Geometria Analítica
Módulo 8
Vetores Linearmente dependentes (LD).
Dois ou mais vetores são LD quando qualquer um deles pode ser escrito em
função dos demais (ou seja eles formam uma combinação linear). Se não
forem LD eles serão LI (linearmente independentes).
Exemplo:
a) vetor a = (3, 4, 5) e vetor b = (6, 8, 10) são LD pois b = 2a
b) vetor a = (3, 2, 4); vetor b = ( 1, 2 , 3) e vetor c = ( 2, 0, 1) são LD pois a = b + c
Quando 2 vetores são LD seu componentes são proporcionais (2 vetores
paralelos). No exemplo a temos:
3 4 5
 
6 8 10
Quando 3 vetores são LD eles são coplanares (definem um plano), neste caso
o produto isto é nulo ou seja o determinante formado pelas componentes é
igual a zero. No exemplo b temos:
3 2 4
1 2 3 0
2 0 1
Exercício Resolvido - 1


Calcule o valor de m e n para os vetores sejam LD u  ( 2; m; n ) e v  ( 5;10;15 )
Solução:
2 m
n


5 10 15
Resolvendo 2  m obtemos m = 4
Resolvendo
5 10
2 n

5 15
obtemos n = 6
Exercício Resolvido - 2


Calcule o valor de m para os vetores sejam LD u  ( 2;1;3 ) ; v  ( 3;1;5 ) e

w  ( 7 ; 3; m )
Solução:
2 1 3
3 1 5 0
7 3 m
Resolvendo temos m = 11
Exercícios propostos
1. Responda qual afirmação abaixo é correta em relação aos conjuntos de
vetores



Conjunto 1: u = (1, 3, 0); v = (2,-1, 1); w = (3, 2, 1)



Conjunto 2: u = (3, 0, 2); v = (2, -1, 1); w = (5, 1, 0)



Conjunto 3: u = (1, 3, 1); v = (2, -1, 1); w = (3, 2, 1)
a) Os vetores do conjunto 1 são linearmente dependentes e os vetores dos
conjuntos 2 e 3 são linearmente independentes
b) Os vetores do conjunto 2 são linearmente dependentes e os vetores dos
conjuntos 1 e 3 são linearmente independentes.
c) Os vetores do conjunto 3 são linearmente dependentes e os vetores dos
conjuntos 1 e 1 são linearmente independentes.
d) Todos os vetores são linearmente dependentes.
e) Todos os vetores são linearmente independentes.


2. Calcule o valor de t para os vetores sejam LD u  (2;1;3) e v  (1; t ; 3 2)
3. O 3 vetores indicados abaixo são LD. Determine a combinação linear entre
eles.



u  ( 2;1;3 ) ; v  ( 3;1;5 ) e w  ( 7;3; m )



Sugestão: Faça u  a.v  b.w e calcule os escalares a e b.
4. Qual é a soma dos vetores representados na figura:
G
H
E
F
D
C
A
a) AH
B
b) HA
c) BH
d) BH
e) AG
Referência bibliográfica: Bibliografia básica e complementar da disciplina