Exercícios de apoio à disciplina Geometria Analítica e Cálculo Vetorial
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01 Dados os vetores u = 3i - 2j + 6k, v = - 3i - 5j + 8k e w = i + k, calcular:
a) a área do paralelogramo construído sobre u e v.
b) o volume do paralelepípedo construído sobre u, v e w.
c) a altura (em valor absoluto) do paralelepípedo.
d) o volume do tetraedro construído sobre u, v e w.
02 Calcular o volume do tetraedro de arestas u = 3i - 2j – 6k, v=2i -j e w=i+3j + 4k.
03 Determinar x para que o ponto A pertença ao plano BCD. Dados: A= (4, 5, x), B = (- 4, 4, 4),C=(0, -1,
-1),D=(3, 9, 4).
04 Os vetores i + 2j + 3k, 2i - j + k e 3i + j + 4k são coplanares?
05 Calcular o volume do paralelepípedo construído sobre i, j, k.
06 Na figura abaixo estão representados os vetores v, v e v . Achar o produto misto (v + v ).(v - 2v) x
(v+ 2v ).
07 Calcular o ângulo da diagonal do cubo com a diagonal de uma face de mesma origem.
08 Determinar o ângulo agudo formado por duas diagonais de um cubo.
09 Demonstrar a propriedade distributiva do produto externo: u x (v + w) = u x v + u x w
Prof. M.Sc. Carlos Bezerra
Livro: © Copyright by Jacir J. Venturi [álgebra vetorial e geometria analítica]
Exercícios de apoio à disciplina Geometria Analítica e Cálculo Vetorial
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10 Sejamos vetoresu= 3i- 2j- 6k,v= 2i-jew=i+ 3j+ 4k, achar:
a)
b)
c)
d)
e)
u. v
|uxv |
uxv.w
(ux v)xw
ux (vxw)
11 Dados os vetores u= (2, 0, 0),v= (1, 1, 1)e w= (3, 2, -1) calcular:
a) |(ux v)xw|
b) (u.w)v- (v.w)u
c) o vetor (ux v)xwcomo combinação linear de u e v.
12 Considerando os vetores u= (1, 2, 3),v= (- 1, 1, 2),a= (2,- 4, 3) e b= (2, -1, 0), calcular:
a) (ux v). (ax b)
b)
c) (ux v)x (ax b)
13 Demonstrar os teoremas:
a) (u x v) x w = (u . w)v - (v . w) u
b) u x (v x w) = (u . w)v - (u . v) w
Obs.: Interpretação geométrica do produto misto
Sabe-se da geometria espacial que o volume
do paralelepípedo é o produto da área da
base pela altura:
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