Olimpíadas Portuguesas
de Matemática
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o
o
XXVI OPM - 2 Eliminatória - 9.1.2008 - Categoria B - 10 /12
Cada questão vale 10 pontos
ES
Sugestões para a resolução dos problemas
1. Como ⌊x⌋ e ⌊y⌋ são inteiros, então ⌊x⌋2 e ⌊y⌋2 são quadrados perfeitos. A soma de dois quadrados perfeitos
é 4 se e somente se um deles é 0 e o outro é 4.
(x, y) do plano que verificam ⌊x⌋2 + ⌊y⌋2 = 4 é a reunião do conjunto
= 4 e ⌊y⌋2 = 0} com o conjunto B = {(x, y) ∈ R2 : ⌊x⌋2 = 0 e ⌊y⌋2 = 4}.
Assim, o conjunto dos pontos
A = {(x, y) ∈
Por sua vez, A
R2
:
⌊x⌋2
= A1 ∪ A2 , onde
CO
A1 = {(x, y) ∈ R2 : ⌊x⌋ = 2 e ⌊y⌋ = 0}
= {(x, y) ∈ R2 : 2 ≤ x < 3 e 0 ≤ y < 1},
A2 = {(x, y) ∈ R2 : ⌊x⌋ = −2 e ⌊y⌋ = 0}
= {(x, y) ∈ R2 : −2 ≤ x < −1 e 0 ≤ y < 1}
eB
= B1 ∪ B2 , onde
B1 = {(x, y) ∈ R2 : ⌊x⌋ = 0 e ⌊y⌋ = 2}
= {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x < 1 e 2 ≤ y < 3},
B2 = {(x, y) ∈ R2 : ⌊x⌋ = 0 e ⌊y⌋ = −2}
= {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x < 1 e − 2 ≤ y < −1} .
SO
LU
Portanto, o conjunto dos pontos do plano é a reunião dos conjuntos A1 , A2 , B1 e B2 representada na figura
2. Sejam a, b, c, d, e, f, g, h, i elementos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, todos distintos. Se a distribuiç ão dos
números pelos quadrados da base da torre for a,
b, c, d, e, f, g, h, i, então
a segunda linha tem os números:
ab, bc, cd, de, ef, f g, gh, hi,
a terceira linha tem os números:
ab2 c, bc2 d, cd2 e, de2 f, ef 2 g, f g2 h, gh2 i,
a quarta linha tem os números:
ab3 c3 d, bc3 d3 e, cd3 e3 f, de3 f 3 g, ef 3 g3 h, f g3 h3 i,
a quinta linha tem os números:
ab4 c6 d4 e, bc4 d6 e4 f, cd4 e6 f 4 g, de4 f 6 g4 h, ef 4 g6 h4 i,
spm
a sexta linha tem os números:
ab5 c10 d10 e5 f, bc5 d10 e10 f 5 g, cd5 e10 f 10 g5 h, de5 f 10 g10 h5 i,
a sétima linha tem os números:
ab6 c15 d20 e15 f 6 g, bc6 d15 e20 f 15 g6 h, cd6 e15 f 20 g15 h6 i,
a oitava linha tem os números:
ab7 c21 d35 e35 f 21 g7 h, bc7 d21 e35 f 35 g21 h7 i.
O número do quadrado do topo da torre é ab8 c28 d56 e70 f 56 g 28 h8 i. Este número é tanto menor quanto maiores
ES
forem as bases das potências de menor expoente, ou seja,
a = 9, i = 8 ou a = 8, i = 9,
b = 7, h = 6 ou b = 6, h = 7,
c = 5, g = 4 ou c = 4, g = 5,
d = 3, f = 2 ou d = 2, f = 3,
e = 1.
Portanto, é possı́vel distribuir os nove números pelos quadrados da base da torre de 24
CO
de modo a obter o menor número possı́vel no quadrado do topo da torre.
3. Solução 1: Considera o ponto H tal que [BHDC] é um rectângulo.
LU
Por um lado, os triângulos [AHD] e [DCF ] são semelhantes, logo,
FC
CD
=
,
HD
AH
ou seja, F C
=
CD × BC
.
AB + CD
Por outro lado, os triângulos [BHE] e [GCB] são semelhantes, logo,
CG
BC
=
,
BH
EH
BC × CD
.
BC + DE
Portanto, F C = CG, o triângulo [CF G] é isósceles e a amplitude de ∡CF G é 45o .
=
SO
ou seja, CG
Solução 2: Considera os pontos H e I tais que [ABCH] e [CDEI] são quadrados.
spm
= 16 maneiras distintas,
Por um lado, os triângulos [ADH] e [F DC] são semelhantes, logo
FC
CD
=
,
AH
HD
ou seja, F C
=
CD × BC
.
BC + CD
ES
Por outro lado, os triângulos [BEI] e [BGC] são semelhantes, logo,
CG
BC
=
,
IE
BI
BC × CD
.
BC + CD
Portanto, F C = CG, o triângulo [CF G] é isósceles e a amplitude de ∡CF G é 45o .
ou seja, CG
=
b−a=
CO
4. Sendo a e b números triangulares tem-se
m(m + 1) − n(n + 1)
(m − n)(m + n + 1)
=
,
2
2
para algum par de inteiros positivos (n, m). O número de pares (a, b) tais que b − a
= 2008 é igual ao número
de pares de inteiros positivos (n, m) tais que
(m − n)(m + n + 1) = 2 × 2008 = 24 × 251.
> m − n, tem-se m − n = 1
m + n + 1 = 24 × 251 ou m − n = 24 e m + n + 1 = 251, donde se obtém m = 2008 e n = 2007
ou m = 133 e n = 117, respectivamente.
Portanto, existem dois pares
que
(a, b) de números triangulares
2007 × 2008 2008 × 2009
117 × 118 133 × 134
satisfazem a condição b − a = 2008:
,
e
,
.
2
2
2
4
SO
e
LU
Uma vez que os números m − n e m + n − 1 têm paridades diferentes e m + n + 1
spm