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Pêndulo simples amortecido
Considere-se uma massa m suspensa por um fio rígido de comprimento L e de massa
negligenciável. Designa-se por θ o ângulo entre a vertical que passa pelo ponto O de suspensão
e a direção do fio. O teorema do momento cinético permite escrever:
d²θ
d ²θ
g
mL ².
= − mgLsen θ ⇒
= − sen θ (1)
dt ²
dt ²
L
Como não se conhece a solução analítica rigorosa para esta equação, faz-se a aproximação
dos pequenos ângulos que permitem confundir o seno do ângulo com o valor do ângulo.
d²θ
g
Com esta
hipótese,
a equação l’équation
do movimento
é:
valeur de l’angle.
Avec
cette hypothèse,
du mouvement
devient :
=− θ.
dt ²
L
On obtientum
un movimento
mouvementsinusoidal
sinusoïdal de
de período:
période T = 2π L / g .
Obtém-se
No caso geral, se θ0 for a amplitude inicial do pêndulo, mostra-se que, fazendo o
desenvolvimento da série, podemos aproximar o período através da relação:
T = 2π
L  θ 02 
1 +
÷
g  16 ÷

Se se considerar que o pêndulo é também submetido a um atrito viscoso de coeficiente
k, a expressão da aceleração angular é:
d²θ
g
k dθ
= − sen θ −
dt ²
L
mL ² dt
(2)
(Para um atrito sólido, a força de atrito é constante e oposta a dθ / dt).
Na aproximação dos pequenos ângulos, podemos escrever esta equação sob a seguinte forma:
d²θ
dθ
+ 2λω
+ ω²θ = 0
dt ²
dt
Para os atritos baixos, a solução desta equação é:
(
θ = θ 0 e − λωt cos 1 − λ ² ωt + ϕ
)
O sistema não é mais periódico mas somente "pseudo-periódico".
A partir da resolução numérica da equação (2), traçamos uma curva de variação da amplitude
em função do tempo e da curva que dá a variação de amplitude em função da velocidade angular
Esta última curva é desenhada no espaço das fases.
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