GABARITO
Resolução das questões
Conjunto
1º
Código
M23 – VL
Período
M
Turma
A
Data
09
04
10
01. a) Multiplicar uma fila por um número multiplica o seu determinante pelo número. Assim, o determinante da
matriz obtida é igual a 3  4 = 12.
Critérios de correção
- Caso haja alguma evidência de que o aluno sabe utilizar a propriedade mas, por algum motivo errou a conta
(fazendo, por exemplo, 3  4 = 6), será dado 0,7 ponto.
b) Trocar duas filas paralelas de lugar troca o sinal do determinante. Assim, o determinante da matriz obtida é –4.
c) Somar uma combinação linear de filas a outra fila não altera o determinante da matriz. Assim, o determinante da
matriz obtida é 4.
Critérios de correção
- Nos três itens, dar nota integral ao aluno que colocar só a resposta.
02. Temos B2 = 10B  det(B2) = det(10B). Como det(B2) = (det B)2 e, sendo B de ordem 2, det(10B) = 102det B,
temos (det B)2 = 100det B  det B = 0 ou det B = 100. Notando ainda que existem matrizes B com ambos valores
de determinantes e que satisfazem a equação (por exemplo, B = 0 e B = 10I), os possíveis valores são 0 e 100.
Critérios de correção
- Aplicar o determinante nos dois membros: 0,7 ponto
- Aplicar corretamente a propriedade det(B2) = (det B)2: +0,7 ponto
- Aplicar corretamente a propriedade det(10B) = 102det B: +0,7 ponto
- Concluir: +0,4 ponto
- Só a resposta: no máximo 0,2 ponto
- Não será descontado ponto se o aluno não verificar a existência de matrizes com determinante 0 e 100.
3
4 
2  x

03. det(C  xI )  0  det  0
2x
1   0 (*).
 0
 2 5  x 
Aplicando Laplace na primeira coluna, obtemos
1 
2  x
(*)  (1)11 (2  x) det 
0
  2 5  x
 x  2 ou (2  x)(5  x)  ( 2)  1  0
 x  2 ou x 2  7 x  12  0
 x  2 ou x  3 ou x  4
Assim, os valores pedidos são 2, 3 e 4.
Critérios de correção
- Obteve e calculou (*): 1,0 ponto
- Calculou corretamente o determinante de tamanho 2: +1,0 ponto
- Concluiu: +0,5 ponto
- Só a resposta: 0,0 ponto
04. a) Aplicando o critério e observando que
1 0 1
3 2 1  2  0  9  10  3  0  14  0 ,
5 3 1
as três retas dadas não passam por um mesmo ponto.
GABARITO
Resolução das questões
Critérios de correção
- Montou a conta: 0,3 ponto
- Concluiu: +0,2 ponto
- O aluno também pode encontrar o ponto de interseção de duas retas (0,3 ponto) e testar na outra reta (+0,2
ponto).
b) Aplicando o critério, temos que as três retas dadas passam por um mesmo ponto se, e somente se,
a
1 1
1
a  1 1  0  a( a  1)  (2a  1)  a  (2a  1)(a  1)  a 2  1  0
2a  1
a
1
 2a 2  a  1  0  a  1 ou a 
Como a  1 , temos que a 
1
2
1
.
2
Critérios de correção
- Montar o determinante: 0,3 ponto
- Calcular o determinante: +0,5 ponto
- Concluir: +0,2 ponto
- O aluno também pode encontrar o ponto de interseção de duas retas (0,5 ponto) e testar na outra reta (+0,5
ponto). Todavia, a conta fica maior.
05. Há várias maneiras de se resolver o problema. Aqui apresentaremos uma.
2 1
1 2
0
1
0
0
2 1
1 2
0
0


0
0
0
1


0
0
2 
 
0

2
0
0

0
1
0
0

0
2
1
0

0
2 1 
1 2 
0
0
0
0
0
0
0
1
0

0

0

0
0
1
L1  L2
2
0
1
3

2
1
0
0
1
0
0

0

0

1

0
0
0
0
2
0
0
0

0
2
0
1
3

2
1
0
0

0
0
1
3

2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
5
4
1

0

0

0

0
0
 2
1
0

0
0
4
3
1
2
1

0
0

0

0

1

2 
 
0

0
0
0
0

0

 2
3
L3  L4
4


0

0
2
L2  L3
3

 
 2
0
0
0

0
1
0
0

0
1
0

0
1

0
2 
0

4
3


0
 
 2
4
L4  L5
5
 
GABARITO
Resolução das questões
2
0
0
0

0
1
0
0

0
1
0

0
1

0
0
1
3

2
0
0
 0
0
0
0
0
0
0




6

5
 
0
0
0
0
0

4
3

5
4

 3  4   2011 
 (2)     
  2011
 2  3   2010 
0

2011
 
2010
Critérios de correção
- Qualquer ideia que leve à solução, reduzindo o determinante ao de uma matriz triangular ou diminuindo a
dimensão da matriz: 0,3 ponto
- Concluir: 0,2 ponto
- Fazer tudo certo, mas obter –2011, 2010 ou –2010 por alguma distração: 0,4 ponto
06. Esse é ao seu critério. Na verdade, utilizaremos o nome mais criativo!