Matemática
Prof. Daniel – 28/04/2009 – 15h30
SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS INTERNOS
Propriedade dos
Ângulos Internos
β
α
γ
α+β+γ=180o
γ β
α
SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS EXTERNOS
βe
Propriedade dos
Ângulos Externos
αe
γe
αe
γe
βe
αe+βe+γe=360o
MEDIDA DO ÂNGULO EXTERNO
β
αe
Teorema do
Ângulo Externo
γ
β
α
γ e
αe = β + γ
O TRIÂNGULO ISÓSCELES
α=β
α
β
(ITA – 1998) Seja ABC um triângulo isósceles de
base BC. Sobre o lado AC deste triângulo considere
um ponto D tal que os segmentos AD, BD e BC são
todos congruentes entre si. A medida do ângulo BÂC
é igual a:
a) 23°
b) 32°
c) 36º
d) 40°
e) 45°
• ABC é um triângulo isósceles de base BC.
• Segmentos AD, BD e BC são congruentes.
A
a) 23°
x
b) 32°
c) 36º
D
d) 40°
2x
e) 45°
x
B
x
2x
C
(ITA – 2008) Considere o triângulo ABC isósceles
em que o ângulo distinto dos demais, BÂC , mede 40°.
ˆ = 15º.
Sobre o lado AB, tome o ponto E tal que ACE
ˆ = 35°.
Sobre o lado AC, tome o ponto D tal que DBC
ˆ vale
Então, o ângulo EDB
a) 35°
b) 45º
c) 55º
d) 75º
e) 85º
• ABC é um triângulo isósceles: BÂC = 40º
ˆ = 15° e DBC
ˆ = 35°
• ACE
A
a) 35°
40
b) 45°
E
c) 55º
55
x
D
d) 75°
35
35
e) 85°
B
15
55
C
A
M
B
A
40
E
55
35
35
B
x
D
15
55
C
(ITA – 2009) Considere o triângulo ABC de lados
a = BC , b = AC e c = AB e ângulos internos α = CÂB ,
^
^
β = A B C e λ = B C A . Sabendo-se que a equação
x 2 − 2bx cos α + b 2 − a 2 = 0
admite c como raiz dupla,
pode-se afirmar que
a) α = 90°
b) β = 60°
c) λ = 90º
d) o triângulo é retângulo apenas se α = 45°
e) o triângulo é retângulo e b é a hipotenusa.
A
α
c
b
β
B
x − 2bx cos α + b − a = 0
2
λ
a
C
2
2
PONTOS NOTÁVEIS EM UM TRIÂNGULO
Baricentro
Incentro
Circuncentro
Ortocentro
O triângulo ABC é retângulo em B. Sejam I o centro da
circunferência inscrita em ABC e O o ponto médio do
lado AC. Se^ AÔI = 45º, quanto mede, em graus,
o ângulo AC B ?
B
45
I
A
a
60a
x
45
O
C
En el triángulo ABC se traza la bisectriz interior CD.
Se sabe que el centro del círculo inscrito en el triángulo
BCD coincide con el centro del círculo circunscrito em
el triángulo ABC. Calcular los ángulos del triángulo ABC.
B
bb
P
D
A
a
2a
a
C
B
a a
b
b
P
D
a
a
A
3a
a
3a
2a
C
PROPRIEDADE DA MEDIANA
A
B
H
M
C
PROPRIEDADE DE UMA CEVIANA QUALQUER
S ABS
BS
=
S ACS SC
A
S ABS
BS . AH
=
2
S ABS
AH
=
BS
2
B
H
S
C
S ASC
SC. AH
=
2
S ASC
AH
=
SC
2
S ABS S ACS
=
BS
SC
(IME) Seja P um ponto no interior de um triângulo
ABC, dividindo-o em seis triângulos como mostra a
figura. Calcule a área do triângulo ABC.
A
x
84
F
B
y
P
40
35
30
D
E
40 BD
=
30 DC
y + 84 + 40 BD
=
x + 30 + 35 DC
x
AE
=
35 EC
x + y + 84
AE
=
40 + 30 + 35 EC
4 y + 124
=
3
x + 65
C
x
x + y + 84
=
35
105
x = 70 e y = 56
Determine a medida do
ângulo do vértice A do
triângulo isósceles ABC,
sabendo que os segmentos
BC, BD, DE, EF e FA são
congruentes.
A
x
F
x
4x + 4x + x = 180º
2x
E
3x
9x = 180º
2x
D
x = 20º
3x
B
x
4x
4x
C
Given as isoscele triangle ABC as shown with angles
of 20, 80 and 80. Length AM is the same as BC. What
is the measure of angle ACM?
A
A
20°
20°
M
M
40°
20°
80°
80°
B
C
B
C
ˆ =?
ACM
A
A
20°
20°
M
M
40°
40° 20°
20°
40°
P
60°
80°
N
60°
40°
B
80°
C
B
80°
100
60
N
60°
20°
C
Na figura abaixo, ABCD é um quadrado e o segmento
AE é perpendicular ao segmento CF. Determine a
^
medida do ângulo B F G
C
D
H
E
G
45º
A
x
B
F
Calcule a área do triângulo ABC abaixo, dados
BD = 4, DE = 2, EC = 6, BF = FC = 3.
C
S BCE
6
3
F
3
B
62 ⋅ 3
=
=9 3
4
2
4
E
S ABC = 2 ⋅ S BCE = 18 3
D
A
Na figura AB = AC. Determine o valor de x.
A
Triângulo Russo
20°
D
x
E
B
60°
50°
C
ABC é um triângulo isósceles de base BC. Sobre o
lado AB, temos dois pontos, M e P, tais que AP > AM
e sobre AC outros dois pontos N e Q, tais que AQ > AN
sabendo-se que AM = MN = NP = PQ = QB = BC,
pede-se calcular o ângulo BAC.
180º
Resposta : BÂC =
11
No trapézio ABCD, o lado AD é perpendicular às bases
AB e CD. A base AB mede 45, a base CD mede 20 e o
lado BC mede 65. Seja P no lado BC tal que BP mede
45 e seja M o ponto médio de AD. Calcule a medida do
segmento PM.
20
C
D
P
65
x
M
45
B
45
A
C
α 180º −α
20
D
65² = 25² + y²
20
30
P
65
x
y
M
45
30
B
α
25
A
45
y = 60
Na figura abaixo, mostra-se um triângulo equilátero
dividido por três retas e sete regiões. Em seis das
regiões é indicada a área correspondente. Achar a área
da sétima região, ou seja, área do triângulo menor
central.
4
20
20
4
4
20
A
4
D
y
20
20
G 20 – y y
20 – y
B
4 BE
=
y CE
4
x
H
y
y+4
AG
=
20 − y HG
I
24
AG
=
x + 20 − y HG
F
4
20 – y
20
C
E
4
28
=
y 44 + x
28
BE
=
44 + x CE
y+4
24
=
20 − y x + 20 − y
x =12