Matemática Experimental1
Licenciatura em Matemática Aplicada e Computação, 1o¯ ano — 2008/09
Departamento de Matemática
Instituto Superior Técnico – Lisboa
Trabalho Computacional I
Data limite de entrega: 14 de Novembro de 2008
Observações: O relatório do trabalho computacional (sob a forma de notebook) deve ser enviado por e-mail para [email protected]. A primeira célula do notebook deve conter a identificação completa dos autores e
número de grupo.
Antes de enviar o notebook, apague todos os gráficos e output (utilize os menus Cell −→ Delete All Output), deixando apenas o input, texto e comentários
que julgue necessários.
O trabalho deverá ser enviado em attachment usando nomes do tipo TC1Gry.nb
onde y representa o número do grupo.
Trabalhos recebidos fora do prazo estabelecido não serão corrigidos.
1. Considere as desigualdades

 2 x − 3 y ≤ 12
2x − y > 3
(i)
x + 5 y ≤ 20
(ii)
4x + y < 5

x ≥ 1/2
(iii)
y < |x − 1|
y>2
a) Para cada caso determine analiticamente o conjunto solução, isto é, o
conjunto de pontos (x, y) do plano satisfazendo simultaneamente cada
um dos grupos de desigualdades anteriores. (Sugestão: poderá incluir no
seu notebook a resolução manuscrita que efectuar, utilizando o comando
Import). Esboce os conjuntos solução que determinou e diga, justificando,
se algum deles é não limitado.
b) Respectivamente para (i), (ii) e (iii), inclua as expressões das desigualdades numa lista de nome desigualdades. Aproveite o resultado que obterá
após execução da instrução Mathematica
Reduce[desigualdades, {x, y}, Reals]
como argumento da rotina RegionP lot, a qual lhe permite desenhar o
conjunto solução no interior de uma determinada região do plano, por
exemplo em [−10, 10] × [−10, 10]. Deverá incluir a opção BoundaryStyle
na referida rotina. Compare com os esboços que efectuou para responder
à alı́nea anterior.
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http://www.math.ist.utl.pt/∼ mgraca.
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c) Sendo a, b e c o comprimento dos lados de um triângulo, a sua área A
pode ser calculada através da fórmula de Heron
p
a+b+c
A = s (s − a) (s − b) (s − c), onde s =
.
2
Um dos conjuntos solução que determinou anteriormente é delimitado por
um certo triângulo. Mediante um programa Mathematica, devidamente
comentado, determine a área desse triângulo aplicando a fórmula de Heron. O valor (exacto) que determinou é um número racional? Justifique.
Através do comando Simplify, verifique que a fórmula de Heron pode ser
escrita na forma
1p 4
A=
−a − (b2 − c2 )2 + 2 a2 (b2 + c2 )
4
Que condições devem satisfazer os números a, b e c de modo que A > 0?
Figura 1: a = 104, b = c = 105.
d) Dados dois vectores não nulos, u = (xu , yu ) e v = (xv , yv ), de comprimento
respectivamente a e b, considere o ângulo φ (com 0 ≤ φ ≤ π) que esses
vectores fazem entre si. Mostre que
xu xv + yu yv
cos φ =
ab
e) Usando o resultado da alı́nea anterior, determine o valor dos ângulos
internos do triângulo referido na alı́nea (c). Apresente todas as instruções
Mathematica que utilizar para resolver a questão, e inclua comentários
explicativos.
f) No conjunto X constituı́do pelas triplas de números inteiros {x, y, z}, onde
100 ≤ x, y, z ≤ 105, considere o seguinte algoritmo:
(i) Seleccione em X as triplas {a, b, c}, com a ≤ b ≤ c, onde a, b, c representa, as medidas dos lados de um certo triângulo isósceles.
(ii) Para cada tripla de (i) construa um triângulo isósceles cujos lados
medem, respectivamente, a, b e c.
(iii) Desenhe uma grelha contendo os últimos 10 triângulos que podem
ser construı́dos a partir das triplas referidas em (i). Sugestão: aplique
a primitiva gráfica P olygon, e inclua a opção P lotLabel para mostrar a
área do respectivo triângulo. Por exemplo, na Figura 1 está representado
um certo triângulo da referida grelha.
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2. Certas curvas planas recebem a designação de curvas de Lamé ou superelipses. A designação referida em primeiro lugar deve-se ao facto destas curvas
terem sido estudadas pelo matemático francês Gabriel Lamé, em 1818. Dados
números reais a, b 6= 0 e r > 0, a equação cartesiana
x r y r
(1)
+ =1
a
b
representa uma curva de Lamé.
a) Para a = b = 1, observe a evolução da forma das curvas (1) quando r
varia, respectivamente, nos intervalos [1/5, 1] e [1, 2]. Sugestão: comece
por recorrer ao comando RegionP lot para valores de a, b e r particulares e,
posteriormente, utilize a estrutura M anipulate de modo que esses valores
sejam variáveis. Alguma das curvas que obteve lhe é familiar? Qual é
o efeito produzido fazendo variar r no conjunto dos números naturais
superiores a 1?
Consulte no site MacTutor History of Mathematics a biografia de Gabriel
Lamé. Aproveite para se informar2 a respeito da designação habitual
que é dada a certas curvas do tipo (1). Refira algumas aplicações arquitectónicas modernas e, a esse propósito, nomeie uma cidade europeia
que tenha beneficiado do interesse que o matemático e poeta Piet Hein
dedicou às curvas de Lamé.
b) Através da rotina RegionP lot3D desenhe um ‘edifı́cio’que lhe pareça estar
de acordo com o ‘estilo Piet Hein’.
c) Adopte parâmetros a, b e r de modo a desenhar um cartaz publicitário
de formato aproximadamente igual ao da Figura 2. Mediante a primitiva
T ext inclua no cartaz um texto qualquer do seu agrado.
Figura 2: Quociente a/b aproximadamente igual ao ‘número de ouro’.
d) Fazendo variar o parâmetro real θ num certo intervalo, as curvas de Lamé
podem também ser desenhadas recorrendo às equações paramétricas:
x = a cos2/r (θ)
(2)
y = b sin2/r (θ)
θmin ≤ θ ≤ θmax
Usando como argumento equações paramétricas do tipo (2), ensaie a rotina P arametricP lot de modo a obter um cartaz semelhante ao da Figu2
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Curves/Lame.html
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ra 2. Diga qual o intervalo de variação de θ, bem como os valores de a,
b e r que adoptou.
3. Considere a representação decimal do número π.
a) Utilizando instruções Mathematica adequadas verifique a veracidade de
cada uma das afirmações a seguir:
(i) Contando a posição k de cada dı́gito decimal de π após o ponto decimal,
o dı́gito 0 aparece a primeira vez na posição k = 32. (Sugestão: use as
rotinas RealDigits e P osition).
(ii) Nas primeiras 13 casas decimais todos os algarismos diferentes de 0
aparecem pelo menos uma vez.
(iii) A partir de k = 762 surgem os dı́gitos 999999.
(iv) Adicionando os 20 primeiros dı́gitos após o ponto decimal, o resultado
é 100; adicionando os primeiros 144 obtém-se 666.
(v)Dos 1 000 primeiros inteiros da forma 3, 31, 314, 3141, 31415, . . ., somente quatro são números primos.
(vi) A tripla que termina na posição 315 é 315, e a que termina na posição
360 é 360.
b) Os irmãos J. Borwein a P. Borwein3 estudaram as seguintes fórmulas
recursivas para o cálculo de π:
√
√
a0 = 6 − 4 2; y0 = 2 − 1;



1 − (1 − yk4 )1/4
1 + (1 − yk4 )1/4
2 )
= ak (1 + yk+1 )4 − 22 k+3 yk+1 (1 + yk+1 + yk+1
yk+1 =
ak+1
pk = a−1
k
k ≥ 1.
Os números p1 , p2 , p3 , . . . são aproximações de π. Será verdade que p6
possui mais de 10 000 dı́gitos correctos?
4. No número de Junho de 2008 da revista Plus Magazine4 encontra um artigo,
da autoria de A. Kirk, intitulado Catching Primes. Nesse artigo é descrito um
algoritmo para a determinação gráfica dos números primos menores ou iguais
a um inteiro positivo nmax.
a) Baseado no algoritmo referido escreva um programa Mathematica, devidamente comentado, para visualização dos números primos até nmax.
b) Aplique o programa anterior quando nmax = 20 e nmax = 80.
c) O processo gráfico que usou parece-lhe satisfatório para determinar números
primos com três ou mais dı́gitos decimais? Justifique.
3
J. Borwein and P. Borwein, Pi and the AGM. A study in Analytic Number Theory and
Computational Complexity, John Wiley and Sons, New York, 1987.
4
http://plus.maths.org/issue47/features/kirk/index.html.