Universidade Federal de Ouro Preto
Departamento de Matemática
MTM131 - Geometria Analítica e Cálculo Vetorial
Terceira lista de exercícios – MTM 131
1) Determine a b
a) a=(1,2) e b= (-1, 3)
b) a= (-7,-3) e b=(0,1)
2) Determine os vetores ortogonais ao vetor v= (3,2).
3) Dados os vetores u=(1,2), v=(4,-2) e w=(6,0), determine:
a)
c)
b)
d)
4) Determine a projeção ortogonal de u na direção v.
a) u=(2,1) e v=(-3,2)
b) u=(2,6), v=(-9,3)
5) Determine se o ângulo formado entre os vetores é agudo, obtuso ou se os vetores são
perpendiculares entre si:
a) u=(0,01) e v=(8,3,4)
c) u=(2,6,0) e v=(-9,3,0)
b) u=(-7,1,3) e v=(5,0,1)
d) u=(-1,3,3) e v=(9,1,2)
6) Para cada número de CPF a seguir, determine os dígitos verificadores:
a) 300.001.201
b) 005.211.271
c) 411.567.913
7) Determine um vetor que é simultaneamente ortogonal a u e v.
a) u=(-1,-1,-1) e v=(2,0,2)
b) u=(-7,3,1) e v=(2,0,4)
8) Determine a área do paralelogramo de vértices:
a) A(0,1), B(3,0), C(5,-2) e D(2,-1)
b) A(1,1,0), B(3,1,0), C(1,4,2) e D(3,4,2)
9) Determine a área do triângulo de vértices:
a) A(2,6,-1), B(1,1,1) e C(4,6,2)
b) A(2,2,0), B( -1,0,2) e C(0,4,3)
c) A(1,2), B(3,5) e C(2,-4)
10) Determine a área do paralelogramo ABCD cujas diagonais são
=(-1,3,-3) e
=(-3,-
3,1).
11)Determine o volume do tetraedro ABCD de arestas AB, AC, e AD e vértices A(1,1,1),
B(2,0,3), C(4,1,7) e D(3,-1,-2).
12) Verifique se os pontos A(4,0,-1), B(1,1,1), C(-1,1,-4) e D(2,1,3) são coplanares.
13) Calcule
, chamado duplo produto vetorial, para os vetores
a)
b)
14) Em cada caso, determine se o ponto dado pertence a reta
;
a) (2,17,7)
c) (-1,2,-2)
b) (5,18,11)
d) (1,-2,2)
15) Estabeleça as equações paramétricas das retas nos seguintes casos:
a) passa pelo ponto (-1,5,3) na direção do vetor v=(-1,2,-7)
b) passa pelos pontos (1,-2,3) e (0,3,-1)
c) passa pelo ponto (1,-2,3) e é paralela à reta
;
d) passa pelo ponto (-1,2,-5) e é paralela à reta que passa pelos pontos (1,0,2) e (5,-3,2).
e) passa pelo ponto (-1,-3,7) e é paralela à reta
f) passa pelo ponto (-5,3,2) e é paralela ao eixo x.
16) Estabeleça as equações paramétricas das retas nos seguintes casos:
a) passa pelo ponto (1,3,4) na direção do vetor v= 2i – j + k
b) passa pelo ponto (2,1,3) e é perpendicular ao plano xz
c) passa pelo ponto (3,5,7) e é simultaneamente ortogonal aos eixos x e y
17) Determine, se existir, o ponto de interseção das retas dadas:
a)
e
;
b)
e
;
c)
e
;
d)
e
;
18)Determine, se existir, o ponto de interseção da reta que passa pelos pontos (-1,1,3) e (4,-2,1)
com os planos coordenados.
19) Estabeleça as equações paramétricas das retas nos seguintes casos:
a) passa pelo ponto (2,3,1) e é simultaneamente ortogonal às retas
e
;
b) passa pela origem e é simultaneamente ortogonal às retas
e
;
20) Determine a projeção ortogonal do ponto A(2,-1,3) sobre a reta
21) Determine o ponto simétrico de P(1,2,1) em relação à reta
22) Determine a posição relativa dos pares de retas:
a)
e
b)
e
;
;
23) Estabeleça a equação reduzida dos planos nos seguintes casos:
a) determinado pelos pontos A(-2,1,0), B(-1,4,2), C(0,-2,2)
b) determinado pelos pontos A(2,1,3), B(-3,-1,3), C(4,2,3)
c) paralelo ao plano :
d) determinado pela retas
que passa pelo ponto (4,-1,2)
e
;
24) Determine o ponto simétrico de P(4,-7,4) em relação ao plano
25) Determine, se existir, o ponto de interseção e o plano formado pelas retas
e
26) Para o plano de equação reduzida
a) o ponto de interseção com o eixo x;
b) o ponto de interseção com o eixo y;
c) o ponto de interseção com o eixo z;
d) a reta de interseção com o plano xy;
e) a reta de interseção com o plano xz;
f) a reta de interseção com o plano yz;
g) o esboço do plano.
;
, determine: