Disciplina
Geometria Analítica
Professor(a)
Aluno(a)
Semestre
CURSO: Fabricação
Luis Carlos Barbosa Oliveira
RM
1º
Turno
Avaliação Oficial – P1
Data

Nota
INSTRUMENTO DE AVALIAÇÃO: PROVA ESCRITA-SEM CONSULTA
DURAÇÃO 120 MINUTOS
INSTRUÇÕES PARA A PROVA : Respostas à tinta. Numerar as páginas. Responder em qualquer ordem desde que
indicadas. Identificar em todas as folhas: nome, semestre, turno, curso e disciplina.
Objetivo: Avaliar conhecimentos sobre Multiplicação entre vetores de duas e três coordenadas e suas
aplicações.
Conteúdos: Multiplicação vetorial e mista, entre vetores no plano e no espaço; cálculo de áreas e de raízes.
Habilidades: Multiplicar dois vetores na forma vetorial e mista; calcular a área e o volume de figuras
geométricas.
Questões
Questão 1) (1,5 ponto) Dados os pontos 𝐴(2, −1, 2), 𝐵(1, 2, −1) e 𝐶(3, 2, 1), determine o vetor:
⃗⃗⃗⃗⃗ × (𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ − 2𝐶𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ )
𝐶𝐵
Resolução:
⃗⃗⃗⃗⃗ = (−2, 0, −2) ; ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ = (2, 0, 2)
𝐶𝐵
𝐶𝐴 = (−1, −3, 1) ; 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ − 2𝐶𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ = (2, 0, 2) − (−2, −6, 2) = (4, 6, 0)
𝐵𝐶
𝑖
𝑗
⃗⃗⃗⃗⃗ × (𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ − 2𝐶𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ ) = |−2 0
𝐶𝐵
4 6
⃗
𝑘
⃗
−2| = 12𝑖 − 8𝑗 − 12𝑘
0
Portanto:
⃗⃗⃗⃗⃗ × (𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ − 2𝐶𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ ) = (12, −8, −12)
𝐶𝐵
1
Questão 2) (2 pontos) Calcule a área do triângulo cujos vértices são 𝐴(2, 3, −1), 𝐵(−1, 0, 2) e 𝐶(3, 1, −2).
Determine a sua altura em relação ao vértice A.
⃗⃗⃗⃗⃗ = (3, 3, −3) ; ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐶
𝐵𝐴 = (4, 1, −4)
Atriangulo = ½ Aparalelogramo
𝑖
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ = |3
𝐵𝐴 × 𝐵𝐶
4
⃗
𝑗 𝑘
⃗
3 −3| = −9𝑖 + 0𝑗 − 9𝑘
1 −4
⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = √𝟖𝟏 + 𝟖𝟏 = √𝟏𝟔𝟐𝒖𝑨 ; 𝑨𝒕 =
𝑨𝒑 = ‖𝐵𝐴
√𝟏𝟔𝟐
𝒖𝑨
𝟐
Altura do triângulo é igual altura do paralelogramo de base BC
𝒉𝒑 =
𝑨
√𝟏𝟔𝟐
√𝟏𝟔𝟐
=
=
𝒖𝑪
𝒃 √𝟏𝟔 + 𝟏 + 𝟏𝟔
√𝟑𝟑
Questão 3) (1,5 ponto) Sabendo que ‖𝑢⃗ × 𝑣‖ = ‖𝑢⃗‖ ∙ ‖𝑣‖ ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃, determine o comprimento do vetor 𝐹 , de modo
que o ‖𝐹 × 𝑅⃗ ‖ = 3√3, o comprimento do vetor 𝑅⃗ é igual a 3 e o ângulo formado pelos vetores em questão é de 60°.
Resoluçao:
‖𝐹 × 𝑅⃗ ‖ = ‖𝐹 ‖ ∙ ‖𝑅⃗ ‖ ∙ 𝑠𝑒𝑛60
‖𝐹 ‖ =
‖𝐹 × 𝑅⃗‖
3√3
2
√3
=
=
= √3 ∙
= 2 𝑢𝑛
⃗
‖𝑅‖ ∙ 𝑠𝑒𝑛60
√3 √3
√3
3 ∙
2
2
Questão 4) (1,5 pontos) Verifique se os vetores 𝑢
⃗ = ( 3, −1, 2), 𝑣 = (1, 2, 1) e 𝑤
⃗⃗ = (−2, 3, 4) são
coplanares. Explique sua resposta.
Os vetores são coplanares se o produto misto entre eles é igual a zero.
3
[𝑢
⃗ , 𝑣, 𝑤
⃗⃗ ] = | 1
−2
−1 2
2 1| = 3(5) + 1(6) + 2(7) = 35
3 4
Como o produto misto é diferente de zero, então os vetores não são coplanares
2
Questão 5) (1,5 ponto) Dados os pontos 𝐴(2, −2, −3), 𝐵(5, −1, 1) e 𝐶(𝑚, 1, 2) e 𝐷(3, −2, −2),
determine o valor de m para que os pontos estejam contidos em um único plano
Os pontos são coplanares se o produto misto entre os vetores formados pelos pontos acima é igual a
zero.
⃗⃗⃗⃗⃗ = (3, 1, 4) ; 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑚 − 2, 3, 5) ; 𝐴𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ = (1, 0, 1)
𝐴𝐵
𝑚−2 3
⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ ] = | 1
[𝐴𝐵
0
3
1
-m+4=0
5
1| = (𝑚 − 2)(−1) − 3(1) + 5(1) = −𝑚 + 2 − 3 + 5 = −𝑚 + 4
4
 m=4
⃗ e 𝑤
⃗ formam um
Questão 6) (2,0 ponto) Os vetores 𝑢
⃗ = 2𝑖 − 𝑗 , 𝑣 = 6𝑖 − 4𝑗 − 2𝑘
⃗⃗ = −4𝑖 + 𝑘
paralelepípedo. Calcule o seu volume e a sua altura em relação à área determinada pelos vetores 𝑣 e 𝑤
⃗⃗ .
𝑉 = |−10| = 10 𝑢𝑉
𝑨𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 =
2
𝑉 = [𝑢
⃗ , 𝑣, 𝑤
⃗⃗ ] = | 6
−4
−1 0
−4 −2| = 2(−4) + 1(−2) = −10
0
1
𝑽
𝑩
⃗
𝑖
𝑗
𝑘
⃗
𝐵 =𝑣×𝑤
⃗⃗ = | 6 −4 −2| = −4𝑖 + 8𝑗 − 16𝑘
−4 0
1
𝟏𝟎
𝟏𝟎
𝑨𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 =
=
𝒖𝑪
√𝟏𝟔 + 𝟒 + 𝟐𝟓𝟔 √𝟐𝟕𝟔
3