Exercı́cios de Cálculo p. Informática, 2006-07
9
1
Integrais e Primitivas.
Ex 9-1 Determine a primitiva F da função f que satisfaz a condição indicada, em
cada um dos casos seguintes:
a)
f (x) = sin 2x,
F (π) = 3.
b)
f (x) = x3 + x2 + 2x − 1, F (0) = 3.
c)
√
f (x) = 3 x + 3 + 1,
d)
f (x) =
F (−1) = 3.
1
,
x
F (2) = 3.
Ex 9-2 Primitive as funções seguintes, indicando um intervalo onde essa primitivação seja válida:
√
p
√
3x + x3
b) 3 sin x + 2x3
c) (1 + x)2
a)
d)
x2
1 + x3
e)
3x+1
f)
x e−x
g)
ex sin ex
h)
sin x
(1 + cos x)2
i)
√
k)
x
1 + x4
l)
√
x 1 + x2
n)
√
q)
tan x
t)
2 x2
1 + x4
earctg x
1 + x2
√
3
log x
m)
x
j)
p)
1
2 + 3x2
s)
√
v)
ex
1 − e2x
3
4
sin x cos x
w)
1
1 − 4x2
x3
1 + x4
2
sin 2x
1 + sin2 x
x
1 − 2x4
o)
√
r)
log x3
x
u)
x3
x+1
x)
ex
x2
1
Exercı́cios de Cálculo p. Informática, 2006-07
y)
1
x log x
z)
2
ax ex
Ex 9-3 Utilize o método de primitivação por partes, ou outro, para primitivar as
seguintes funções, indicando os respectivos intervalos de primitivação:
a) x cos x
d) ex sin x
g) x arctg x
j) arctg x
b)
e)
h)
k)
x2 cos x
x2 ex
log x
arcsin x
c)
f)
i)
Ex 9-4 Primitive as funções indicadas
√
1
a) cos( 2x)
b)
(x + 3)3
xex
x log x
log(2x + 3)
c)
arcsin x
d)
sin xecos x
e)
1
√
(1 + x) x
f)
g)
sec3 x
h)
2+x
2x2 + 2x + 3
i)
x3 ex
j)
x2
x2 + x − 6
k)
√
l)
√
1
3x − x2 − 2
x2
1
−x+2
2
1
4x + x2
m)
1
12 + 13 cos x
n)
sin3 2t cos3 2t
o)
√
arctan x
p)
sin x
1 + cos2 x
q)
x
√
5− x
r)
sec5 x
s)
x2 − 3x − 7
(2x + 3)(x + 1)2
t)
√
u)
1
sin x − cos x + 2
v)
√ sin x
5−cos2 x
w)
x)
(tan x + sec x)2 (sec2 x + sec x tan x)
1
xx1/3 (1
ex
7 + e2x
+
x1/3 )2
Exercı́cios de Cálculo p. Informática, 2006-07
3
Ex 9-5 Primitive as seguintes funções, indicando um intervalo onde esta primitivação seja válida;
a)
x2 + 1
(x − 1)2
b)
x5
x2 − 1
c)
x
(x + 1)(x + 2)
d)
x
x2 + 2x + 3
e)
1
x4 − 1
f)
2x − 3
x2 + 1
Ex 9-6 Use o método de mudança de variável, ou outro, para primitivar as funções
seguintes, em intervalos a determinar:
√
√
x
sin x
√
a) x 1 + x
b) √
c)
x
2 − 3x
d)
g)
x5
√
1 − x6
cos2
sin x
x + cos x
j)
1
x x2 − 1
m)
√
p)
√
x2
√
1
4 − x2
x2
1 − x2
r
e)
5+x
5−x
f)
√
h)
1
x 1 + x2
i)
√
x
1 − x2
k)
x
√
x− 1+x
l)
√
1
√
x+ 3x
n)
x sin (x2 )
o)
e2x + 2e3x
1 − ex
q)
1
sin x + cos x
√
1
ex − 1
Sugestões para as substituições a efectuar:
√
1+x
a)
u=
d)
imediata
b)
u=
e)
u=
√
2 − 3x
q
5+x
5−x
c)
u=
f)
u=
√
√
x
ex − 1
Exercı́cios de Cálculo p. Informática, 2006-07
4
g)
u = cos x
h)
x = tan u, (sinh u)
j)
x = sec u, (cosh u)
k)
u=
√
1+x
m)
x = 2 sin u
n)
imediata
p)
x = sin u
q)
u = tan(x/2)
i)
imediata
l)
u=
o)
u = ex
√
6
x
Ex 9-7 Determine as expressões u(x) e v(x) de modo a tornar correcta a seguinte
fórmula de primitivação por partes
Z
Z
0
u(x) f (x) dx = v(x) f (x) + 4 x3 f (x) dx .
Ex 9-8 Para cada uma das seguintes funções f : I → R determine as somas
superiores e inferiores de Darboux relativas à decomposição P = {−1, − 34 , − 14 , 14 , 12 }
do intervalo [−1, 12 ].
(a) f (x) = x2 .
(b) f (x) = 2x + 1.
Z
1
2
Ex 9-9 Estime por excesso e por defeito
f (x) dx onde f (x) denota cada uma
−1
das funções definidas no exercı́cio anterior.
Ex 9-10 Seja f (x) = x onde x ∈ [0, b] e P = {x0 , x1 , · · · , xn } uma partição do
intervalo [0, b] de R, em intervalos de comprimento igual.
Prove que
n
X
n(n + 1)
k=
.
2
k=1
(a) Determine as somas superiores e inferiores de Darboux.
Z b
(b) Use a sua resposta à alı́nea anterior para determinar
f (x) dx.
0
Exercı́cios de Cálculo p. Informática, 2006-07
5
Ex 9-11 Seja f (x) = x2 onde x ∈ R.
(a) Usando uma partição do intervaloZ[0, 1] em seis intervalos de igual comprimento,
1
estime por excesso e por defeito,
f (x) dx.
0
(b) Estabeleça a seguinte igualdade
n
X
k=1
k2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6
Z
(c) Usando a definição de integral de Riemann, calcule
1
f (x) dx.
0
Ex 9-12 Considere a função f (x) = sin x.
Z 0
Z π/2
Z
(a) Calcule os integrais
f (x) dx,
f (x) dx,
−π/2
0
π
Z
π
f (x) dx, e
π/2
f (x) dx
−π/2
e interprete o resultado em termos de áreas.
(b) Calcule a área da região limitada pelo gráfico de f e o eixo dos xx, para x ∈
[−π/2, π].
Ex 9-13 Na figura seguinte estão representados os gráficos das funções diferenciaveis
f (x), 2f (x) e −f (x) que têm zeros nos pontos a, b e c.
y
2
1
a
b
c
x
-1
-2
Determine valores de α e β de modo que
Z b
Z c
área total sombreada = α
f (x) dx + β
f (x) dx .
a
b
Ex 9-14 Determine o valor de cada um dos três integrais da função em baixo.
Exercı́cios de Cálculo p. Informática, 2006-07
Z
(a)
3
Z
f (x) dx
2
(b)
2
6
Z
f (x) dx
(c)
0
1
f (x) dx
3
Ex 9-15 Determine a função u(x) de modo a tornar correcta a seguinte aplicação
da regra de integração por substituição:
Z
Z 3
1 8
f (u(x)) du .
f (t) dt =
3 5
2
Ex 9-16 Calcule a derivada das seguintes funções, definidas em R ou em ]0, +∞[;
Z x
Z x3
1
a) F (x) =
dt
b) F (x) =
et dt
1 t
0
Z
c)
0
F (x) =
Z
sin t dt
d)
F (x) =
x2
Z
e)
x3
log t dt
x2
x
F (x) =
cos (t2 ) dt
1/x
Ex 9-17 Sejam
e

 1 − x2 se
1
se
f (x) =

2x − 5 se
Z x
g(x) =
f (t) dt
para
−1
(a) Determine a expressão que define g(x).
−1 ≤ x ≤ 1
1<x<3
3≤x≤5
todo
x ∈ [−1, 5] .
Exercı́cios de Cálculo p. Informática, 2006-07
7
(b) Esboce os gráficos de f e g.
(c) Diga onde é:
(1) f contı́nua.
(2) f diferenciável.
(3) g diferenciável.
Ex 9-18 Sejam F (x) e G(x) respectivamente primitivas das funções f (x) e g(x) no
intervalo [0, 3]. Os gráficos de f (x) e g(x) vêm representados nas figuras seguintes.
y
y
2
1
g
1
0
f
0
2
3
1
2
3
x
-1
x
Determine as variações F (3) − F (0) e G(3) − G(0).
Ex 9-19 Seja f (x) uma função diferenciavel no intervalo [0, 3] tal que f (0) = −1
e cuja derivada tem o seguinte gráfico
2
f’
1
1
2
3
4
-1
-2
(a) Determine os valores de f (x) nos pontos x = 0, 1, 2, 3 e 4.
(b) Estude a monotonia e concavidades do gráfico de f (x).
Exercı́cios de Cálculo p. Informática, 2006-07
8
(c) Desenhe o gráfico de f (x).
Ex 9-20 Seja F (x) =
Rx
0
h(t) dt, onde h : [0, 3] → R é a função na figura em baixo.
y
3
2
1
1
2
3
x
Calcule:
(a)
F (3) − F (1)
3−1
(b) lim
x→1
F (x) − F (1)
x−1
Ex 9-21 Seja f : [0, π] → R uma função diferenciavel. Calcule f (π), sabendo que
f (0) = 2 e que
Z
π
( f 0 (x) cos x − f (x) sin x ) dx = 4 .
0
Ex 9-22 Seja f : [0, 3] → R a seguinte função diferenciavel, definida no intervalo
[0, 3].
2.5
2
1
1.5
1.5
1
-1
-2
- 2.5
2
3
1.8
Exercı́cios de Cálculo p. Informática, 2006-07
9
Na figura estão assinaladas três regiões limitadas entre o gráfico de f e o eixo dos
xx, que correspondem a abcissas nos intervalos [0, 1], [1, 2] e [2, 3] respectivamente.
A área de cada uma destas regiões vem inscrita no seu interior.
Considere a função F : [0, 3] → R definida por
Z x
F (x) =
f (t) dt .
2
(a) Determine os valores de F (x) nos pontos x = 0, 1, 2 e 3.
(b) Estude a monotonia e concavidades do gráfico de F (x).
(c) Desenhe o gráfico de F (x).
(d) Quais os declives das tangentes ao gráfico y = F (x) nos pontos x = 0, 1, 2 e 3?
10
Aplicações do Cálculo Integral.
Ex 10-1 Um ponto percorre o eixo dos xx com aceleração a(t) = 12 − 8t (m/s2 )
em cada instante t. Sabendo que ocupava a posição x = 0 (m) no instante t = 0 (s)
e tinha velocidade 0 (m/s) nesse instante, calcule:
(a) A sua velocidade no instante t = 2 (s).
(b) A sua posição no instante t = 3 (s).
(c) A velocidade máxima, em valor absoluto, no intervalo de tempo [0, 3], e o instante em que essa velocidade foi atingida.
(d) Excluindo o instante inicial t = 0 (s), o ponto esteve parado em algum instante?
Ex 10-2 Um objecto move-se ao longo de um eixo de coordenadas x. O seu
movimento é descrito por uma função x = x(t) no intervalo de tempo [0, T ]. Sabendo
que a posição no instante inicial é x(0) = −3 h e que a lei das velocidades deste
movimento é descrita pelo seguinte gráfico:
Exercı́cios de Cálculo p. Informática, 2006-07
10
v
2v0
t
h
2h
3h
4h
5h
6h=T
-v0
determine:
(a) os intervalos de tempo onde o objecto está respectivamente: parado, em movimento uniforme, em movimento acelerado e em movimento desacelerado;
(b) os deslocamentos efectuados nestes intervalos de tempo;
(c) as posições nos instantes t = 0, h, . . . , 6h;
(d) o deslocamento total;
(e) preencha uma tabela com a monotonia e concavidades do gráfico de x(t) nos
seis intervalos ]i h, i h + h[, com i = 0, 1, . . . , 5;
(f) calcule os declives das tangentes ao gráfico de x(t) nos instantes t = 0, h, . . . ,
6h;
(g) esboce o gráfico de x(t).
Ex 10-3 Um móvel desloca-se segundo um eixo de coordenadas com uma lei de
velocidades descrita por v(t) = t2 −4 t em metros por segundo. Sabendo que a posição
inicial do móvel no instante t = 0 é x0 = 12 metros, qual a sua posição ao fim de 3
segundos ?
Ex 10-4 Determine a área da região limitada pelo gráfico de f e pelo eixo dos xx
quando:
Exercı́cios de Cálculo p. Informática, 2006-07
11
a)
f (x) = 2 + x3 ,
b)
f (x) =
c)
f (x) = x2 (3 + x),
x ∈ [0, 8].
d)
f (x) = cos x,
x ∈ [π/6, π/3].
e)
f (x) = (x + 2)−2 ,
x ∈ [0, 2].
√
x ∈ [0, 1].
x ∈ [3, 8].
x + 1,
Ex 10-5 Considere a região A limitada pelas curvas y = f (x), x = 0 e y = 2, onde
f (x) é a função no gráfico em baixo.
3
2
1
-2
-1
1
2
3
4
-1
-2
-3
(a) Identifique a região A na figura acima.
(b) Represente a área desta região através de um integral envolvendo f (x).
Ex 10-6 Em cada uma das alı́neas seguintes esboce o gráfico da função f e determine a área da região limitada por ele e pelo eixo dos xx,
(a)
f (x) =
(b)
f (x) =
x2 + 1 se 0 ≤ x ≤ 1
3 − x se 1 < x ≤ 3
√
3 x se 0 ≤ x ≤ 1
4 − x2 se 1 < x ≤ 2
Exercı́cios de Cálculo p. Informática, 2006-07
12
Ex 10-7 Em cada um dos seguintes casos, represente a região limitada pelas curvas
dadas e determine a sua área.
y=1,
para 0 ≤ x ≤ π/2
e
y = x2
y = 6x − x2
e
y = 2x
y = cos x
e
y = 4x2 − π 2
a)
y = 1 + cos x ,
b)
y=
c)
d)
√
x
Ex 10-8 Considere a região da figura seguinte, limitada entre as duas rectas desenhadas e a parábola y = α (x + 1) (x − 2).
y
1
-1
x
2
Determine α de modo que a área sombreada seja igual a 15.
Ex 10-9 Na figura seguinte estão representados os gráficos das funções f (x) e
f (x) + 2 x − x2 no intervalo [0, 2].
y
2
Qual o valor da área da região sombreada?
x
Exercı́cios de Cálculo p. Informática, 2006-07
13
Ex 10-10 Qual das seguintes figuras representa o sólido de revolução cujo volume
é calculado pelo integral
Z 1
π x dx ?
0
y
y
1
1
(a)
1
1
(b)
x
z
1 x
1
z
y
y
1
(c)
1
1
1
(d)
x
1
1
x
z
z
Descreva regiões correspondentes às restantes figuras, e exprima os seus volumes
através de integrais. Calcule esses quatro volumes.
√
Ex 10-11 Seja A a região plana limitada pelas curvas y = x3 e y = 4 x. Considere
o sólido gerado por rotação da região A em torno do eixo dos xx. Represente o seu
volume através de um integral, e calcule-o.
Ex 10-12 Desenhe a região limitada pelas curvas e, determine o volume do sólido
gerado pela rotação da região em torno do eixo dos xx.
a)
c)
y = x,y = 0,x = 1
y = x2 , y = 2 − x
b)
y = x3 , y = 8 , x = 0
Ex 10-13 Desenhe a região limitada pelas curvas e, determine o volume do sólido
gerado pela rotação da região em torno do eixo dos yy.
a)
y = 2x , y = 4 , x = 0
c)
x = y2 , x = 2 − y2
b)
x = y3 , x = 8 , y = 0
Exercı́cios de Cálculo p. Informática, 2006-07
14
Ex 10-14 Um TAC de um fı́gado humano mostra-nos ’fatias’ paralelas espaçadas
umas das outras de 2 cm. Se as áreas da secção do fı́gado em cada uma das fatias
são de 72, 145, 139, 127, 111, 89, 63 e 22 centı́metros quadrados, indique um valor
aproximado do volume do figado.
Ex 10-15 Uma embalagem de plástico deve ter a forma de uma pirâmide truncada,
onde as bases de cima e de baixo são quadrados respectivamente com 10 e 6 cm de
lado. Qual deve ser a altura da embalagem de modo a que o seu volume seja um
litro?
Ex 10-16 Calcule o volume do sólido de revolução obtido por rotação da região
limitada pelo triangulo de vértices (1, 1), (2, 2) e (3, 1), em torno do eixo dos XX.
Ex 10-17 Considere a elipse de equação
x2 y 2
+ 2 = 1 (a, b > 0).
a2
b
(a) Represente, através de um integral, a área da elipse e calcule-a.
(b) Represente, através de um integral, o volume do elipsoı́de de revolução gerado
pela rotação da elipse em torno de um dos seus eixos e calcule-o. Deduza, do
resultado obtido, a fórmula do volume da esfera.
Ex 10-18 Encontre os comprimentos das seguintes curvas:
a)
y = x2 −
b)
y=
c)
y = ex ,
log x
,
8
x3
1
+
,
6
2x
1≤x≤3.
1
2
≤x≤1.
0≤x≤1.
Ex 10-19 Determine as soluções dos seguintes problemas:
a)
dy
= sin(3x) ,
dx
y(π) = 1 .
b)
dy
e2x + e−2x
=
,
dx
2
y(0) = 2 .
Exercı́cios de Cálculo p. Informática, 2006-07
c)
dy
1
=−
,
dx
(x + 1)2
d)
1
d2 y
= ,
2
dx
x
15
lim y(x) = 2 .
x→+∞
y 0 (1) = 1 e y(1) = 0 .
Ex 10-20 Seja f : R → [0, +∞[ uma função diferenciável. Dados h ≥ 0, x ∈ R,
chama-se taxa de variação relativa de f no intervalo [x, x + h] ao quociente
f (x + h) − f (x)
=
h f (x)
f (x+h)−f (x)
h
f (x)
.
Analogamente, chama-se taxa de variação relativa instantânea de f em x ao quociente
f 0 (x)
f (x + h) − f (x)
= lim+
.
h→0
f (x)
h f (x)
Mostre que:
(a) Toda a função exponencial f (x) = C ek x tem taxa relativa instantânea constante igual ao expoente k, e tem taxa relativa no intervalo [x, x + h] que
depende de h, mas não de C nem de x.
(b) Mostre que a taxa relativa instantânea de f coincide com a seguinte derivada:
f 0 (x)
d
=
( log f (x) ) .
f (x)
dx
(c) Se f (x) tem taxa relativa instantânea variável
R x+h
f (x + h) = f (x) e
x
f 0 (x)
f (x)
k(t) dt
= k(x), então
.
(d) Se f (x) tem taxa relativa instantânea constante igual a k, então f (x) é uma
função exponencial com expoente k:
f (x) = f (0) ek x .
Em particular, a taxa relativa de f no intervalo [x, x + h] é
f (x + h) − f (x)
ek h − 1
=
.
h f (x)
h
Exercı́cios de Cálculo p. Informática, 2006-07
16
Ex 10-21 Mostre que a taxa de variação relativa de uma função f num intervalo
[x, x + h] é a média das taxas de variação relativas de f nos pontos desse intervalo.
Ex 10-22 Seja f : [0, 5] → R uma função descrevendo a evolução ao longo de
5 anos de uma certa população, onde x = f (t) representa o número de milhares de
indivı́duos ao fim de t anos. Suponha que no ı́nicio, t = 0, a polulação é x = 1.5 (1500
indivı́duos). Considere a taxa relativa instantânea de f ao longo do tempo dada no
gráfico seguinte:
(a) Calcule as taxas relativas de crescimento da população em cada um dos 5 anos.
(b) Estime a dimensão da população ao fim de cada um dos 5 anos.
(c) Esboce o gráfico da função log f (t).
Ex 10-23 Uma estrada com inicio num ponto A sobe uma montanha. A expressão
da taxa de variação instantânea da altitude da estrada em função da distância a A
(o declive) em km, é dada pela expressão
f (x) = 0.01 × (5 + sin x)
x ∈ [0, 5] .
(a) Qual é a diferença de altitude entre o ponto A e o ponto correspondente a uma
distância de x = 5 km.
(b) Qual é o declive médio da estrada ao longo dos 5 km?
Exercı́cios de Cálculo p. Informática, 2006-07
17
Ex 10-24 Um tanque com a capacidade de 5000 litros contem 221 litros de água
no instante em que começa a encher. A água é debitada no tanque a um caudal que
diminui hora a hora. Sabemos que durante as primeiras 100 horas a água é debitada
a 100 − t litros por hora.
(a) Determine o volume de água V (t) ao fim de t horas (0 ≤ t ≤ 100).
(b) As primeiras 100 horas chegam para encher o tanque? Em caso afirmativo, ao
fim de quantas horas enche?
Ex 10-25 Uma mangeira despeja água para dentro de um tanque a um débito
de 200 litros por hora. Seja Q(t) o volume de água no tanque ao fim de t horas.
Inicialmente, em t = 0, o tanque contem Q(0) = 2000 litros de água. No fundo do
tanque uma torneira debita água para fora a um caudal de Q(t)/100 litros por hora.
(a) Determine uma expressão para a taxa de variação do volume de água no tanque
v(t), expressa em função do volume Q(t).
(b) Mostre que a função v(t) tem uma taxa de variação relativa instantânea que é
constante, igual a −1/100.
(c) Encontre uma expressão para v(t), e, usando a alı́nea (a), outra para Q(t).
(d) O que acontece ao volume Q(t) quando t → +∞?
Ex 10-26 Seja Q(t) a quantidade de Carbono-14 numa amostra de madeira muito
antiga, onde t representa o tempo medido em anos decorridos desde a morte das suas
células (a idade da amostra). É sabido que a função Q(t) tem uma taxa de variação
relativa instantânea que é constante e negativa (chamada a taxa de decaimento radioactivo do Carbono-14). Sabe-se também que a semi-vida do Carbono-14 (o tempo
necessário para a quantidade de Carbono-14 numa amostra ficar reduzida a metade)
é de 5568 anos. Finalmente, mediu-se que a amostra de madeira antiga contém cerca
de 82, 5% do Carbono-14 contido numa amostra com o mesmo peso de madeira nova.
(a) Determine a taxa de decaimento radioactivo do Carbono-14.
Exercı́cios de Cálculo p. Informática, 2006-07
18
(b) Determine a idade aproximada da amostra. Admite-se que a percentagem de
Carbono-14 presente em amostras de madeira nova (células vivas) tem permanecido constante ao longo dos últimos milhões de anos. Em células vivas
o decaimento radioactivo é compensado pelas trocas de matéria com o meio
ambiente. Só depois da morte das células é que se torna irreversı́vel o processo
de degradação do Carbono-14.
(c) A idade estimada é consistente com a pretensão de ser a amostra um pedaço
do Santo-Graal?
Ex 10-27 A variável t mede o tempo em minutos contado a partir de um instante
inicial t = 0 em que um corpo aquecido a uma temperatura de 50 graus Celsius é
deixado ao ar livre para arrefecer. Sabendo que ao fim de t minutos a taxa de variação
t
da temperatura do corpo é de −3 e− 30 graus Celsius por minuto, determine:
(a) A temperatura do corpo ao fim de uma hora.
(b) A temperatura limite do corpo quando t → +∞.
Ex 10-28 A lei de arrefecimento de Newton diz que: a taxa de variação da temperatura de um corpo é proporcional à diferença entre temperatura média ambiente
e a temperatura do corpo. Cada corpo tem a sua constante de proporcionalidade
k > 0 especı́fica. Num meio ambiente mantido a uma temperatura constante, seja
Q(t) = C(t) − A uma variavel representando a diferença entre a temperatura de um
certo corpo C(t) , e a temperatura do ambiente A.
(a) Mostre que, de acordo com a lei de Newton, a função Q(t) tem taxa relativa de
variação constante igual a −k.
(b) Sabendo que Q(0) = Q0 , deduza uma expressão explicita para Q(t).
(c) Um corpo é colocado num quarto aquecido a uma temperatura constante de
30o F. Depois de 10 minutos, a temperatura do corpo é de 0o F, e ao fim de
20 minutos a temperatura do corpo é de 15o F. Qual a temperatura inicial do
corpo?
(d) Uma barra de metal a uma temperatura inicial de 20o C é colocada num recipiente com água a ferver (100o C). A água continua a ferver e 20 segundos mais
tarde a temperatura da barra é de 30o C. Qual a temperatura da barra no final
do primeiro minuto. Quanto tempo demorará até a barra atingir os 98o C?