UNIVERSIDADE ESTADUAL DE GOIÁS
Unidade Universitária de Ciências Exatas e Tecnológicas
Curso de Licenciatura em Matemática
Generalizando o Teorema do Valor Médio e Princípio dos Intervalos Encaixados
Mirian Flávia Fernandes Siqueira
ANÁPOLIS
2014
Mirian Flávia Fernandes Siqueira
Generalizando o Teorema do Valor Médio e Princípio dos Intervalos Encaixados
Trabalho de Curso apresentado a Coordenação
Adjunta de TC, como parte dos requisitos para
obtenção do título de Graduado no Curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Estadual de Goiás sob a orientação do Professor Me
Tiago de Lima Bento Pereira.
ANÁPOLIS
2014
iii
AGRADECIMENTOS
Agradeço, primeiramente aos Orixás, em quem depositei sempre muita fé, pelo suporte
espiritual e emocional quando os momentos difíceis se mostravam como parte do processo,
fizeram-me levantar a cabeça e acreditar que sou capaz. Destaco aqui, também algumas pessoas
de fundamental importância que o Candomblé me trouxe a oportunidade de conhecer, meu pai
de fé Marcos Torres, e aos amados Sandro Oliveira e Shirlei Romano.
Aos meus pais, pelo incentivo incansável, bem como as francas conversas de como é
honrado as batalhas que travamos diariamente pra consquistar aquilo que queremos. Pelo amor
quando me vi desanimada e, pela compreensão quando as coisas não saíam como o esperado.
Ao meu orientador, Tiago de Lima, que cumpriu maravilhosamente bem com seu papel
apesar de como tal proposta chegou até sua pessoa, sempre de maneira firme a me aconselhar
sobre o meu objetivo, dotado de uma compreensão que só um ser humano de sua magnitude
poderia ter, esse trabalho só se dá hoje, pelos teus ensinamentos e por estar de modo afetuoso
presente durante tal processo angustiante.
Ao meu amado, Lucas Rocha Resende, que surgiu de forma inesperada, e fez com
que tudo se tornasse suportável, pois ouvia meus lamentos e esteve acordado por noites me
oferecendo carinho, compreensão e companhia.
NOTAÇÕES
• intX: interior do conjunto X.
• X: fecho do conjunto X.
• {xn }: sequência x.
• xn → a: sequência xn convergente ao ponto a.
• X 0 : conjunto dos pontos de acumulação do conjunto X.
• X c : complementar do conjunto X.
• inf X: ínfimo do conjunto X.
• supX: supremo do conjunto X.
Lista de Figuras
1.1
a ponto interior do conjunto X ⊂ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2
Conjunto Aberto - exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3
exemplo 1.1.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.4
exemplo interseção de conjuntos abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.5
exemplo união de conjuntos fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.6
Teorema do anulamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.7
Teorema do Valor Intermediário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.1
Teorema de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.2
Teorema de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.3
Teorema do Valor Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.4
Reresentação do exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
vi
RESUMO
Através de uma revisão de literatura, aborda-se a introdução às noções topológicas com exemplos numéricos de modo que os mesmos sirvam para facilitar a compreensão dos conceitos, que constantemente
só contam com exemplos teóricos. Destacamos os conceitos de conjuntos abertos, conjuntos fechados e
conjuntos, através dos quais é possível realizar a formalização do princípio dos Intervalos Encaixados,
ao validá-lo também para conjuntos compactos. O princípio dos Intervalos Encaixados é utilizado como
ferramenta em demonstrações de alguns teoremas, por exemplo, o teorema do Anulamento, a partir daí
demonstra-se alguns teoremas para que possamos generalizar o Teorema do Valor Médio, os teoremas
contam com representação e interpretação geométrica, afinal necessita-se da compreensão desses resultados para que a generalização aconteça. O trabalho conta ainda com aplicações matemáticas e aplicações
em fenômenos físicos utilizando o Teorema do Valor Médio
Palavras-chave: Teorema do Valor Médio, Cauchy, princípio dos intervalos encaixados.
Sumário
Notações
v
Introdução
1
1
Princípio dos Intervalos Encaixados
3
1.1
Introdução às noções topológicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1.1
Conjunto aberto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.1.2
Conjunto fechado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2
Princípio dos Intervalos Encaixados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.3
Uso para demonstração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2
Teorema do valor Médio Generalizado
17
2.1
Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.2
Teorema do Valor Médio Generalizado (ou de Cauchy) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.3
Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.3.1
Regra de L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.3.2
Aplicações em física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
Considerações Finais
28
Referências Bibliográficas
29
A Apêndice
30
Índice Remissivo
32
viii
Introdução
O Teorema do Valor Médio e o Princípio dos Intervalos Encaixados são de fundamental importância para o Cálculo e Análise Real, pois os mesmos se aplicam como auxiliares nas demonstrações de
diversos resultados, alguns destes bem conhecidos, como por exemplo o Teorema do Anulamento; além
de aplicações em fenômenos físicos. Devido a tal importância, neste trabalho, através de uma revisão de
literatura, faremos uma generalização do Teorema do Valor Médio e uma generalização do Princípio dos
Intervalos Encaixados.
O Princípio dos Intervalos Encaixados1 afirma que dada uma sequência decrescente
I1 ⊃ I2 ⊃ I3 ⊃ ... ⊃ In ⊃ ...
de intervalos limitados e fechados In = [an , bn ], existe pelo menos um número real c tal que c ∈ In para
todo n ∈ N. A generalização do Princípio dos Intervalos Encaixados faz uso das noções topológicas no
que se refere aos conceitos de conjuntos fechados, limitados e conjuntos compactos. Tal generalização é
enunciada da seguinte forma : Dada uma sequência decrescente
X1 ⊃ X2 ⊃ X3 ⊃ ... ⊃ Xn ⊃ ...
de conjuntos compactos não-vazios, existe (pelo menos) um número real que pertence a todos os Xn .
Daí então podemos deduzir o Princípio dos Intervalos Encaixados, ao considerarmos que os intervalos
fechados são conjuntos compactos.
Para melhor compreensão das noções topológicas, fizemos uso da ordem estabelecida por Lima,[4],
e então foram acrescentados exemplos numéricos dos conceitos apresentados, de modo que tais exemplos elucidassem os conceitos presentes nas referências estudadas, pois estas apresentam normalmente
apenas exemplos teóricos.
Como generalização do Teorema do Valor Médio utilizaremos o Teorema do Valor Médio Generalizado (de Cauchy), o qual afirma que dadas duas funções f e g contínuas no intervalo [a, b] e deriváveis
1
Segundo definição dada por Lima,[4].
1
2
em (a, b), então existirá pelo menos um c em (a, b), tal que
f (b) − f (a)
f 0 (c)
= 0 , se g(b) 6= g(a) e g 0 (c) 6= 0.
g(b) − g(a)
g (c)
A partir do Teorema do Valor Médio Generalizado pode-se obter o Teorema do Valor Médio e,
além disso, o mesmo é utilizado muitas vezes na demonstração das regras de L’Hospital.
Dividimos o trabalho em dois capítulos:
• Iniciamos o primeiro capítulo com a introdução dos conceitos e resultados topológicos necessários
para a generalização do Princípio dos Intervalos Encaixados, e o encerramos demonstrando tal
generalização e fazendo uma aplicação;
• No segundo capítulo iniciamos com a seção que se refere à continuidade, tendo como base as
definições utilizadas em [3] e [6], a importância de fazê-la se dá pelo fato de que os teoremas que
pretendemos demonstrar só se validam à funções contínuas. Ao fim desta seção, já possuímos
bagagem suficiente para a seção seguinte, na qual demonstraremos os teoremas que auxiliarão a
generalização do Teorema do Valor Médio. Após a demonstração do Teorema do Valor Médio
Generalizado finalizamos o capítulo com a seção que se refere às aplicações do Teorema do Valor
Médio e Teorema do Valor Médio Generalizado.
Capítulo 1
Princípio dos Intervalos Encaixados
Formulamos tal capítulo esperando que o assunto abordado seja facilmente compreendido, sem a
necessidade de uma busca por algum outro material de apoio, ou seja, o mesmo tende a ser autoexplicativo. Assim sendo, o iniciamos com a seção nomeada por Introdução às noções topológicas que se trata
de definições, e exemplos tanto teóricos, quanto numéricos afim de que se esclarecessem as informações
transmitidas, afinal os mesmos são a base e estão diretamente ligados áquilo que o capítulo se propõe,
que é generalizar o princípio dos intervalos encaixados. A generalização em questão nos diz que, uma
sequência decrescente encaixante de conjuntos compactos possui um ponto comum a todos os conjuntos
que formam essa sequência.
Uma das definições contidas em topologia de extrema importância para a generalização do princípio
é a definição de conjuntos compactos, a qual só se dá após conhecidos e compreendidos os conceitos de
conjuntos abertos, fechados e limitados, segundo ordem proposta por Lima, [4].
1.1
Introdução às noções topológicas
Faremos uma breve introdução de definições topológicas e alguns resultados necessários à compre-
ensão da generalização do princípio dos intervalos encaixados, o qual é o objetivo central do primeiro
capítulo. Definimos então: conjunto aberto, conjunto fechado, através da definição de conjuntos fechados
nos foi possível a definição de conjuntos compactos, os quais são utilizados diretamente na generalização
do princípio. Salientamos que na seção que se segue faremos uso das notações adotadas em [4] e [5]
3
1.1. Introdução às noções topológicas
1.1.1
4
Conjunto aberto
Definição 1.1.1. Diz -se que o ponto a é interior ao conjunto X ⊂ R quando existe um número ε > 0 tal
que o intervalo aberto (a − ε, a + ε) está contido em X. O conjunto dos pontos interiores a X chama-se
interior do conjunto X e representa-se pela notação int X. Quando a ∈ intX diz-se que o conjunto X
é uma vizinhança do ponto a.
Figura 1.1: a ponto interior do conjunto X ⊂ R
Observação 1.1.2. Note que quando dizemos que X é uma vizinhança de a estamos automaticamente
assumindo que existe um intervalo (a − ε, a + ε) contido em X.
Exemplo 1.1.3. Considere o intervalo aberto X,de modo que X = (1, 12), o ponto 3 é ponto interior,
pois dado ε = 1, obtemos o intervalo (3 − ε, 3 + ε) = (2, 4).
Figura 1.2: Conjunto Aberto - exemplo
Exemplo 1.1.4. O conjunto X = (2, 6) é vizinhança do ponto 4, pois o ponto 4 é interior. Basta tomar
(4 − ε, 4 + ε), com 0 < ε < 2.
Exemplo 1.1.5. Todo ponto c do intervalo aberto (a, b) é um ponto interior a (a, b). De fato, tome ε
b−c c−a
,
} assim o intervalo (c − ε, c + ε) está contido em (a, b).
como sendo o mínimo entre {
2
2
Exemplo 1.1.6. Retomando ainda, ao conjunto X do exemplo 1.1.3, temos que o interior do conjunto
X é (1, 12).
Exemplo 1.1.7. Os pontos a e b, extremos do intervalo fechado [a, b] não são interiores a [a, b], pois os
intervalos (a − ε, a + ε) e (b − ε, b + ε) não estão contidos no intervalo fechado [a, b], para qualquer
ε > 0, sendo assim conclui-se :
1.1. Introdução às noções topológicas
5
• que o intervalo fechado [a, b] não é uma vizinhança nem de a nem de b;
• int[a, b] = (a, b).
Exemplo 1.1.8. Dado o intervalo fechado [1, 5], os pontos 2 e 4 são pontos interiores ao intervalo. De
1
1
1
3 5
fato, 2 ∈ [1, 5] e tome ε = , temos que 2 ∈ (2 − , 2 + ) = ( , ) ⊂ [1, 5]. De modo análogo, 4 é
2
2
2
2 2
um ponto inteior à [1, 5].
Figura 1.3: exemplo 1.1.8
Definição 1.1.9. Um conjunto A ⊂ R chama-se aberto quando A = intA, isto é, quando todos os
pontos de A são interiores a A.
Retomando aos exemplos acima, temos que :
• O conjunto (1, 12) do exemplo 1.1.3 é um conjunto aberto, pois int(1, 12) = (1, 12).
• Todo intervalo aberto é um conjunto aberto (exemplo 1.1.5):
int(a, b) = (a, b)
• O intervalo fechado [a, b] não é um conjunto aberto (exemplo 1.1.7), pois int[a, b] = (a, b).
Teorema 1.1.10. Se A1 e A2 são conjuntos abertos, então a interseção A1 ∩ A2 é um conjunto aberto.
Dem. Sendo A1 e A2 conjuntos abertos, tomemos x pertencente à A1 ∩ A2 (o x será comum à ambos
os conjuntos, pois estamos tratando de interseção), sendo assim, x ∈ A1 e x ∈ A2 . Por definição de
conjuntos abertos, existem ε1 > 0 e ε2 > 0, tais que (x − ε1 , x + ε1 ) ⊂ A1 e (x − ε2 , x + ε2 ) ⊂ A2 .
Se ε for o menor entre ε1 e ε2 resultará em (x − ε, x + ε) ⊂ A1 e (x − ε, x + ε) ⊂ A2 , ou seja,
(x − ε, x + ε) ⊂ A1 ∩ A2 . Concluí-se que x é um ponto interior à interseção dos conjuntos abertos, então
o conjunto A1 ∩ A2 é aberto.
Exemplo 1.1.11. Tomemos dois conjuntos A1 = (1, 7) e A2 = (2, 9), ambos são conjuntos abertos,
pois int A1 = (1, 7) e int A2 = (2, 9). A interseção A1 ∩ A2 é dada por (2, 7) e o int A1 ∩ A2 = (2, 7),
logo A1 ∩ A2 é um conjunto aberto.
1.1. Introdução às noções topológicas
6
Figura 1.4: exemplo interseção de conjuntos abertos
Corolário 1.1.12. A interseção A1 ∩ ... ∩ An de um número finito de conjuntos abertos é um conjunto
aberto.
Observação 1.1.13. A interseção de um número infinito de conjuntos abertos pode não ser aberta, por
−1 1
−1 1
exemplo, se A1 = (−1, 1), A2 = ( , ), ..., An = ( , ), ... então
2 2
n n
A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An ∩ .... = {0}.
Teorema 1.1.14. Se (Aλ )λ∈L é uma família qualquer de conjuntos abertos, a reunião A = ∪λ∈L Aλ é
um conjunto aberto.
Dem. Se x ∈ A, então existe λ ∈ L, tal que x ∈ Aλ . Como Aλ é aberto, existe ε > 0 tal que
(x − ε, x + ε) ⊂ Aλ ⊂ A, logo todo ponto x ∈ A é ponto interior, isto é, A é aberto.
1.1.2
Conjunto fechado
Definição 1.1.15. Diz-se que o ponto a é aderente ao conjunto X ⊂ R quando a é limite de alguma
sequência de pontos xn ∈ X. Chama-se fecho de um conjunto X ao conjunto formado por todos os
pontos aderentes a X e representa-se por X .
Exemplo 1.1.16. Consideremos o conjunto X = [2, 5] ∪ 6 ∪ [7, 8), analisaremos os pontos 3, 5, 6, 8 e 9.
• o ponto 3 ⊂ X é um ponto aderente ao conjunto, pois é possível encontramos uma sequência que
converge para 3, podendo ser a sequência constante xn = 3, ∀ n ∈ N.
• o ponto 5 ⊂ X é um ponto aderente ao conjunto, pois é possível encontrarmos uma sequência
1
1
que converge para 5, podendo ser escrita como xn = (5 − ), lim (5 − ) = 5 ( a sequência
n n→∞
n
constante xn = 5 também vale para este ponto).
• o ponto 6 pertence a X, e é um ponto aderente, pois a sequência constante xn = 6 está contida
em X.
1.1. Introdução às noções topológicas
7
1
• o ponto 8 não pertence a X, mas 8 é aderente, pois a sequência descrita por xn = (8 − ),
n
1
lim (8 − ) = 8, está contida no conjunto.
n→∞
n
• o ponto 9 não pertence a X e não é um ponto aderente, pois não é possível encontrar uma sequência
1
que convirja para 9 que esteja contida no conjunto. Se tormarmos = , obteremos o intevalo
2
17 19
( , ), que não têm interseção com o conjunto X.
2 2
• O fecho do conjunto X = [2, 5] ∪ 6 ∪ [7, 8) é X = [2, 5] ∪ 6 ∪ [7, 8].
Note que:
1. Todo ponto a ∈ X é aderente a X: basta tomar a sequência de termos constantes iguais à a, ou
seja, xn = a, para todo n ∈ N. Logo X ⊂ X.
2. Se X ⊂ Y então X ⊂ Y . De fato tome, x1 ∈ X, ou seja, existe {xn } ⊂ X, tal que xn −→ x1 .
Queremos encontrar uma sequência {yn } ⊂ Y , tal que yn −→ x1 . Como {xn } ⊂ X ⊂ Y , logo
{xn } ⊂ Y . Sendo assim, é suficiente tomarmos yn = xn ∀ n ∈ N. Logo, x1 ∈ Y .
Exemplo 1.1.17. Todo ponto c do intervalo fechado [a, b] é um ponto aderente a [a, b], pois dado
c ∈ [a, b] tome
xn = c ∈ [a, b].
Exemplo 1.1.18. O fecho dos intervalos (a, b), [a, b), (a, b] é o intervalo [a, b].
Exemplo 1.1.19. Seja X ⊂ R limitado1 , não-vazio. Então a = inf X e b = sup X são aderentes a X.
1
De fato, n ∈ N podemos escolher xn ∈ X com a ≤ xn ≤ a + , logo xn → a. De modo semelhante,
n
1
observa-se que dado n ∈ N, existe yn ∈ X, tal que b − ≤ yn ≤ b, e assim yn → b .
n
Exemplo 1.1.20. Os extremos a e b, pelas definições de ínfimo2 e supremo3 respectivamente, são
aderentes ao conjunto aberto (a, b).
Definição 1.1.21. Um conjunto diz-se fechado quando X = X, isto é, todo ponto aderente a X pertence
a X.
Exemplo 1.1.22. Analisemos os seguintes conjuntos A = [2, 10], B = [2, 10) e C = (2, 10), pela
definição 1.1.15, temos que:
1
2
3
X ⊂ R é dito limitado, se é limitado superiormente e inferiormente
ver definição de ínfimo no apêndice
ver definição de supremo no apêndice
1.1. Introdução às noções topológicas
8
• A é um conjunto fechado, pois A = [2, 10];
• B não é um conjunto fechado, pois B = [2, 10] 6= B;
• C não é um conjunto fechado, pois C = [2, 10] 6= C.
Exemplo 1.1.23. O intervalo fechado [a, b] é um conjunto fechado.
Exemplo 1.1.24. Um ponto é um conjunto fechado.
Teorema 1.1.25. Um ponto a é aderente ao conjunto X se, e somente se, toda vizinhança de a contém
algum ponto de X.
Dem. Seja a aderente a X. Então existe uma sequência {xn } ⊂ X, tal que xn → a. Dada uma vizinhança qualquer a ∈ V temos xn ∈ V para todo n suficientemente grande (sendo V uma vizinhança de
a então existe um intervalo aberto (a − ε, a + ε) ⊂ V , e pela definição de limite4 para todo n suficientemente grande, xn ∈ (a − ε, a + ε) ⊂ V ), logo V ∩ X =
6 ∅. Reciprocamente,
se toda vizinhança de a
1
1
, n ∈ N, um ponto xn ∈ X.
contém pontos de X podemos escolher, em cada intervalo a − , a +
n
n
1
Então |xn − a| < , logo lim xn = a e a é aderente a X.
n
Observação 1.1.26. Pelo teorema 1.1.25, afim de que um ponto a não pertença a X é necessário e
suficiente que exista uma vizinhança a ∈ V tal que V ∩ X = ∅.
Exemplo 1.1.27. Seja o conjunto X = [2, 3]
o ponto 4 não é aderente ao conjunto, pois tomando
∪ 5, 7 9
1
,
que não está contido no conjunto. Sendo assim, a
= teremos o intervalo (4 − ε, 4 + ε) =
2
2 2
vizinhança de 4 não contém nenhum ponto de X. (Ver também exemplo 1.1.16 para o ponto 9).
Teorema 1.1.28. Um conjunto F ⊂ R é fechado se, e somente se, seu complementar A = R − F é
aberto.
Dem. Sejam F um conjunto fechado e a ∈ A, isto é, a ∈
/ F . Pelo Teorema 1.1.25, existe alguma
vizinhança a ∈ V que não contém pontos de F , isto é, V ⊂ A. Assim, todo ponto a ∈ A é interior a A,
concluímos então que o conjunto A é aberto. De modo recíproco, pelo Teorema 1.1.25, se o ponto a é
aderente a F = R − A, então toda vizinhança de a contém pontos de F , logo a não é interior a A. Mas,
sendo A aberto, obtemos a ∈
/ A, ou seja, a ∈ F . Assim, todo ponto a aderente a F pertence a F . Assim,
F é um conjunto fechado.
4
xn → a, se e somente se, ∀ ε > 0, ∃ n0 ∈ N tal que, se n > n0 , então | xn −a |< ε, isto é, a−ε < xn < a+ε,
para todo n suficientemente grande.
1.1. Introdução às noções topológicas
9
Exemplo 1.1.29. Seja o conjunto A = [2, 3]4, seja Ac = R − A, o complementar de A. Ora,
Ac = (−∞, 2) ∪ (3, ∞)
é um conjunto aberto (união de abertos, consultar teorema 1.1.14). Logo, pelo teorema 1.1.28 o conjunto
A é fechado.
Teorema 1.1.30. Se F1 e F2 são fechados então F1 ∪ F2 é fechado.
Dem. Os conjuntos A1 = R−F1 e A2 = R−F2 são respectivamente, complementar a F1 e F2 conjuntos
fechados. Pelo Teorema 1.1.28 A1 e A2 são abertos. Observer que5
(F1 ∪ F2 )c = F1c ∩ F2c = A1 ∩ A2 .
Pelo Teorema 1.1.10, A1 ∩ A2 = R − (F1 ∪ F2 ) é aberto. Novamente tomando o Teorema 1.1.28,
garantimos que F1 ∪ F2 é fechado.
Exemplo 1.1.31. Sejam os conjuntos F1 = [2, 3] e F2 = [5, 6] conjuntos fechados, e
F1c = R − F1 = (−∞, 2) ∪ (3, +∞)
, o complementar de F1 e F2c = R − F2 = (−∞, 5) ∪ (6, +∞) o complementar de F2 . (F1 ∪ F2 )c =
F1c ∩F2c = (−∞, 2)∪(3, 5)∪(6, +∞), o qual é um conjunto aberto (união de abertos, consultar teorema
1.1.14), conclui-se a partir do teorema 1.1.30 que F1 ∪ F2 é fechado.
Figura 1.5: exemplo união de conjuntos fechados
5
Leis de DE Morgan
1.1. Introdução às noções topológicas
10
Teorema 1.1.32. Se (Fλ )λ∈L é uma família qualquer de conjuntos fechados então a interseção
F = ∩λ∈L Fλ
é um conjunto fechado.
Dem. Para cada λ ∈ L, Aλ = R − Fλ é aberto. Note que F c = (∩λ∈L Fλ )c = ∪λ∈L Fλc = ∪λ∈L Aλ ,
como cada Aλ é aberto, pelo teorema 1.1.14, segue-se que F c = ∪λ∈L Aλ é aberto. Logo F é fechado.
Definição 1.1.33. Diz-se que a ∈ R é ponto de acumulação do conjunto X ⊂ R quando toda vizinhança
V de a contém algum ponto de X diferente do próprio a. Denotamos o conjunto de todos os pontos de
acumulação de X por X 0 .
Definição 1.1.34. Se a ∈ X não é ponto de acumulação de X, diz-se que a é um ponto isolado de X.
Quando todos os pontos do conjunto X são isolados, X chama-se conjunto discreto.
Exemplo 1.1.35. Seja X = [2, 3) ∪ {5}. O ponto 5 é ponto isolado, pois tomando-se uma sequência
convergente à 5, a única que pertenceria ao conjunto X seria a sequência constante em 5, porém tal
sequência é igual ao ponto tomado, o que entra em contradição com a definição 1.1.33 de ponto de
acumulação.
Teorema 1.1.36. Dados X ⊂ R e a ∈ R, as seguintes afirmações são equivalentes:
1. a é um ponto de acumulação de X;
2. a é limite de uma sequência de pontos xn ∈ X − {a};
3. Todo intervalo aberto de centro a contém uma infinidade de pontos de X.
Dem. Supondo
(1) verdadeira,
para todo n ∈ N podemos achar um ponto xn ∈ X, xn 6= a, na vizi
1
1
. Logo, xn → a com xn ∈ X − a, o que prova (2). Por outro lado, tomando
nhança a − , a +
n
n
(2) como verdadeira, para qualquer n0 ∈ N, o conjunto {xn ; n > n0 } é infinito, caso contrário, existiria
um termo xn1 que se repetiria infinitas vezes a partir de determinado termo fazendo com que a sequência a patir do n1 -ésimo termo se comportasse como constante, isso resultaria em um limite xn1 6= a.
Pela definição de limite, vê-se que (2) implica (3). E finalmente, pela definição de ponto de acumulação
verifica-se que (3) implica (1).
Exemplo 1.1.37. Se X é finito então X 0 = ∅ (conjunto finito não tem ponto de acumulação).
1.1. Introdução às noções topológicas
11
Exemplo 1.1.38. Z é infinito, mas todos os pontos de Z são isolados. Dado qualquer z ∈ Z, o intervalo
(z − ε, z + ε), 0 < ε < 1, não contém uma inifinidade de pontos de Z
Exemplo 1.1.39. Se X = (a, b) então X 0 = [a, b].
1
1
Exemplo 1.1.40. Se X = 1, , ..., , ... então X 0 = {0}.
2
n
Teorema 1.1.41. Todo conjunto infinito limitado de números reais admite pelo menos um ponto de
acumulação.
Dem. Seja X ⊂ R um conjunto infinito limitado. X possui um sub-conjunto enumerável {x1 , x2 , ..., xn }.
Fixando esta enumeração, temos uma sequência (xn ) de termos dois a dois distintos, pertencentes a X,
portanto uma sequência limitada, a qual pelo Teorema de Bolzano Weierstrass, possui uma subsequência
convergente. Desprezando os termos que estão fora dessa subsequência e mudando a notação, podemos
admitir que (xn ) converge. Seja xn → a. Como os termos xn são todos distintos, no máximo um deles pode ser igual a a. Descartando-o, caso exista, teremos a como limite de uma sequência de pontos
xn ∈ X − {a}.
Definição 1.1.42. Um conjunto X ⊂ R chama-se compacto quando é limitado e fechado.
Exemplo 1.1.43. O conjunto F = [2, 3] ∪ 4, é um conjunto compacto, pois ele é limitado, ou seja, possui
ínfimo igual a 2 e supremo igual a 4, e o conjunto também é fechado, pois [2, 3] é um conjunto fechado e
4, segundo 1.1.23, é um conjunto fechado, temos então a união de dois conjuntos fechados, pelo teorema
1.1.30 [2, 3] ∪ 4 é fechado. O que implica que o conjunto F seja compacto.
Exemplo 1.1.44. O conjunto X = [2, 3] ∪ [5, 7] é um conjunto compacto, pois o conjunto é a união dos
conjuntos [2, 3] e [5, 7], ambos fechados, logo pelo teorema 1.1.30, o conjunto X é fechado. Por outro
lado, X possui supremo igual a 7 e ínfimo igual a 2, o que torna o conjunto X limitado. Logo, X é um
conjunto compacto.
1
, n ∈ N ∪ {0}, é limitado com ínfimo igual a 0 e supremo igual
Exemplo 1.1.45. O conjunto Y =
n
a 1. O conjunto é fechado, logo Y é compacto.
Exemplo 1.1.46. Todo conjunto finito é compacto.
Exemplo 1.1.47. Um intervalo do tipo [a, b] é um conjunto compacto.
Exemplo 1.1.48. Um intervalo do tipo (a, b) não é um conjunto compacto, pois o fecho do intervalo é
[a, b], logo o conjunto não é fechado.
1.1. Introdução às noções topológicas
12
Exemplo 1.1.49. O conjunto Z não é um conjunto compacto, pois o conjunto dos inteiros Z não é
limitado (ou seja, não possui supremo e ínfimo definidos).
Proposição 1.1.50. Toda sequência convergente é limitada.
Dem. Seja lim xn = a. Assim, dado ε > 0, existe n0 ∈ N, tal que se n > n0 , então | xn − a |< ε, isto
n→∞
é,
−ε < xn − a < ε
a − ε < xn < a + ε.
Em particular tome ε = 1. Considere o conjunto C = {x1 , x2 , ..., xn0 , a − 1, a + 1}, note que trata-se
dos n0 primeiros termos da sequência {xn } e que todos os outros termos xn , n > n0 são menores que
a + 1 e maiores que a − 1. Sendo C finito, podemos escolher o menor elemento, m de C e o maior
elemento M de C, assim todos os termos da sequência estão contidos no intervalo [m, M ], ou seja, a
sequência é limitada.
Teorema 1.1.51. Um conjunto X ⊂ R é compacto se, e somente se, toda sequência de pontos de X
possui uma subsequência que converge para um ponto de X.
Dem. Se X ⊂ R é compacto toda sequência de X é limitada, logo,pelo Teorema de Bolzano Weierstrass6 possui uma subsequência convergente, cujo limite é um ponto de X, pois X é fechado. De modo
recíproco, seja X ⊂ R um conjunto tal que toda sequência de pontos xn ∈ X possui uma subsequência
que converge para um ponto de X. Então X é limitado porque do contrário, para cada n ∈ N poderíamos encontrar xn ∈ X com | xn |> n. A sequência (xn ), assim obtida, não possuíria subsequência
convergente toda sequência também seria ilimitada, mas toda sequência convergente é limitada. Além
disso, X é fechado, pois do contrário, existiria um ponto a ∈
/ X e uma sequência Xn ∈ X com xn → a.
A sequência (xn ) não possuiria então subsequência alguma convergindo para um ponto de X pois todas
suas subsequências teriam limite a. Logo X é compacto.
Observação 1.1.52. Se X ⊂ R é compacto, então pelo exemplo 1.1.20, a = inf X e b = sup X pertencem
a X. Assim, todo conjunto compacto contém um elemento mínimo e um elemento máximo. Ou seja, X
compacto, implica que existem x0 , x1 ∈ X tais que x0 ≤ x ≤ x1 para todo x ∈ X.
Podemos agora generalizar o príncipio dos intervalos encaixados.
6
Toda sequência limitada de números reais possui uma subsequência convergente
1.2. Princípio dos Intervalos Encaixados
1.2
13
Princípio dos Intervalos Encaixados
O princípio dos intervalos encaixados possui validade para sequências decrescentes encaixantes de
conjuntos compactos. Será utilizada a definição segundo Lima, [4], o princípio se faz necessário para
que se conclua a generalização do Teorema do Valor Médio, ao qual se objetiva o segundo capítulo.
Teorema 1.2.1. Dada uma sequência decrescente X1 ⊃ X2 ⊃ X3 ⊃ ... ⊃ Xn ⊃ ... de conjuntos
compactos não-vazios, existe (pelo menos) um número real que pertence a todo os Xn .
Dem. Definimos uma sequência (xn ) escolhendo, para cada n ∈ N, um ponto xn ∈ X. Esta sequência
está no compacto X1 , logo possui uma subsequência (xn1 , xn2 , ..., xnk , ...) convergindo para um ponto
a ∈ X1 . Dado qualquer n ∈ N temos xnk ∈ Xn sempre que nk > n. Como Xn é compacto, segue-se
que a ∈ Xn . Isto prova o teorema .
Corolário 1.2.2 (Princípio dos Intervalos encaixados). Dada uma sequência decrescente
I1 ⊃ I2 ⊃ I3 ⊃ ... ⊃ In ⊃ ...
de intervalos limitados e fechados In = [an , bn ], existe pelo menos um número real c tal que c ∈ In para
todo n ∈ N.
Dem. 7 Trata-se de intervalos limitados e fechados, logo segundo o exemplo 1.1.23, são conjuntos fechados e limitados, e segundo a definição 1.1.42, compactos, sendo assim, vale o teorema 1.2.1.
1.3
Uso para demonstração
O princípio dos intervalos encaixados é muito útil dentro da própria matemática. Nessa seção o uti-
lizaremos para demonstrar o Teorema do anulamento, assim como feito por Guidorizzi, [?]. O Teorema
do Anulamento serve como ferramenta para a demonstração do Teorema do Valor Intermediário, também
conhecido como Teorema de Bolzano, em homenagem ao matemático tcheco Bolzano8 . O Teorema do
anulamento afirma que o gráfico de uma função contínua definida num intervalo, ao passar de um lado a
outro do eixo dos x, necessariamente tem de cortar esse eixo.
7
8
Para demonstração alternativa consultar Apêndice
Bernhard Bolzano (1781 − 1848), nasceu e morreu na cidade de Praga, e embora fosse padre tinha ideias
contrarias ás da Igreja.
1.3. Uso para demonstração
14
Embora há muito conhecido e utilizado, só no início do século XIX, o Teorema do Valor Intermediário foi demonstrado, antes disso, todas as demonstrações se apoiavam em justificativas geométricas.
Foi Bolzano o primeiro matemático a fazer uma tentativa séria de demonstrar esse teorema, de maneira
puramente analítica, num trabalho de 1817, trabalho que mais tarde seria visto como um dos marcos
principais do início do rigor na Análise das primeiras décadas do século XIX.
No próximo capítulo utilizaremos o princípio dos intervalos encaixados na demosntração de outros
teoremas.
Teorema 1.3.1 (Anulamento). Se f contínua9 em [a, b] e se f (a) e f (b) tiverem sinais contrários, então
existirá pelo menos um c em (a, b) tal que f (c) = 0.
Figura 1.6: Teorema do anulamento
Dem. Suponhamos f (a) < 0 e f (b) > 0. Façamos a = a0 e b = b0 ; seja c0 o ponto médio do segmento
a0 + b0
[a0 , b0 ], ou seja, c0 =
. Temos
2
f (c0 ) < 0 ou f (c0 ) ≥ 0.
Suponhamos f (c0 ) < 0 e façamos c0 = a1 e b0 = b1 . Temos f (a1 ) < 0 e f (b1 ) > 0. Seja c1 o ponto
a1 + b1
médio do segmento [a1 , b1 ], ou seja, c1 =
. Temos
2
f (c1 ) < 0 ou f (c1 ) ≥ 0.
9
Veja definição de continuidade no Capítulo 2
1.3. Uso para demonstração
15
Suponhamos f (c1 ) ≥ 0 e façamos a1 = a2 e c1 = b2 . Assim, f (a2 ) < 0 e f (b2 ) ≥ 0. Prosseguindo
com este raciocínio, contruiremos uma sequência de intervalos
[a0 , b0 ] ⊃ [a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ ... ⊃ [an , bn ] ⊃ ...
que satisfaz as condições da propriedade dos intervalos encaixados e tal que, para todo n,
f (an ) < 0 e f (bn ) ≥ 0.
(1.1)
Utilizando o Príncipio dos Intervalos Encaixados 1.2.1, seja c o único real tal que, para todo n
an ≤ c ≤ bn .
As sequências de termos gerais an e bn convergem para c. Segue, então, da continuidade de f , que
lim f (an ) = f (c)
(1.2)
e lim f (bn ) = f (c).
(1.3)
n→+∞
n→+∞
Segue de 2.1, 2.2 e 2.3 que
f (c) ≤ 0 e f (c) ≥ 0
e, portanto, f (c) = 0.
Geometricamente, se uma função contínua em um intervalo fechado possui extremos com imagens
de sinais contrários, ou seja, um positivo e o outro negativo, a função obrigatoriamente possuirá um
ponto com imagem nula, ou seja, a função possuirá um ponto que se encontra sobre o eixo x.
Teorema 1.3.2 (Valor Intermediário). Se f for contínua no intervalo fechado [a, b] e se γ for um real
compreendido entre f (a) e f (b), então existirá pelo menos um c em [a, b] tal que f (c) = γ.
Dem. Suponhamos f (a) < γ < f (b). Consideremos a função
g(x) = f (x) − γ, x em [a, b].
Como f é contínua em [a, b], e γ pode ser considerada uma função constante (contínua), pelo teorema
??, g é contínua. Além disso, vale que
g(a) = f (a) − γ < 0 e g(b) = f (b) − γ > 0.
Assim g satisfaz as hipóteses do Teorema 1.3.1 e portanto, existe c em [a, b] tal que g(c) = 0, ou seja,
f (c) = γ.
1.3. Uso para demonstração
Figura 1.7: Teorema do Valor Intermediário
16
Capítulo 2
Teorema do valor Médio Generalizado
Neste capítulo faremos uma generalização do Teorema do Valor Médio e a partir deste, de modo
não convencional, demonstramos o Teorema do Valor Médio que comumente é demonstrado a partir do
Teorema de Rolle. Este capítulo conta com as seguintes seções :
• Continuidade - que trata das noções básicas necessárias para que se compreendesse as hipóteses
dos teoremas neste capítulo tratados, a qual se baseia em [3].
• Teorema do Valor Médio Generalizado - que demonstra todos os teoremas que precedem a Generalização do Teorema do Valor Médio, são eles: Teorema da Limitação, Teorema de Weierstrass
e o Teorema de Rolle; seguido da subseção Teorema do Valor Médio Generalizado, que faz a
demonstração da generalização do Teorema do Valor Médio, utilizando [2] e [5].
• Aplicação - que apresenta a primeira Regra de L’Hospital como consequência direta do Teorema
do Valor Médio Generalizado, utilizando conceitos de [2] e [6].
2.1
Continuidade
Um conceito fundamental no Cálculo no que diz respeito ao estudo de funções é o de continuidade
de uma função num ponto de seu domínio. Introduzimos alguns conceitos e resultados que se referem á
continuidade, pois as funções utilizadas nas demonstrações e as hipótese dos teoremas da seção seguinte
se restringem a funções contínuas. Utilizamos como referência Leithold, [3]
Definição 2.1.1. Uma função f : X −→ R, definida no conjunto X ⊂ R, diz-se contínua no ponto
a ∈ X quando para todo ε > 0 dado arbitrariamente, pode-se obter δ > 0 tal que x ∈ X e | x − a |< δ
17
2.1. Continuidade
18
impliquem | f (x) − f (a) |< ε. Em símbolos, f contínua no ponto a significa:
∀ ε > 0, ∃ δ > 0; x ∈ X, | x − a |< δ =⇒| f (x) − f (a) |< ε
Em outras palavras:
Dizemos que a função f é contínua no ponto a se e somente se as seguintes condições forem satisfeitas:
• f (a) existe;
• lim f (x) existe;
x→a
• lim f (x) = f (a).
x→a
Definição 2.1.2. Chama-se descontínua no ponto a ∈ X uma função f : X −→ R que não é contínua
nesse ponto. Isto quer dizer que existe ε > 0 com a seguinte propriedade: para todo δ > 0 pode-se
achar
xδ ∈ X tal que | xδ − a |< δ e | f (xδ ) − f (a) |≥ ε.
Teorema 2.1.3. Se f e g forem funções contínuas em um número a, então f + g será contínua em a.
Dem. Como f e g são contínuas em a, segue que
lim f (x) = f (a) e lim g(x) = g(a)
x→a
x→a
Utilizando propriedade de limite1 , temos que
lim [f (x) ± g(x)] = lim f (x) ± lim g(x) = f (a) ± g(a)
x→a
x→a
x→a
a qual é a condição para que f ± g seja contínua em a.
Teorema 2.1.4. Se f e g forem funções contínuas em um número a, então f.g será contínua em a.
Dem. Como f e g são contínuas em a, segue que
lim f (x) = f (a) e lim g(x) = g(a)
x→a
x→a
Utilizando propriedade de limite2
lim [f (x).g(x)] = f (a).g(a)
x→a
a qual é a condição para que f.g seja contínua em a.
1
Se lim f (x) = L e lim g(x) = M , então lim [f (x) ± g(x)] = L ± M
2
Se lim f (x) = L e lim g(x) = M , então lim [f (x) · g(x)] = L.M.
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
2.2. Teorema do Valor Médio Generalizado (ou de Cauchy)
Teorema 2.1.5. Se f e g forem contínuas em um número a, então
19
f
será contínua em a desde que
g
g(a) 6= 0.
Dem. Como f e g são contínuas em a, segue que
lim f (x) = f (a) e lim g(x) = g(a)
x→a
x→a
Utilizando a propriedade do limite3
f (a)
f (x)
=
g(x)
g(a)
lim
x→a
a qual é a condição para que
f
é contínua em a.
g
Teorema 2.1.6. Um função polinomial é contínua em qualquer número
Dem. Considerando a função polinomial f definida por
f (x) = b0 xn + b1 xn−1 + b2 xn−2 + ... + bn−1 x + bn ; b0 6= 0
onde n é um número inteiro não negativo e b0 , b1 , b2 , ..., bn são números reais. Ao aplicarmos o limite
obtemos:
lim f (x) = b0 an + b1 an−1 + b2 an−2 + ... + bn−1 a + bn
x→a
lim f (x) = f (a)
x→a
2.2
Teorema do Valor Médio Generalizado (ou de Cauchy)
Nesta seção generalizaremos o Teorema do Valor Médio, mas antes que nosso objetivo seja alcan-
çado precisamos de alguns resultados, logo segundo definições estabelecidas em [2] e [5] abordaremos
os teoremas da limitação, de Weierstrass e o Teorema de Rolle.
Para demonstrar os próximos resultados, necessitaremos da seguinte definição.
Definição 2.2.1. Dizemos que f é limitada em a ⊂ Df se existir M > 0 tal que, para todo x em Df ,
| f (x) |≤ M.
Da definição acima, segue que, se f não for limitada em B ⊂ Df , para todo natural n, existe xn ∈ B,
com | f (xn ) |> n.
3
Se lim f (x) = L e lim g(x) = M , então lim
x→a
x→a
x→a
f (x)
L
=
, com M 6= 0
g(x) M
2.2. Teorema do Valor Médio Generalizado (ou de Cauchy)
20
Teorema 2.2.2 (Limitação). Se f for contínua no intervalo fechado [a, b], então f será limitada em [a, b].
Dem. Suponhamos, por absurdo, que f não seja limitada em [a, b]. Façamos a = a1 e b = b1 ; existe,
a1 + b1
então, x1 em [a1 , b1 ] tal que | f (x1 ) |> 1. Seja c1 o ponto médio de [a1 , b1 ], ou seja, c1 =
; f não
2
será limitada em um dos intervalos [a1 , c1 ] ou [c1 , b1 ]. Suponhamos que não seja limitada em [c1 , b1 ] e
façamos a2 = c1 e b2 = b1 . Não sendo f limitada em [a2 , b2 ], existirá x2 ∈ [a2 , b2 ] tal que | f (x2 ) |> 2.
Prosseguindo com este raciocínio, construíremos uma sequência de intervalos
[a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ [a3 , b3 ] ⊃ ... ⊃ [an , bn ] ⊃ ...
satisfazendo as condições da propriedade dos intervalos encaixantes e tal que, para todo natural
n > 0, existe xn ∈ [an , bn ] com
| f (xn ) |> n.
(2.1)
segue de 2.1 que lim | f (xn ) |= +∞. Pelo príncipio dos intervalos encaixado 1.2.1, existe c tal que,
n→+∞
para todo n > 0,
c ∈ [an , bn ].
Como a sequência xn converge para c e f é contínua em c, resulta que lim | f (xn ) |=| f (c) | que
n→+∞
está em contradição com lim | f (xn ) |= +∞. Fica provado que a suposição de f não ser limitada
n→+∞
em [a, b] nos leva a uma contradição. Portanto, f é limitada em [a, b].
Teorema 2.2.3 (Weierstrass). Se f for contínua em [a, b], então existirão x1 e x2 em [a, b] tais que
f (x1 ) ≤ f (x) ≤ f (x2 ) para todo x em [a, b].
Dem. Sendo f contínua em [a, b], f será limitada em [a, b], daí o conjunto
A = {f (x) p x ∈ [a, b]}.
admitirá supremo e ínfimo. Sejam
M = sup{f (x) p x ∈ [a, b]}.
e
m = inf {f (x) p x ∈ [a, b]}.
Assim, para todo x em [a, b], m ≤ f (x) ≤ M .
Provaremos, a seguir, que M = f (x2 ) para algum x2 em [a, b]. Se tivéssemos f (x) < M para todo x
em [a, b], a função
g(x) =
1
, x ∈ [a, b].
M − f (x)
2.2. Teorema do Valor Médio Generalizado (ou de Cauchy)
21
Figura 2.1: Teorema de Weierstrass
(segue observação), pelos Teoremas 2.1.3 e 2.1.5 seria contínua em [a, b], mas não limitada em [a, b], que
é uma contradição (se g fosse limitada em [a, b], então existiria β > 0 tal que para todo x em [a, b]
0<
1
< β.
M − f (x)
e, portanto, para todo x em [a, b],
f (x) < M −
1
.
β
e assim M não seria supremo de A).
Segue que f (x) < M para todo x em [a, b] não pode ocorrer, logo devemos ter M = f (x2 ) para algum
x2 em [a, b]. De modo análogo, conclui-se que f (x1 ) = m para algum x1 , em [a, b].
O Teorema acima, afirma que qualquer função contínua de um intervalo [a, b] em R é limitada
e que, além disso, tem um máximo e um mínimo nesse intervalo.
Observação 2.2.4. O argumento utilizado na construção de g, foi que, sendo M o supremo dos f (x),
por menor que seja ε > 0, existirá x tal que M − ε < f (x) < M , assim, a diferença M − f (x) poderá
se tornar tão pequena quanto se queira e, portanto, g(x) poderá ser tornar tão grande quando quanto
se queira.
Teorema 2.2.5 (Rolle). Se f for contínua em [a, b], derivável em (a, b) e f (a) = f (b), então existe pelo
menos um c em (a, b) tal que f 0 (c) = 0.
Dem. Analisemos duas alternativas:
2.2. Teorema do Valor Médio Generalizado (ou de Cauchy)
22
Figura 2.2: Teorema de Rolle
• Se f for constante em [a, b], então f 0 (x) = 0 para todo x ∈ (a, b), logo existe c ∈ (a, b) tal que
f 0 (c) = 0.
• Se f não for constante em [a, b]. Como f é contínua no intervalo fechado [a, b], pelo teorema
anterior 2.2.3, existem x1 e x2 em [a, b] tais que f (x1 ) e f (x2 ) são, respectivamente os valores
máximo e mínimo de f em [a, b]. Como f (x1 ) 6= f (x2 ) , segue x1 ou x2 pertencem a (a, b), daí4
f 0 (x1 ) = 0 ou f 0 (x2 ) = 0. Portanto, existe c em (a, b) tal que f 0 (c) = 0.
Se a função y = f (t), contínua é a posição de um objeto em movimento retilíneo uniforme, então
a derivada, f 0 (t), da função f representa a velocidade desse objeto. Se o objeto estiver no mesmo lugar
em 2 instantes diferentes, então pelo Teorema de Rolle 2.2.5 existirá um tempo no qual a velocidade é
nula. Em outras palavras, se partirmos e chegarmos ao mesmo ponto com uma velocidade não constante,
em algum momento da trajetória, a reta tangente não possuirá inclinação, sendo assim paralela ao eixo x
(momento de velocidade nula).
Teorema 2.2.6 (Teorema do Valor Médio Generalizado). Se f e g forem contínuas em [a, b] e deriváveis
em (a, b), então existirá pelo menos um c em (a, b) tal que
f (b) − f (a)
f 0 (c)
= 0 , se g(b) 6= g(a) e g 0 (c) 6= 0.
g(b) − g(a)
g (c)
4
Se f (x) for definida para todos os valores de x no intervalo aberto (a, b) e se f tiver um máximo ou mínimo
relativo c, onde a < c < b,então f 0 (c) = 0, se f 0 (c) existir.
2.2. Teorema do Valor Médio Generalizado (ou de Cauchy)
23
Dem. Seja h(x) = [f (b) − f (a)]g(x) − [g(b) − g(a)]f (x), x ∈ [a, b],pelos Teoremas 2.1.3, ?? e 2.1.4,
h é contínua em [a,b] e derivável em (a,b). Além disso,
h(a) = h(b),
pois
h(a) = [f (b) − f (a)]g(a) − [g(b) − g(a)]f (a).
h(a) = f (b)g(a) − f (a)g(a) − f (a)g(b) + f (a)g(a).
h(a) = f (b)g(a) − f (a)g(b).
e
h(b) = [f (b) − f (a)]g(b) − [g(b) − g(a)]f (b).
h(b) = f (b)g(b) − f (a)g(b) − f (b)g(b) + f (b)g(a).
h(b) = f (b)g(a) − f (a)g(b).
Assim sendo,
h(a) = h(b).
Pelo Teorema de Rolle 2.2.5, existe c em (a, b) tal que h0 (c) = 0, daí
[f (b) − f (a)]g 0 (c) − [g(b) − g(a)]f 0 (c) = 0.
ou seja,
[f (b) − f (a)]g 0 (c) = [g(b) − g(a)]f 0 (c)
f (b) − f (a)
f 0 (c)
= 0 .
g(b) − g(a)
g (c)
Teorema 2.2.7 (Valor Médio). Se f é uma função contínua em [a, b] e derivável em (a, b), então existe
um ponto c em (a, b), tal que
f (b) − f (a) = f 0 (c)(b − a).
Dem. Tomemos a função identidade g(x) = x, note que
• g 0 (x) = 1 ∀ x ∈ (a, b)
• g(a) = a
• g(b) = b
(2.2)
2.2. Teorema do Valor Médio Generalizado (ou de Cauchy)
24
Como g 0 (x) = 1, particularmente para c, segue que g 0 (c) = 1, substituindo tais informações na equação
2.2.6, temos que de
f (b) − f (a)
f 0 (c)
= 0 ,
g(b) − g(a)
g (c)
obtemos
f 0 (c)
f (b) − f (a)
=
,
b−a
1
organizando os termos
f (b) − f (a) = f 0 (c)(b − a)
Geometricamente,o teorema do valor médio diz que se f é uma função suave que liga os pontos
A = (a, f (a)) e B = (b, f (b)), existe um ponto c entre a e b tal que, a reta tangente ao gráfico de f em
c é paralela á reta secante que passa por A e por B.
Observe que a fórmula 2.2 é válida com a e b substituídos por dois números quaisquer x1 e x2
do intervalo [a, b], não importa qual desses dois números é o menor, isto é,
f (x1 ) − f (x2 ) = f 0 (c)(x1 − x2 ),
onde c é um número conveniente entre x1 e x2 .
Figura 2.3: Teorema do Valor Médio
(2.3)
2.3. Aplicações
2.3
2.3.1
25
Aplicações
Regra de L’Hospital
Primeira Regra
Sejam f e g deriváveis em (p − r, p) e em (p, p + r), (r > 0), com g 0 (x) 6= 0 para 0 <| x − p |< r.
f (x)
f 0 (x)
Nestas condições, se lim f (x) = 0, lim g(x) = 0 e lim 0
existir (finito ou infinito) então lim
x→p
x→p
x→p g (x)
x→p g(x)
f 0 (x) 5
f (x)
= lim 0
também existirá e lim
x→p g (x)
x→p g(x)
Dem. Suponhamos f e g contínuas em p, assim:
lim f (x) = 0 ⇒ f (p) = 0,
x→p
bem como
lim g(x) = 0 ⇒ g(p) = 0.
x→p
Observamos que,
g(x) 6= 0, ∀x ∈ (p − r, p + r), x 6= p.
Suponhamos g(x) = 0 para algum x ∈ (p − r, p + r), x 6= p, e como
g(x) = 0 ⇒ g(p) = 0,
mas g(x) é conínua em p. Como g(x) é derivável em (p − r, p + r) exceto em p, g(x) é contínua em
(p − r, p + r). Segundo o Teorema de Rolle existe x entre x e p, tal que g 0 (x) = 0, contradição.
Vamos provar agora que
lim
x→p+
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
.
g(x) x→p+ g (x)
Seja x ∈ (p, p + r), de f (p) = 0 e g(p) = 0 segue que
f (x)
f (x) − f (p)
=
.
g(x)
g(x) − g(p)
Sendo f (x) e g(x) contínuas em [p, x], deriváveis em (p, x), com g 0 (x) 6= 0, x ∈ (p, x) pelo Teorema de
Cauchy, existe c entre p e x, tal que
f (x) − f (p)
f 0 (c)
= 0 .
g(x) − g(p)
g (c)
f (x)
f 0 (c)
= 0 .
g(x)
g (c)
5
Segundo Guidorizzi,[?]
(2.4)
2.3. Aplicações
Suponhamos que lim
x→p+
26
f 0 (x)
= L, L ∈ R. Assim dado ε > 0, existe δ > 0, com δ < ε, tal que
g 0 (x)
p < x < p + δ ⇒|
f 0 (x)
− L |< ε.
g 0 (x)
p < x < p + δ ⇒|
f 0 (c)
− L |< ε
g 0 (c)
(2.5)
De 2.4 e 2.5 segue que
p < x < p + δ ⇒|
f (x)
f 0 (c)
− L |=| 0
− L |< ε
g(x)
g (c)
logo
lim
x→p+
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
.
g(x) x→p+ g (x)
Observação 
2.3.1. Se f e g não forem contínuas em p, consideremos as funções
 f (x) se x 6= p
F (x) =
 0 se x = p

 g(x) se x 6= p
G(x) =
 0 se x = p
que são contínuas em p e para algum c entre p e x pelo Teorema de Cauchy
f (x)
F (x) − F (p)
F 0 (c)
f 0 (c)
=
= 0
= 0
g(x)
G(x) − G(p)
G (c)
g (c)
2.3.2
Aplicações em física
Exemplo 2.3.2. O Teorema do Valor Médio é a tradução matemática para um fato que aparece de forma
corriqueira em muitas situações de nossa vida. Por exemplo, se a média de velocidade em uma viagem de
carro de uma cidade a outra é de 80km/h, então em algum momento da viagem o velocímetro do carro
deve ter marcado 80km/h. Vamos traduzir tal afirmação em termos matemáticos. Seja s(t) a posição do
carro, em cada instante de tempo t. Se a viagem começa em t = a (horas) e termina em t = b (horas) a
velocidade média é dada por
vm =
s(b) − s(a)
.
b−a
A afirmação de que, em algum momento da viagem, a velocidade instantânea deve ser igual a
velocidade média significa que para algum instante de tempo c entre a e b têm-se
vm =
s(b) − s(a)
= vc = s0 (c).
b−a
O Teorema do Valor Médio estabelece as condições mínimas que uma função s deve satisfazer para
que a igualdade acima seja verdadeira.
2.3. Aplicações
27
Exemplo 2.3.3. Vejamos uma aplicação do Teorema do Valor Médio:
Dois corredores iniciaram uma corrida no mesmo instante e terminaram empatados. Prove que em algum
instante eles têm a mesma velocidade.
Solução: Consideremos inicialmente que tais corredores gastaram um tempo T para terminar a corrida,
daí sejam S1 e S2 , definidas no intervalo [0, T ].
Figura 2.4: Reresentação do exemplo
É bastante razoável do ponto de vista físico que tais funções serão deriváveis satisfazendo S1 (0) =
S2 (0) (pois os corredores partem da mesma posição inicial) e
S1 (T ) = S2 (T )
(pois os mesmos terminam a corrida empatados). Com base em tais funções, consideremos a função
F : [0, T ] → R definida por
F (t) = S1 (t) − S2 (t).
Note que a função F também é derivável e a mesma satisfaz que F (0) = F (T ) = 0. Utilizando o
Teorema do Valor Médio A.0.7, temos que deve existir um tempo t ∈ (0, T ) satisfazendo
F 0 (t) =
F (T ) − F (0)
= 0.
T −0
Usando a definição de F temos que
S1 (t) − S2 (t) = 0
e lembrando-se que a derivada da posição é a velocidade, seque que no tempo t, vale
V1 (t) = V2 (t)
onde V1 e V2 são as respectivas velocidades, concluindo assim nosso capítulo.
Considerações Finais
O trabalho aqui apresentado tinha por objetivo principal fazer a generalização do Teorema do Valor
Médio e a generalização do princípio dos Intervalos Encaixados. De acordo com as observações feitas,
pudemos concluir que o mesmo pode ser utilizado como auxílio ao se cursar a disciplina de Análise
Real, principalmente no que diz respeito a noções topológicas, pois conta com exemplos numéricos,
algo pouco comum em livros.
A metodologia utilizada na elaboração do mesmo, foi adequada, pois o trabalho só seria possível
através da revisão de literatura, porém mesmo assim, não se obteve muitos regristos acerca do contexto
histórico que cerceiam a descoberta do Teorema do Valor Médio e do princíio dos Intervalos Encaixados.
O Teorema do Valor Médio e o princípio dos Intervalos Encaixados são considerados de difícil
entendimento, uma maneira de sanar tal deficiência seria a sequência de conteúdos que o trabalho propõe,
partindo da base topológica até a generalização do princípio, e em seguida de teoremas que necessitam
dos resultados provenientes do princípio ao Teorema do Valor Médio, bem como o Teorema do Valor
Médio Generalizado.
Notamos que o Teorema do Valor Médio e o Princípio dos Intervalos Encaixados se tratam
apenas de casos particulares de resultados mais amplos (do Teorema do Valor Médio Generalizado e
da generalização do Princípio dos Intervalos Encaixados respectivamente), envolvendo conceitos mais
gerais do Cálculo e da Análise Real.
Uma das sugestões para que se continue os estudos acerca de tal assunto é o artigo de Acker
[1], no qual se demonstra o Teorema do Valor Médio diretamente a partir do Princípio dos Intervalos
Encaixados, porém é necessário salientar que tal artigo envolve conteúdos que não foram abordados ao
longo deste trabalho, todavia, trata-se de um novo método bastante válido.
28
Referências Bibliográficas
[1] ACKER, Felipe. Um Teorema bem conhecido. Rio de Janeiro, UFRJ. Revista Matemática Universitária n 37 pp.1-8, 2004.
[2] GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo,Vol.1. Editora McGraw-Hill, 2007.
[3] LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica, Vol.1. Editora Harbra, 3a Edição, 1994.
[4] LIMA, Elon Lages. Análise Real,Vol.1. Rio de Janeiro, IMPA. Coleção Matemática Universitária,
1999.
[5] LIMA, Elon Lages. Curso de Análise,Vol.2. Rio de Janeiro, IMPA. Projeto Euclides, 1989.
[6] STEWART, James. Cálculo,Vol.1. Editora Thomson, 5a Edição, 2006.
29
Apêndice A
Apêndice
Definição A.0.4 (Ínfimo). Se X ⊂ R é um conjunto não-vazio, limitado inferiormente, um número real
a chama-se ínfimo do conjunto X, e escreve-se a = inf X, quando é a maior das cotas inferiores de X.
Isto equivale ás afirmações:
• para todo x ∈ X, tem-se a ≤ x;
• Se c ≤ x para todo x ∈ X então c ≤ a.
• ∀ε > 0, existe um x ∈ X tal que c ≤ x < c + ε.
Definição A.0.5 (Supremo). Seja X ⊂ R limitado superiormente e não-vazio. Um número b ∈ R
chama-se supremo do conjunto X quando é a menor das cotas superiores de X. Mais explicitamente, b
é o supremo de X quando cumpre as duas condições:
• Para todo x ∈ X, tem-se x ≤ b;
• Se c ∈ R é tal que x ≤ c para todo x ∈ X então b ≤ c
• ∀ε > 0, existe um x ∈ X tal que b − ε < x ≤ b
Teorema A.0.6 (Intervalos encaixados). Dada uma sequência decrescente
I1 ⊃ I2 ⊃ I3 ⊃ ... ⊃ In ⊃ ...
de intervalos limitados e fechados In = [an , bn ], existe pelo menos um número real c tal que c ∈ In para
todo n ∈ N.
Dem. As inclusões In ⊃ In+1 significam que
a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... ≤ an ≤ ... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 .
30
31
O conjunto A = {a1 , a2 , a3 , ..., an , ...} é, portanto, limitado superiormente. Seja c = sup A. Evidentemente, an ≤ c para todo n ∈ N. Além disso, cada bn é cota superior de A, temos c ≤ bn para todo
n ∈ N. Portanto c ∈ In para qualquer que seja n ∈ N.
Teorema A.0.7. [Valor Médio] Se f é uma função contínua em [a, b] e derivável em (a, b), então existe
um ponto c em (a, b), tal que
f (b) − f (a) = f 0 (c)(b − a).
Dem. Consideremos a função
F (x) = f (x) − f (a) −
f (b) − f (a)
(x − a).
b−a
Repare que F se anula em x = a e x = b.
Aplicando a esta função F o Teorema de Rolle 2.2.5, obteremos
f (b) − f (a)
= f 0 (c).
b−a
(A.1)
Índice Remissivo
Ãnfimo, 29
conjunto
aberto, 4
fechado, 7
conjunto compacto, 10
conjunto discreto, 9
fecho, 5
função contínua, 15
função descontínua, 16
ponto aderente, 5
ponto de acumulação, 9
ponto interior, 4
ponto isolado, 9
Regras de L’Hospital, 23
supremo, 29
teorema da Limitação, 18
teorema de Cauchy, 21
teorema de Rolle, 20
teorema de Weierstrass, 18
teorema do Anulamento, 13
teorema do Valor Intermediário, 14
vizinhança, 4
32