de um conjunto de funções
sobre um aspecto geométrico. A Derivada é na verdade uma ferramenta construída para
solucionar problemas, auxiliando o homem a encontrar, para cada uma de suas necessidades,
o melhor resultado e benefício de seu trabalho.
47
CONCLUSÃO
No desenvolvimento deste trabalho observamos uma estrutura que nos apresenta
aspectos fundamentais para a compreensão da Derivada, como os fatos históricos, apontando
os principais cientistas que levaram à formalização da Derivada, o conceito propriamente dito,
onde pudemos relembrar as principais noções de como se caracteriza seu estudo e as
ferramentas que nos ligam às suas aplicações através da utilização de Máximos e Mínimos de
uma função.
Com estas informações esperamos que este trabalho possa auxiliar ao caro leitor na
compreensão de que a Derivada é muito mais que apenas um conteúdo, ela possui uma vasta
compreensão, que não se restringe apenas na análise de como encontrar a reta tangente à
curva de uma função, mas sim que ela se firma por suas atribuições na resolução de
problemas sejam eles científicos ou do cotidiano, dentre as mais diversas áreas de
conhecimentos, não só matemáticos.
48
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