27-05-2015
Controlo de Sistemas
2014/2015
Alexandra Moutinho
Dep. Engenharia Mecânica, Instituto Superior Técnico, Universidade de Lisboa,
([email protected])
Exercício 1
Considere o seguinte sistema de controlo digital, onde corresponde
ao período de amostragem:
Considerando, um controlador proporcional, o processo com
função de transferência dada por, , e 1s, responda
às seguintes questões:
a)
Determine a função de transferência, , calculando com
exatidão os parâmetros do seu numerador e denominador.
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Equivalentes discretos de sistemas contínuos
1.
APROXIMAÇÃO COM RETENTOR DE AMOSTRAS DE ORDEM ZERO (ZOH)
O equivalente discreto de (representação genérica para processo/
controlador):
1 బ 1 CONTROLO DE SISTEMAS (2014/2015)
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Transformada ࣴ
2
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Exercício 1
Considere o seguinte sistema de controlo digital, onde corresponde
ao período de amostragem:
Considerando, um controlador proporcional, o processo com
função de transferência dada por, , e 1s, responda
às seguintes questões:
b) Determine a gama de valores do parâmetro ∈ ∞, ∞ que
garante que todos os polos da função de transferência do anel
fechado têm módulo inferior a 1.
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Controladores digitais: método direto
• Análise de estabilidade da FT do anel fechado: recordando o critério de
Routh-Hurwitz.
= + + ⋯ + + =
Aproximação bilinear
= (1 + ) + (1 + )
1 − + ⋯ + 1 − CONCLUSÃO:
O número de trocas de sinal na 1ª coluna da tabela de Routh-Hurwitz
do polinómio corresponde ao número de raízes (instáveis) de
com módulo superior a 1.
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Exercício 1
Considere o seguinte sistema de controlo digital, onde corresponde
ao período de amostragem:
Considerando, um controlador proporcional, o processo com
função de transferência dada por, , e 1s, responda
às seguintes questões:
c)
Esboce o LGR do sistema de controlo digital, considerando todos os
valores possíveis para ∈ ∞, ∞, sabendo que os pontos de
convergência/divergência no eixo real se localizam em 1.52 e
0.4783, e que a frequência natural dos polos no limite de
estabilidade é inferior a ⁄బ .
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Controladores digitais: método direto
LGR em Z
+
1 + = 0
௖ ()
௣ ()
−
()
• O LGR corresponde ao conjunto de pontos ∗ = ± %& que verificam
simultaneamente as condições de módulo e argumento, para diferentes
valores de '.
• Como a estrutura da equação caraterística é idêntica ao caso contínuo no
tempo:
1. As regras de construção do LGR no plano Z são idênticas às do plano S.
2. A interpretação da estabilidade do anel fechado faz-se relativamente
ao círculo unitário.
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Exercício 1
Considere o seguinte sistema de controlo digital, onde corresponde
ao período de amostragem:
Considerando, um controlador proporcional, o processo com
função de transferência dada por, , e 1s, responda
às seguintes questões:
d) Determine o erro estacionário do anel fechado para uma referência
em rampa de amplitude 2, assumindo o controlador 1.
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Erros estacionários: precisão do anel fechado
CONCLUSÃO:
A precisão do anel fechado depende da referência que se pretende
seguir, ((), e do TIPO (número de polos na origem) da função de
transferência do ramo direto, ().
Erro
estacionário ࢙࢙
Degrau unitário
=
−1
Rampa unitária
଴ =
−1 ଶ
Parábola unitária
଴ଶ ( + 1)
=
2 −1 ଷ
௖ ௣ ()
TIPO 0
1
1 + ௣
∞
∞
௖ ௣ ()
TIPO 1
0
1
௩
∞
௖ ௣ ()
TIPO 2
0
0
1
௔
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Erros estacionários: precisão do anel fechado
REFERÊNCIA RAMPA UNITÁRIA: , - =
=
,
ೡ
= lim
→
బ
బ మ
భ మ …
→ బ ೟ భ మ …
= lim
• do TIPO 1 (1 polo em = 1):
= lim
→
−1
+ ) + ) …
=
− 1 + * + * …
= ⟹ Erro de seguimento constante
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Exercício 1
e)
Um Mestre em Engenharia Mecânica propõe que o amostrador fique
antes localizado à saída do controlador analógico, tal como se mostra
na figura seguinte:
Com base nesta nova implementação, determine a relação entre
e ( e comente a seguinte afirmação daquele engenheiro: “a
gama de estabilidade do anel de controlo não se alterou com a
deslocação do amostrador.” Concorda com a opinião do seu futuro
colega? Justifique a resposta.
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Exercício 2
Considere o diagrama de Bode apresentado na figura correspondente a
um sistema estável em anel aberto em torno do qual se fecha um anel de
realimentação unitário:
a)
Calcule o erro
estacionário de posição
do anel de controlo.
b) Pretende-se obter um
erro estacionário de
posição inferior a 3%.
Mostre porque razão
com um simples ajuste
de ganho é impossível
atingir esta
especificação de
desempenho.
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Exercício 2
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Exercício 2
Considere o diagrama de Bode apresentado na figura correspondente a
um sistema estável em anel aberto em torno do qual se fecha um anel de
realimentação unitário:
d) Um Mestre em
Engenharia Mecânica
firma que a colocação
do compensador
projetado na alínea
anterior permite
também diminuir o erro
estacionário do sistema
de controlo para
entradas em rampa.
Concorda com a
opinião do seu futuro
colega? Justique a
resposta.
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Exercício 3
Considere o controlador digital
௖ =
0.5 + 0.06
−1
De modo a implementar este controlador num computador, obtenha a
respetiva equação às diferenças. Como representaria a equação obtida
em código, por exemplo, Matlab?
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Exercício 4
Considere o diagrama de Bode apresentado na figura correspondente a
um sistema estável em anel aberto em torno do qual se fecha um anel de
realimentação unitário:
c)
Projete um
compensador que
garanta a especificação
de desempenho
enunciada na alínea
anterior, mantendo
(aproximadamente) as
características
dinâmicas da resposta
do sistema não
compensado.
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Exercício 4
São dadas 3 funções de transferência que têm todas o mesmo
numerador e o mesmo ganho estático, diferindo apenas no
denominador. O numerador comum é n(s) = s + 10. As 3 funções de
transferência e respetivos polos são:
=
()
,.
=
()
,.
. య . మ .
=
()
,.
. య . మ .
a)
= {−1}
= −2 ± 4&; −11
= {−2 ± 4&; −1}
Diga a que função de transferência corresponde cada uma das
respostas ao degrau unitário representadas na figura.
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Exercício 4
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Exercício 4
São dadas 3 funções de transferência que têm todas o mesmo
numerador e o mesmo ganho estático, diferindo apenas no
denominador. O numerador comum é n(s) = s + 10. As 3 funções de
transferência e respetivos polos são:
=
()
,.
=
()
,.
. య . మ .
=
()
,.
. య . మ .
= {−1}
= −2 ± 4&; −11
= {−2 ± 4&; −1}
b) Trace o Lugar Geométrico das Raízes (LGR) correspondente a um
sistema com realimentação unitária, controlador proporcional ∈
] − ∞, +∞[, e com função de transferência do anel aberto (Nota: o ponto de convergência/divergência no LGR ocorre em
− 14.6).
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