MEN - Mercados de Energia
Mestrado em Engenharia Electrotécnica
Despacho Económico
de Grupos Térmicos de Produção de
Energia Eléctrica
Jorge Alberto Mendes de Sousa
Professor Coordenador
Webpage: pwp.net.ipl.pt/deea.isel/jsousa
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
-1-
Agenda
1. Enquadramento
2. Fundamentos técnicos e económicos da
produção de energia eléctrica
3. O Despacho Económico: Formulação e
solução do problema
4. Exemplos de aplicação
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
-2-
Enquadramento
Despacho Económico

O despacho económico tem como objectivo calcular o perfil
óptimo de produção de energia eléctrica considerando
disponíveis várias centrais térmicas para satisfação de um
consumo dado

Pretende-se minimizar o custo total de produção

Cada central possui limites técnicos de operação e caracterizase do ponto de vista económico por uma função de custo

É necessário satisfazer um dado consumo conhecido durante
um determinado período de tempo

A resolução do problema implica conhecimentos técnicos,
económicos e matemáticos (optimização com restrições)
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
-3-
Agenda
1. Enquadramento
2. Fundamentos técnicos e económicos da
produção de energia eléctrica
3. O Despacho Económico: Formulação e
solução do problema
4. Exemplos de aplicação
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
-4-
Fundamentos técnicos
Produção por tecnologia em Portugal: 2001-2010
Fonte: REN
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
-5-
Fundamentos técnicos
Central Hidráulica
Fonte: Endesa
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
-6-
Fundamentos técnicos
Central Térmica: Carvão, fuel
Fonte: Endesa
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
-7-
Fundamentos técnicos
Central de Ciclo Combinado
Fonte: Endesa
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
-8-
Fundamentos técnicos
Central Nuclear
Fonte: Endesa
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
-9-
Fundamentos económicos
Relação entrada/saída
B
T
G
P
H
Caldeira
Turbina
Alternador
Aux
Serviços
Auxiliares
H(P )  a  b P  c P 2
H : Potência térmica de entrada
P : Potência eléctrica de saída
a, b, c : Parâmetros característicos do grupo
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
- 10 -
Fundamentos económicos
Custo de produção
C (P ) [€/h]
Custo de produção relativo ao combustível
P min
P max
Potência eléctrica

P [MW]

C(P)  a  b P  c P 2 F
C : Custo de produção
F : Custo do combustível
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
- 11 -
Fundamentos económicos
Custo marginal
C' (P ) [€/MWh]
Custo marginal de produção


C(P)  a  b P  c P 2 F
P min
P max
Potência eléctrica
P [MW]
C' ( P )   b  2 c P  F
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
- 12 -
Fundamentos económicos
Custo médio
C (P )/P [€/MWh]
Custo médio de produção


C(P)  a  b P  c P 2 F
P min
P*
Potência eléctrica
P max
P [MW]
C (P )  a

   b  c P F
p
P

ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
- 13 -
Agenda
1. Enquadramento
2. Fundamentos técnicos e económicos da
produção de energia eléctrica
3. O Despacho Económico: Formulação e
solução do problema
4. Exemplos de aplicação
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
- 14 -
Despacho Económico
Formulação do problema
C1(P1)
B1
B2
C2(P2)
G1
T1
P1
G2
T2
P2
Pcarga
Bn
Cn(Pn)
Tn
Gn
Pn
n
min
s.a
CT 
n
Pi

i 1
C i (Pi )

i 1
 Pc arg a
Pimin  Pi  Pimax
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
i  1,..., n
- 15 -
Despacho Económico
Optimização com restrições
max f (x)
s.a
g i (x)  0
hi (x)  0
i  1,..., m1
i  m1  1,..., m
f : En  E - função objectivo
gi: En  E - funções de restrição
n : número variáveis de decisão
m1 : número de restrições de maior ou igual a zero
m : número total de restrições
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
- 16 -
Despacho Económico
Teorema de Kuhn-Tucker
Considere-se o problema de programação não linear
max f (x)
s.a
g i (x)  0
hi (x)  0
i  1,..., m1
i  m1  1,..., m
em que f(x), gi(x) e hi(x) são funções diferenciáveis.
Se x* é solução óptima do problema
Então verificam-se as seguintes três condições:
KT1 :
gi (x* )  0
hi (x* )  0
i  1,..., m1
i  m1  1,..., m
Existem multiplicadores  i  0,
KT2 :
KT3 :
 i gi (x* )  0,
i  m1  1,..., m tais que
i  1,..., m1
m1
f (x* ) 
s,
i  1,..., m1 e  i irres trito
m
 i g i (x* )    i hi (x* )  0

i 1
i  m 1
1
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
- 17 -
Despacho Económico
Solução do problema
n
max
 CT  
n
h(P ) 
C i (Pi )

i 1
Pi  Pc arg a 0

i 1
gi (P)  Pi  Pimin  0
i  1,..., n
gi (P)  Pimax  Pi  0
i  1,..., n
As condições de Kuhn-Tucker para este problema são dadas por:
n
KT1 :
P
i
 Pc arg a 0
Pi  Pimin  0
i  1,..., n
i
i
KT3 :
i  1,..., n
i 1
Existem multiplicadores  i ,  i  0,
KT2 :
Pimax  Pi  0
 Pi  Pi   0
 Pi  Pi   0
min
max
i  1,..., n
e
 irres trito
i  1,..., n
i  1,..., n
 Ci' Pi      i   i  0
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
i  1,..., n
- 18 -
Despacho Económico
Solução do problema
Quatro combinações possíveis para os multiplicadores:
1.
Nenhuma restrição activa
2.
Restrição activa para Pmax
3.
Restrição activa para Pmin
4.
Ambas as restrições activas
i
i
1)
0
0
2)
0
+
3)
+
0
4)
+
+
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
- 19 -
Despacho Económico
Solução do problema
i
i
1.
Nenhuma restrição activa
1)
0
0
2.
Restrição activa para Pmax
2)
0
+
3.
Restrição activa para Pmin
3)
+
0
4.
Ambas as restrições activas
4)
+
+
KT3 :
 Ci' Pi      i   i  0
i
=
i
i  1,..., n
= 0
C i' Pi   
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
i  1,..., n
- 20 -
Despacho Económico
Solução do problema
i
i
1.
Nenhuma restrição activa
1)
0
0
2.
Restrição activa para Pmax
2)
0
+
3.
Restrição activa para Pmin
3)
+
0
4.
Ambas as restrições activas
4)
+
+
KT2 :
i
i
KT3 :
 Pi  Pi   0
 Pi  Pi   0
min
max
i  1,..., n
i  1,..., n
 Ci' Pi      i   i  0
i
i  1,..., n
> 0 , i = 0
i
 Pi
max

 Pi  0

Pi  Pimax
C i' Pi      i  
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
- 21 -
Despacho Económico
Solução do problema
i
i
1.
Nenhuma restrição activa
1)
0
0
2.
Restrição activa para Pmax
2)
0
+
3.
Restrição activa para Pmin
3)
+
0
4.
Ambas as restrições activas
4)
+
+
KT2 :
i
i
KT3 :
 Pi  Pi   0
 Pi  Pi   0
min
max
i  1,..., n
i  1,..., n
 Ci' Pi      i   i  0
i
=0,
i
i
i  1,..., n
> 0
 Pi  Pi   0
min

Pi  Pimin
C i' Pi      i  
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
- 22 -
Despacho Económico
Solução do problema
i
i
1.
Nenhuma restrição activa
1)
0
0
2.
Restrição activa para Pmax
2)
0
+
3.
Restrição activa para Pmin
3)
+
0
4.
Ambas as restrições activas
4)
+
+
KT2 :
i
i
 Pi  Pi   0
 Pi  Pi   0
min
max
i > 0 ,  i
i  1,..., n
i  1,..., n
> 0
i
i
 Pi  Pi   0
 Pi  Pi   0
min
max
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa

Pi  Pimin

Pi  Pimax
Impossível
- 23 -
Despacho Económico
Solução do problema: Resumo
i
i
1)
0
0
C i' Pi    e
Pimin  Pi  Pimax
2)
0
+
C i' Pi    e
Pi  Pimax
3)
+
0
C i' Pi    e
Pi  Pimin
4)
+
+
Impossível
1.
Todos os grupos têm o mesmo custo marginal
2.
O custo marginal de um grupo pode ser inferior ao
dos restantes desde que esteja a Pmax
3.
O custo marginal de um grupo pode ser superior ao
dos restantes desde que esteja a Pmin
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
- 24 -
Despacho Económico
Solução do problema
3ª condição de Kuhn – Tucker:
1)
 Ci' Pi      i   i  0
i  1,..., n
i  0, i  0
Nesta situação o grupo i não tem necessariamente restrições activas e
funciona com o custo marginal do sistema ()
Ci' Pi   
2)
i  0, i  0
Nesta situação a restrição de limite máximo do grupo i está activa uma
vez que o multiplicador respectivo assume um valor positivo. Assim, o
custo marginal do grupo i pode ser inferior ao custo marginal do sistema
()
Ci' Pi   
3)
i  0, i  0
Nesta situação a restrição de limite mínimo do grupo i está activa uma
vez que o multiplicador respectivo assume um valor positivo. Assim, o
custo marginal do grupo i pode ser superior ao custo marginal do sistema
()
Ci' Pi   
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
- 25 -
Agenda
1. Enquadramento
2. Fundamentos técnicos e económicos da
produção de energia eléctrica
3. O Despacho Económico: Formulação e
solução do problema
4. Exemplos de aplicação
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
- 26 -
Aplicação
T1
B1
C1
T2
B2
C2
G1
P1
G2
P2
Pcarga
T3
B3
C3
G3
P3
Grupo
i
Pmin
[MW]
Pmáx
[MW]
Ci(Pi)
[c€/kWh]
1
80
220
15.3 + 1.17 P1 + 0.00145 P12
2
40
150
13.7 + 1.30 P2 + 0.00163 P22
3
25
90
10.3 + 1.48 P3 + 0.00226 P32
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
- 27 -
Aplicação #1
Pcarga = 325 MW
Grupo
i
Pmin
[MW]
Pmáx
[MW]
Ci(Pi)
[c€/kWh]
1
80
220
15.3 + 1.17 P1 + 0.00145 P12
2
40
150
13.7 + 1.30 P2 + 0.00163 P22
3
25
90
10.3 + 1.48 P3 + 0.00226 P32
C1 (P1 )  

C 2 (P2 )  

C 3 (P3 )  
P  P  P  P
2
3
carga
 1

1.1 7  0.0 0 2 9 0P1  

1.3 0  0.0 0 3 2 6P2  

1.4 8  0.0 0 4 5 2P3  

P1  P2  P3  3 2 5
P1  1 7 1.2 M W

P2  1 1 2.5 M W

P3  4 1.3 M W

  1.6 6 7 c E uro/kWh
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
- 28 -
Aplicação #1
Pcarga = 325 MW
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
- 29 -
Aplicação #2
Pcarga = 200 MW
Grupo
i
Pmin
[MW]
Pmáx
[MW]
Ci(Pi)
[c€/kWh]
1
80
220
15.3 + 1.17 P1 + 0.00145 P12
2
40
150
13.7 + 1.30 P2 + 0.00163 P22
3
25
90
10.3 + 1.48 P3 + 0.00226 P32
C1 (P1 )  

C 2 (P2 )  

C 3 (P3 )  
P  P  P  P
2
3
carga
 1

1.1 7  0.0 0 2 9 0P1  

1.3 0  0.0 0 3 2 6P2  

1.4 8  0.0 0 4 5 2P3  

P1  P2  P3  2 0 0
C3 (2 5)  1.5 9 3c E uro/kWh 
e
P1  1 2 1.9 M W

P2  6 8.5 M W

P3  9.6 M W

  1.5 2 3c E uro/kWh
P3  P3min  2 5 M W
P1  1 1 3.7 M W

P2  6 1.3 M W

  1.5 0 0c E uro/kWh
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
- 30 -
Aplicação #2
Pcarga = 200 MW
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
- 31 -
Aplicação #3
Pcarga = 450 MW
Grupo
i
Pmin
[MW]
Pmáx
[MW]
Ci(Pi)
[c€/kWh]
1
80
220
15.3 + 1.17 P1 + 0.00145 P12
2
40
150
13.7 + 1.30 P2 + 0.00163 P22
3
25
90
10.3 + 1.48 P3 + 0.00226 P32
C1 (P1 )  

C 2 (P2 )  

C 3 (P3 )  
P  P  P  P
2
3
carga
 1

1.1 7  0.0 0 2 9 0P1  

1.3 0  0.0 0 3 2 6P2  

1.4 8  0.0 0 4 5 2P3  

P1  P2  P3  4 5 0
P1  2 2 0.0 M W

P2  1 5 0.0 M W

P3  8 0.0 M W
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
P1  2 2 0.6 M W

P2  1 5 6.4 M W

P3  7 3.0 M W

  1.8 1 0 c E uro/kWh
C1 (P1 )  1.8 0 8 c E uro/kWh 

C 2 (P2 )  1.7 8 9 c E uro/kWh 

C 3 (P3 )  1.8 4 2 c E uro/kWh 
e
P1  P1max
e
P2  P2 max
- 32 -
Aplicação #3
Pcarga = 450 MW
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
- 33 -
Exercícios de aplicação
1.
Considere um parque térmico constituído por três grupos cujas
características são apresentadas na tabela seguinte:
Grupo
i
Pmin
[MW]
Pmáx
[MW]
Hi(Pi)
[MBtu/h]
1
150
600
510 + 7.2 P1 + 0.00142 P12
2
100
400
310 + 7.85 P2 + 0.00194 P22
3
50
200
78 + 7.97 P3 + 0.00482 P32
Considere ainda que o custo de combustível para cada um dos grupos é:
F1 = 1,1 €/MBtu, F2 = 1,0 €/MBtu, F3 = 1,0 €/MBtu.
Efectue o despacho económico para uma carga de 850 MW.
2.
Supondo que o custo de combustível do grupo 1 (F1) passa a ser de 0,9
€/MBtu, efectue novamente o despacho económico para a mesma carga.
3.
Efectue novamente o despacho económico dos três grupos, considerando
agora que o custo de combustível do grupo 2 (F2) aumentou para 1,15
€/MBtu (o do grupo 1 é 1,1 €/MBtu) e que a carga aumentou para 1050 MW.
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
- 34 -
Exercícios de aplicação (solução)
1.
2.
3.
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
- 35 -
MEN - Mercados de Energia
Mestrado em Engenharia Electrotécnica
Despacho Económico
de Grupos Térmicos de Produção de
Energia Eléctrica
Jorge Alberto Mendes de Sousa
Professor Coordenador
Webpage: pwp.net.ipl.pt/deea.isel/jsousa
ISEL – Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
- 36 -