Volume, cones e cilindros
Série Problemas e soluções
Objetivo
1. Apresentar uma aplicação do cálculo do
volume de sólidos no cotidiano.
Volume, cones e
cilindros
Série
Problemas e Soluções
Conteúdos
Volumes de cones e cilindros e a
relação entre volumes e alturas
de cones semelhantes.
Duração
Aprox. 10 minutos.
Objetivo
1. Apresentar um problema
prático envolvendo volumes
de sólidos.
Sinopse
Antônio e Mariana são colegas de
escola e na hora do lanche seu
João, dono da cantina, lhes faz
um desafio: em que tipo de copo
é necessário menos liquido para
atingir metade da sua altura, o
cônico ou o cilíndrico? Caso
acertem o desafio receberão um
copo de suco grátis. Para tanto
terão de lembrar as aulas sobre a
razão entre altura e volume de
cones semelhantes.
Material relacionado
Vídeos: Fórmula mágica, 3 2 1
mistério, Halloween;
Experimentos: Qual o cone de
maior volume, Quanto você tem
de pele, Princípio de Cavalieri;
Introdução
Sobre a série
A série Problemas e Soluções trata de problemas típicos de matemática
do ensino médio contextualizados por uma ficção. Em cada programa
um ou dois problemas são interpretados no primeiro bloco de cinco
minutos, ao final do qual o leitor é convidado a tentar resolver. No
contexto da sala de aula, o professor então tem a oportunidade de
discutir os métodos ou as formas possíveis de resolver o problema. O
segundo bloco do programa apresenta as soluções e alguns
comentários ou informações adicionais.
Durante o programa os alunos devem exercitar a sua abstração, pois
estarão apenas ouvindo os problemas e as suas soluções, mas é
sempre recomendável que os ouvintes façam anotações para melhor
aproveitar o conteúdo.
Sobre o programa
O programa apresenta dois estudantes, Antônio e Mariana que na hora
do lanche são desafiados pelo senhor João, dono da cantina, a resolver
o seguinte problema: é necessário menos suco para atingir metade da
altura do copo cilindrico ou do cônico (ambos de mesmo volume e
área da base)? A resposta certa vale um copo de suco.
Para resolver o problema Mariana recorda da aula sobre a razão entre
altura e volume de cones semelhantes.
De fato, o volume necessário para atingir metade da altura do cilindro
é o volume de um cilindro com mesma base, mas metade da altura do
cilindro original e, portanto metade do volume uma vez que o volume
Vci de um cilindro de área da base A e altura h é dado por
Vci=A×h
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Logo para atingir metade da altura do copo cilindrico precisamos da
metade de seu volume, e como ambos os copos tem 400 ml, o volume
necessário para atingir metade da altura do copo cilíndrico é 200ml.
No caso do copo cônico, para ocupar metade do volume deste copo o
liquido preencherá uma região que corresponde a um cone semelhante
ao original, mas com metade de sua altura. Veja o desenho abaixo.
h
h1
Figura 1
Ora, sabemos que a razão entre o volume do cone menor V1 e o
volume do maior V é dado por
V1/ V= (h1/h)3
onde h1 e h são as alturas do cone menor e maior respectivamente.
Segue que se o cone maior tem 400ml e altura h e o menor tem altura
h/2 então o volume V1 do cone menor é 50 ml. Portanto o copo no
qual com a menor quantidade de liquido se atinge metade da altura é
o cônico, como bem respondeu Mariana e merecidamente ganhou seu
copo de suco grátis.
Sugestões de atividades
Antes da execução
Caso ainda não tenha tratado de cones semelhantes, e da razão entre
seus volumes convêm que o professor o faça antes da execução.
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Definição: Dois cones C1 e C2 são semelhantes se C1 pode ser
identificado (via movimento rígido) com o conjunto dos pontos de C2
cuja altura em relação à base de C2 é maior ou igual a um valor h0>0.
Veja a Figura 1para visualizar o conceito de cones semelhantes.
A fórmula do volume de um cone pode ser obtido por comparação
com uma pirâmide apropriada via prinípio de Cavalieri como no livro
“Fundamentos de Matemática Elementar vol. 10” de O. Dolce e J.
Pompeo. A fórmula do volume do cone é
V= 1/3 (A×h)
onde A é a área da base e h é a altura do cone.
Observe que se dois cones C1 e C2 são semelhantes, podemos dispolos um sobre o outro como na figura 2, e então temos que a interceção
de C1 (cone maior) com o plano P passando pelo vértice de C1 e o
centro de sua base é um triangulo o qual é semelhante ao triângulo
formado pela interseção de C2 com P.
P
C2
h2
T2
C1
h1
T1
d2
d1
Ora, os triângulos T1 e T2 são semelhantes, logo,
h1/d1= h2/d2
d1=h1d2/h2 .
ÁUDIO
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Mas a área A1 da base de C1 é dada por A1=π(d1/2)2 , e analogamente
A2= π(d2/2)2 , donde substituindo a expreção obtida acima, obtemos a
razão entre as áreas de cones semelhantes em termos da razão entre
suas alturas que é
A1/A2= (h1/h2)2.
Substituindo esta expessão na expressão para o volume do cone
obtemos
V1/V2=(h1/h2)3.
Durante a execução
Incentivar os alunos a anotarem as informações à medida que são
faladas no primeiro bloco.
Durante o intervalo, desafiar os alunos para resolverem o problema.
Assim que resolverem o problema ou se um tempo estabelecido se
esgotar, pode-se apresentar o segundo bloco do programa, que
contém a solução e algumas informações e curiosidades.
Depois da execução
Apresentamos abaixo uma aplicação da fórmula da razão entre áreas
de cones semelhantes apresentada na seção “ Antes da Execução”.
Casquinha de sorvete
Uma fábrica de casquinhas de sorvete passará a fabricar um novo
tamanho de casquinhas, o qual deverá ser semelhante à tradicional
mas com altura 4/3 maior. Sabendo que cada casquinha do
tamanhanho tradicional é vendida por 9 centavos, quanto deverá
custar a unidade da nova casquinha para que seja mantida a atual taxa
de lucro?
ÁUDIO
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Solução:
A quatidade de material usado do em cada casquinha é proporcional à
área do cone por ela formado. Logo a razão entre o preço pT da
casquinha tradicional e o preço pN da nova casquinha deve ser igual a
razão entre suas áreas (AT e AN respectivamente). Ou seja,
pT/pN=AT/AN.
Ora,
AT/AN = (hT/hN)2=(3/4)2=9/16,
e além disso pT= 9, logo, pN= 16 centavos.
Ficha técnica
Autor Alison Marcelo Van Der Lan Melo
Revisão Samuel Rocha de Oliveira
Coordenação de Mídias Audiovisuais Prof. Dr. Eduardo Paiva
Coordenação Geral Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira
Universidade Estadual de Campinas
Reitor Fernando Ferreira Costa
Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca
Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Diretor Caio José Colletti Negreiros
Vice-diretor Verónica Andrea González-López
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