FAMAT em Revista - Número 12 - Abril de 2009
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Continuidade e Compacidade no Rn
Giselle Moraes Resende Pereira∗ , Luciana Yoshie Tsuchiya∗
e Geraldo Márcio de Azevedo Botelho†
Abril de 2009
1
Introdução
A topologia emergiu no século vinte como um tema que unifica grande parte da matemática,
de certa forma como a filosofia procura coordenar todo o conhecimento. É um ramo da
matemática no qual são estudadas, com grande generalidade, as noções de limite, de continuidade, de proximidade e as idéias relacionadas.
Para que se tenha sentido determinar o limite ou indagar sobre a continuidade de uma
função, o domı́nio e o contradomı́nio da mesma devem possuir certo tipo de estrutura que
permita de alguma forma expressar a noção de proximidade. É esse tipo de estrutura que
torna um conjunto um espaço topológico. Em outras palavras, espaços topológicos são
conjuntos equipados com estruturas tais que entre eles tem sentido falar em proximidade,
e portanto faz sentido falar em limites de sequências e limites e continuidade de funções.
Com a noção de distância induzida pelo valor absoluto, o corpo ordenado completo
dos números reais é o espaço topológico mais frequentemente usado e por isso é utilizado
como modelo para ambientes mais gerais. No contexto da reta introduz-se os conceitos
topológicos básicos: ponto interior, conjunto aberto, ponto de aderência, ponto de acumulação, conjunto fechado, sequência convergente, função contı́nua, conjunto compacto,
etc. O próximo passo é considerar os espaços euclidianos Rn com n ∈ N. O objetivo
deste trabalho é explorar a topologia dos espaços Rn e mostrar, em particular, que nesse
contexto os conceitos de função contı́nua e de conjunto compacto gozam das mesmas
equivalências que são tão úteis no caso da reta. Essas equivalências, além de conferirem
flexibilidade aos respectivos conceitos e de servirem para provar diversos resultados importantes, abrem a porta para a generalização desses conceitos no âmbito de espaços
topológicos, onde nem sempre a noção de distância se encontra disponı́vel.
∗
†
Alunas do PET-FAMAT
Orientador
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Topologia no Rn
2
Definição 2.1 Seja n ∈ N. O espaço euclidiano n-dimensional Rn é o produto cartesiano
(n)
de n fatores iguais a R : Rn = R× · · · ×R.
Então todo elemento x ∈ Rn é da forma x = (x1 , . . . , xn ), onde para cada i = 1, . . . , n
o número xi ∈ R é chamado de i-ésima coordenada de x.
Se x = (x1 , . . . , xn ) e y = (y1 , . . . , yn ) temos x = y se e somente se x1 = y1 , . . . , xn = yn .
Exemplo 2.2 R1 = R é o corpo ordenado completo dos números reais.
Exemplo 2.3 R2 é o plano.
Exemplo 2.4 R3 é o espaço euclidiano tridimensional.
Chamaremos x ∈ Rn de ponto ou vetor x.
Para os vetores x = (x1 , . . . , xn ) e y = (y1 , . . . , yn ) e α ∈ R, o conjunto Rn se torna
um espaço vetorial real com as operações
x + y = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ) e α · x = (αx1 , . . . , αxn ).
p
Se x = (x1 , ..., xn ) então, o número não-negativo kxk = x21 + . . . + x2n chama-se a
norma euclidiana (ou comprimento) do vetor x.
2.1
Propriedades da norma
1- kxk > 0 para todo x ∈ Rn e kxk = 0 ⇐⇒ x = 0 = (0, . . . , 0);
2- kαxk = |α| kxk para todos x ∈ Rn e α ∈ R;
3- kx + yk ≤ kxk + kyk para todos x, y ∈ Rn (desigualdade triangular).
2.2
Bolas
Definição 2.5 (i) A bola aberta de centro a ∈ Rn e raio r > 0 é o conjunto
B(a; r) = {x ∈ Rn : kx − ak < r}.
(ii) A bola fechada de centro a ∈ Rn e raio r > 0 é o conjunto
B[a; r] = {x ∈ Rn : kx − ak 6 r}.
(iii) A esfera de centro a ∈ Rn e raio r > 0 é o conjunto
S[a; r] = {x ∈ Rn : kx − ak = r}.
Note que B[a; r] = B(a; r) ∪ S[a; r].
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2.3
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Conjuntos limitados
Definição 2.6 (i) Dizemos que um conjunto X ⊂ Rn é limitado quando existe k > 0 tal
que X está contido na bola B[0; k], ou seja kxk 6 k para todo x ∈ X.
(ii) Uma aplicação f : X −→ Rn diz-se limitada no conjunto X ⊂ Rn quando f (X) ⊂ Rn
é um conjunto limitado, isto é, quando existe c > 0 tal que kf (x)k 6 c para todo x ∈ X.
2.4
Conjuntos abertos
Definição 2.7 (i) Seja a ∈ X ⊂ Rn . Dizemos que o ponto a é interior ao conjunto
X quando para algum r > 0 tem-se B(a; r) ⊂ X. Isso siginifica que todos os pontos
suficientementes próximos de a também pertencem a X.
(ii) O conjunto int X de todos os pontos interiores a X chama-se interior do conjunto
X. Quando a ∈ intX, dizemos que X é uma vizinhança de a.
(iii) Um conjunto A ⊂ Rn chama-se aberto quando todos os seus pontos são pontos
interiores, isto é quando A = intA.
Exemplo 2.8 Toda bola aberta B = B(a; r) é um conjunto aberto.
De fato: para todo x ∈ B temos que kx − ak < r. Temos que mostrar que existe um
s > 0 tal que B(x; s) ⊂ B.
Escolhendo s = r − kx − ak > 0, vejamos que B(x; s) ⊂ B.
De fato, para todo y ∈ B(x; s) temos que
ky − xk < s = r − kx − ak =⇒
ky − xk + kx − ak < s = r − kx − ak + kx − ak =⇒
k(y − x) + (x − a)k + ≤ ky − xk + kx − ak < r =⇒
ky − ak < r.
Disso segue que y ∈ B(a; r), donde concluı́mos que B(x; s) ⊂ B.
Teorema 2.9 (a) O Rn e o conjunto vazio são abertos.
(b) Se A1, A2 , . . . , An são abertos em Rn , então a intersecção A = A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An é um
conjunto aberto.
(c) Se (Aλ )λ∈L é uma famı́lia arbitrária de conjuntos abertos Aλ ⊂ Rn , então a união
S
A=
Aλ é um conjunto aberto.
λ∈L
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Demonstração.
(a) É imediato que o Rn é aberto. Que o vazio é aberto decorre do fato de que um
conjunto só pode deixar de ser aberto se existir nele algum ponto que não seja interior.
Como não existe ponto algum em ∅, concluı́mos que ele é aberto.
(b) Seja a ∈ A1 ∩ A2 . Então a ∈ A1 e a ∈ A2 . Como A1 e A2 são abertos, existem ε1 > 0
e ε2 > 0 tais que B(a; ε1 ) ⊂ A1 e B(a; ε2 ) ⊂ A2 . Seja ε = mı́n{ε1 , ε2 }. Segue então que
B(a; ε) ⊂ A1 e B(a; ε) ⊂ A2 , logo B(a; ε) ⊂ A1 ∩ A2 . Assim, todo ponto a ∈ A1 ∩ A2 é
interior. Portanto o conjunto A1 ∩ A2 é um conjunto aberto.
Agora seja A = A1 ∩ · · · ∩ Ak , onde Ak ⊂ Rn é aberto para k = 1, . . . , n. Do que vimos
logo acima segue que A é um conjunto aberto. Basta fazermos (A1 ∩ A2 ) ∩ A3 e assim
sucessivamente, obtemos que interseções finitas de conjuntos abertos são abertos.
S
(c) Seja x ∈ A = λ∈L Aλ . Então existe um λ ∈ L tal que x ∈ Aλ . Como Aλ é aberto,
existe um ε > 0 tal quer B(x; ε) ⊂ Aλ ⊂ A. Logo todo ponto x ∈ A é um ponto interior.
S
Portanto A =
Aλ é aberto.
λ∈L
Observação 2.10 Seja X ⊂ Rn . Dizemos que um subconjunto A ⊂ X é aberto em X
quando cada ponto a ∈ A é centro de uma bola aberta B(a; r) tal que B(a; r) ∩ X ⊂ A.
Ou seja, os pontos de X que estão sufcientemente próximos de cada a ∈ A pertencem a
A. É fácil ver que um conjunto A ⊂ X é aberto em X se e somente se existe um aberto
U em Rn tal que A = U ∩ X.
2.5
Sequências em Rn
Definição 2.11 Uma sequência em Rn é uma função x : N −→ Rn que associa a cada
número natural k um ponto xk ∈ Rn .
Usaremos a notação (xk ) para indicar uma sequência cujo k-ésimo termo é xk .
Para cada i = 1, . . . , n, denotamos por xik a i -ésima coordenada do termo xk , isto é
xk = (x1k , x2k , . . . , xnk ).
Então dar uma sequência em Rn equivale a dar as n sequências de números reais
(x1k ), . . . , (xnk ).
Definição 2.12 (i) A sequência (xk ) é limitada se existe uma bola em Rn que contém
todos os termos xk , ou seja se existe c > 0 tal que kxk k ≤ c para todo k ∈ N.
(ii) Uma subsequência de uma sequência x = (xk ), é a restrição da função x a um
subconjunto infinito N0 = {k1 < k2 < · · · < km < · · · } de N.
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(ii) Dizemos que a é o limite da sequência (xk ) de Rn se para qualquer número real ε > 0,
existe um k0 ∈ N tal que para todo k > k0 temos a condição kxk − ak < ε, ou seja,
xk ∈ B(a; ε) sempre que k > k0 .
Usaremos a seguinte notação:
a = lim xk .
Pode-se também usar a notação: xk → a.
(iv) Dizemos que uma sequência é convergente quando ela possui limite.
1
1
, vista como uma sequência R. Temos que limn→∞ =
Exemplo 2.13 Seja (xn ) =
n
n
1
0, ou seja, (xn ) =
converge para 0. De fato, dado ε > 0, podemos obter n0 ∈ N tal
n
1
1
1
1
que n0 > . Então n > n0 =⇒ <
< ε, ou seja, n > n0 =⇒ − 0 < ε.
ε
n
n0
n
2.6
Conjuntos fechados
Definição 2.14 (i) Dizemos que o ponto a é aderente ao conjunto X ⊂ Rn quando existe
uma sequência de pontos xk ∈ X tais que lim xk = a.
(ii) Chamamos de fecho do conjunto X ⊂ Rn ao conjunto X formado por todos os pontos
aderentes a X. Portanto a ∈ X ⇐⇒ a = lim xk com xk ∈ X.
(iii) Um conjunto F ⊂ Rn é fechado quando F = F, ou seja, quando o limite de toda
sequência convergente de pontos de F é ainda um ponto de F.
Todo ponto x ∈ X é aderente a X pois é limite da sequência constante (x, x, . . .).
Assim X ⊂ X qualquer que seja X ⊂ Rn .
Definição 2.15 Dizemos que a ∈ Rn é ponto de acumulação do conjunto X ⊂ Rn quando
toda bola de centro a contém uma infinidade de pontos de X.
Teorema 2.16 O conjunto F ⊂ Rn é fechado se, e somente se, F c = Rn − F é aberto.
Demonstração. F é fechado
⇐⇒ Todo ponto aderente a F pertence a F
⇐⇒ Se a ∈ Rn − F então a não é aderente a F
⇐⇒ Se a ∈ Rn − F então existe uma bola aberta B centrada em a tal que B ∩ F = ∅
⇐⇒ Se a ∈ Rn − F então existe uma bola aberta B centrada em a tal que B ⊂ Rn − F
⇐⇒ Todo ponto a ∈ Rn − F é interior a Rn − F
⇐⇒ Rn − F = F c é aberto.
30
3
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Continuidade
Definição 3.1 (i) Uma aplicação f : X → Rn , definida no conjunto X ⊂ Rm , associa a
cada ponto x ∈ X sua imagem f (x) = (f1 (x), . . . , fn (x)).
(ii) Uma função f : X −→ Rn diz-se contı́nua no ponto a ∈ X quando para cada ε > 0
pode-se obter um δ > 0 tal que kf (x) − f (a)k < ε sempre que kx − ak < δ e x ∈ X.
Observação 3.2 Equivalentemente, f é contı́nua no ponto a ∈ X se para cada ε > 0
dado, existe um δ > 0 tal que f (B(a; δ) ∩ X) ⊂ B(f (a); ε).
Definição 3.3 Dizemos que f é contı́nua quando é contı́nua em todos os pontos do seu
domı́nio.
Notação. Se A e B são conjuntos arbitrários, f : A −→ B é um função e C ⊂ B,
escrevemos
f −1 (C) = {x ∈ A : f (x) ∈ C}
e dizemos que f −1 (C) é a imagem inversa de C pela função f .
Teorema 3.4 Seja X ⊂ Rm . Uma aplicação f : X −→ Rn é contı́nua se e somente se a
imagem inversa f −1 (A) de todo conjunto aberto A ⊂ Rn for um subcojunto aberto em X.
Demonstração. Suponha que f seja contı́nua e que A ⊂ Rn seja aberto. Devemos
mostrar que f −1 (A) = {x ∈ X : f (x) ∈ A} é aberto em X.
Para isso seja x0 ∈ f −1 (A). Então f (x0 ) ∈ A. Como A é aberto, existe ε > 0 tal que
B(f (x0 ), ε) ⊆ A. Como f é contı́nua em x0, existe δ > 0 tal que kf (x) − f (x0 )k < ε
sempre que kx − x0 k < δ e x ∈ X. Então f (B(x0 , δ) ∩ X) ⊆ B(f (x0 ), ε) ⊆ A e portanto
B(x0 , δ) ∩ X ⊆ f −1 (A). Segue que x0 é ponto interior de f −1 (A). Logo f −1 (A) é aberto
em X.
Reciprocamente, suponha que f −1 (A) = {x ∈ X : f (x) ∈ A} é aberto em Rm para
qualquer A ⊆ Rn aberto. Então para todo aberto A em Rn existe U aberto em Rm tal
f −1 (A) = X ∩ U . Mostremos que f é contı́nua. Sejam a ∈ X um ponto qualquer e ε > 0
dado. Como a bola B(f (a), ε) é um aberto, existe um aberto U em Rm tal que X ∩ U =
f −1 (B(f (a), ε)) . Por hipótese f −1 (B(f (a), ε)) é aberto em X. Como f (a) ∈ B(f (a), ε)
então a ∈ f −1 (B(f (a), ε)) = X ∩ U . Logo a ∈ U , e como U é aberto, existe δ > 0 tal que
B(a, δ) ⊂ U. Disso segue que
f (B(a, δ) ∩ X) ⊆ f (U ∩ X) = f (f −1 (B(f (a), ε))) = B(f (a), ε).
Logo f é contı́nua em a. Como a é arbitrário temos que f é contı́nua.
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Conclusão. Segue do teorema acima que, para definir continuidade, não é imprescindı́vel
a noção de distância. Se soubermos quem são os abertos dos espaços envolvidos, a caracterização acima ensina como definir continuidade. E a coleção de abertos de um espaço
pode ser dada usando-se o Teorema 2.9.
4
Compacidade
Definimos compacidade em Rn da mesma maneira que o fazemos na reta:
Definição 4.1 Um subconjunto K do Rn é dito compacto se K for fechado e limitado.
A compacidade, entre outras utilidades, garante que funções definidas em compactos
apresentam um comportamento mais regular e conveniente. Para demonstrar várias
dessas boas propriedades garantidas pela compacidade, a definição não é suficiente, tornando necessária uma investigação das consequências da compacidade. Duas dessas consequências têm interesse especial, pois, além de flexibilizar a utilização da compacidade,
são também caracterizações desse importante conceito. Descreveremos sob forma de
equivalências essas duas caracterizações.
A primeira caracterização afirma que K é compacto se e somente se toda cobertura
aberta de K admite subcobertura finita. Pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass, toda
sequência em um compacto K admite subsequência convergente em K. A segunda caracterização garante a recı́proca desse resultado, isto é: K é compacto se e somente se toda
sequência em K admite subsequência convergente em K.
Definição 4.2 (i) Seja K um subconjunto do Rn . Uma cobertura aberta de Ké uma
coleção A de conjuntos abertos cuja união contém K.
(ii) Uma subcobertura finita de A, se existir, é uma sub-coleção finita desses conjuntos
que continua contendo A.
9
Exemplo 4.3 Na reta R, os intervalos C1 = 0, 32 , C2 = 31 , 1 e C3 = 12 , 10
con1 3
1 3
stituem uma cobertura C = (C1 , C2 , C3 ) do intervalo 4 , 4 . De fato, 4 , 4 ⊂ C1 ∪C2 ∪C3 =
(0, 1) . Tomando C 0 = {C1 , C3 }, temos que C 0 é uma subcobertura de C, pois ainda vale
1 3
9
, ⊂ C1 ∪ C3 = 0, 10
.
4 4
Teorema 4.4 (Bolzano-Weierstrass) Toda sequência limitada em Rn admite subsequência
convergente.
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Demonstração. Seja (xk ) uma sequência limitada em Rn . As primeiras coordenadas
dos seus termos formam uma sequência limitada (xk1 )k1 ∈N de números reais, a qual, pelo
teorema de Bolzano-Weierstrass na reta, possui uma subsequência convergente. Isto é,
existem um subconjunto infinito N1 ⊂ N e um número real a1 tais que lim x1k1 = a1 .
k1 ∈N1
Por sua vez, a sequência
(x2k2 )k2 ∈N1 ,
formada pelas segundas coordenadas dos vetores
(xk )k∈N1 , é limitada em R e portanto possui subsequência convergente. Assim existem
um subconjunto infinito N2 ⊂ N1 e um número real a2 tais que lim x2k2 = a2 . Repetimos
k2 ∈N2
o procedimento até obtermos n conjuntos infinitos N ⊃ N1 ⊃ · · · ⊃ Nn e números reais
a1 , a2 , . . . , an tais que lim xiki = ai para i = 1, 2, . . . , n. Tomando a = (a1 , a2 , . . . , an )
ki ∈Ni
segue imediatamente que lim xkn = a, o que completa a demonstração do teorema.
kn ∈Nn
Teorema 4.5 (Cantor): Seja K1 ⊃ · · · ⊃ Kk ⊃ · · · uma subsequência decrescente de
compactos não vazios em Rn . Existe pelo menos um ponto a ∈ Rn que pertence a todos
∞
\
os Kk , ou seja,
Kk 6= ∅.
k=1
Demonstração. Para cada k ∈ N escolhamos um ponto xk ∈ Kk . A sequência (xk ) é
portanto limitada, logo possui uma subsequência (xr )r∈N0 que converge para a = lim0 xr .
r∈N
Mostremos que a ∈ Kk para todo k ∈ N. De fato, dado k, temos Kr ⊂ Kk sempre que
r ∈ N0 e r > k. Assim, r ∈ N0 , r > k ⇒ xr ∈ Kk . Segue-se que a = lim0 xr pertence ao
r∈N
conjunto fechado Kk .
Provaremos agora as caracterizações de compacidade citadas acima:
Teorema 4.6 As seguintes afirmações sobre um conjunto K ⊂ Rn são equivalentes:
1- K é compacto.
2- Toda cobertura aberta de K admite subcobertura finita.
3- Todo subconjunto infinito de pontos de K possui um ponto de acumulação pertencente
a K.
4- Toda sequência de pontos (xk ) de K possui uma subsequência que converge para um
ponto de K.
Demonstração. (1) =⇒ (2) (Teorema de Borel Lebesgue) Sabemos por hipótese que
K ⊂ Rn é compacto. Suponhamos, por absurdo, que exista uma cobertura aberta (Aλ )
de K que não admite subcobertura finita.
Como K é limitado, K pode ser escrito como uma união finita de compactos todos eles
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de diâmetro menor que 1. Segue então que pelo menos um deles, o qual chamaremos de
K1 , é tal que K1 ⊂ ∪Aλ e não admite subcobertura finita. Da mesma forma podemos
1
escrever K1 como união finita de compactos todos eles de diâmetro menor que . Segue
S 2
que pelo menos um deles, o qual chamaremos de K2 , é tal que K2 ⊂ K1 ⊂ λ Aλ e não
admite subcobertura finita. Prosseguindo assim, obtemos uma sequência decrescente de
1
compactos K1 ⊃ K2 ⊃ · · · ⊃ Kk ⊃ · · · tal que cada Kk tem diâmetro menor que e tal
k
que nenhum deles está contido numa união finita de conjuntos Aλ .
∞
\
Em particular, todos os Kk são não vazios. Pelo teorema de Cantor, existe a ∈
Kk .
k=1
1
)
k
⊂ Aλ para algum k.
1
Como a ∈ Kk e o diâmetro de Kk é menor que , concluimos que Kk ⊂ B(a, k1 ), donde
k
Kk ⊂ Aλ . Mas isso é uma contradição, pois nenhum Kk admite subcobertura finita. Logo
toda subcobertura aberta de K admite subcobertura finita.
Para algum λ, tem-se B(a,
(2) =⇒ (3) Seja X ⊆ K um subconjunto de K sem pontos de acumulação em K. Então
para todo x ∈ K, x não é ponto de acumulação de X. Portanto para cada x ∈ X existe
[
Ax = B(x, δx ), δx > 0, tal que B(x, δ) ∩ X = {x} ou ∅. É claro que K ⊆
B(x, δx ),
x∈X
logo por (2) podemos extrair uma subcobertura finita, isto é, existem x1 , x2 , . . . , xk ∈ K
tais que K ⊆ Ax1 ∪ Ax2 ∪ · · · ∪ Axk . Em particular, essa subcobertura cobre X. Assim,
X = (X ∩ Ax1 ) ∪ (X ∩ Ax2 ) ∪ · · · ∪ (X ∩ Axk ).
Logo X = ∅ ou X possui no máximo k elementos, e portanto X é finito. Logo subconjuntos infinitos de K possuem pontos de acumulação.
(3) =⇒ (4) Seja (xk ) uma sequência em K. Existem duas possibilidades para o conjunto X = {x1 , . . . , xk , . . .}: X é finito ou infinito.
Suponhamos primeiramente que X é finito. Então existe pelo menos um xk que se repete
uma infinidade de vezes, logo temos uma subsequência constante e portanto convergente.
Suponhamos agora que X é infinito. Por (3) existe a ∈ K ponto de acumulação de X.
Então para todo δ > 0 a bola B(a, δ) contém uma infinidade de pontos de X. Portanto
contém termos xk com ı́ndices arbitrariamente grandes. Podemos então formar uma subsequência (xk )k∈N0 que converge para a ∈ K. Logo toda sequência de pontos de K possui
uma subsequência que converge para um ponto de K.
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(4) =⇒ (1) Valendo (4) segue que K é limitado, pois do contrário existiria para cada
k ∈ N um ponto xk ∈ K tal que kxk k > k. Daı́ a sequência (xk ) assim obtida não
possuiria subsequência limitada, logo nenhuma das suas subsequências seria convergente.
Além disso, K é fechado pois se a = lim xk com xk ∈ K para todo k ∈ N, então por (4),
uma subsequência de (xk ) convirgiria para um ponto de K. Mas toda subsequência de
(xk ) converge para a. Logo a ∈ K.
Conclusão. Temos do teorema acima que a condição de ser fechado e limitado é equivalente a todas as outras condições que se deseja para um conjunto compacto. Como ser
fechado e limitado é, dentre todas elas, a mais fácil de ser verificada caso a caso, justificase assim a definição de compacto por essa propriedade. Além disso, o conceito de limitado
exige a presença da noção distância, ou seja, em ambientes mais gerais pode não fazer
sentido falar em conjunto limitado. Assim as caracterizações acima servem de alternativas
para a definição de conjunto compacto.
Referência Bibliográficas
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Curso de Análise. vol. 1 12th ed. IMPA, Rio de Janeiro, 2000
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