Física Computacional – Breve Introdução
Versão moderna do método
da Exaustão (Método de
Euler)
Equações diferenciais de
1ª ordem acoplada (
dificuldades no método da
Exaustão)
QCDOC (QCD on a Chip)
Rômulo Rodrigues da Silva
Universidade Federal de Campina Grande (UFCG)
UAF- 27 de novembro de 2007
Equação diferencial ordinária de 1ª ordem:
d
dx
y( x )f( x )
Solução formal:
x

y( x )y( x0 ) f( xl ) dxl

x0
O problema que nem sempre é possível integrar analiticamente!!
Existe vida sem o Cálculo?
Integração da curva F( x )
1x
2
Via método das quadraturas (Arquimedes 250 a.C)
Teto superior da soma
Teto inferior da soma
+ método da Exaustão (Arquimedes)
A_inferior<
<A_superior
Análise de erros muito mais simples que no Cálculo!!
Método da Exaustão
Moderno (Cálculo Numérico)
Teto superior da soma
Qual é a routina?
Método de Euler
yi 1 := yi h f( x( i 1 ) )
yi 1 := yi h f( x( i ) )
h=Δx/N
Teto inferior da soma
yi 1 := yi h f( x( i ) )
yi 1 := yi h f( x( i 1 ) )
N=10
Série de Taylor ?
Definindo:
1

I_p := 2 


-1
1x
2
dx
Temos:
1) para N=20:
2.905520836"<I_p<"3.303515812
,
,
Ip_med:= 3.104518324
Ip_erro:= 0.198997488
2) Para N=100:
3.098276506"<I_p<"3.178260506
,
,
Ip_med:= 3.138268506
Ip_erro:= 0.039992000
3) Para N=1000:
Ip_med:= 3.141487473
Ip_erro:= 0.003999993
Qual a importância de I_p?
Qual a importância de I_p?
I_p = π
3 +10/71 < π < 3 +1/7
Para um polígono com 96 lados!!
3.140845070"<I_p<"3.142857143
,
,
Ip_med:= 3.141851107
Ip_erro:= 0.001006037
2) Para N=100:
3.098276506"<I_p<"3.178260506
,
,
3) Para N=1000:
3.137487480"<I_p<"3.145487466
,
,
Valor atual até 9 casas decimais:
3.141592654
Equação diferencial ordinária de 1ª ordem acoplada:
d
dx
y( x )f( y( x ), x )
Solução formal em termos de uma equação integral:
x

y( x )y( x0 ) f( y( xl ), xl ) dxl

x0
De modo geral esse problema é complicado!!
Método de Euler ?
yi 1 := yi h f( y( i ), x( i ) )
O problema está na avaliação de erros !!
 := f( y( i1 ), x( i1 ) )f( y( i ), x( i ) )
Para Δ<0, temos o teto superior:
yi 1 := yi h f( y( i ), x( i ) )
Infelizmente, neste caso, o teto inferior nos levaria a uma equação
autoconsistente para y[i+1] !!
yi 1 := yi h f( y( i 1 ), x( i 1 ) )
Conclusões:
Apresentamos um método bastante simples de cálculo
de integrais e avaliação de erros, que é a versão numérica
do método de exaustão de Arquimedes e calculamos o número π
Por outro lado, para o caso de equações acopladas, o método
de avaliação de erros necessita da resolução de uma equação
autoconsistente ( Continua ...)