Minicurso – Aula 3:
Técnicas de Demonstração
Matemática
Anliy Natsuyo Nashimoto Sargeant
Curso de Verão 2009
DEX - UFLA
Bibliografia
Garbi, Gilberto G., O romance das equações
algébricas. Ed Makron Books, 1997.
As Primeiras Manifestações da
Matemática
• 4.000.000 de anos atrás: Os primeiros
hominídeos a adotar a postura bípede surgiram
na África.
• Entre 300.000 e 200.000 anos atrás: o homem
moderno, homo sapiens sapiens, surgiram na
África e emigrou para os demais continentes.
• 50.000 anos atrás: os registros arqueológicos
indicam uma revolução “intelectual”. As
ferramentas tornaram mais sofisticadas e
produzidas em grande escala.
• 20.000 anos atrás: pinturas de animais em
cavernas na França e Espanha.
• 10.000 anos atrás: foi inventada a agricultura
no Oriente Médio.
Tales de Mileto
• O primeiro grande matemático grego.
• Devemos a ele a primeira profunda
transformação pela qual passou a matemática.
• Talles visitou o Egito e a Babilônia e de lá
trouxe para a Grécia o estudo da Geometria,
ao invés de somente transmitir, introduziu um
conceito revolucionário:
As verdades matemáticas precisam ser
demonstradas.
Tales de Mileto
• A partir daí começaram as demonstrações dos
teoremas.
• Surge a Matemática Dedutiva.
Euclides
• Talles revolucionou o pensamento matemático
ao estabelecer que as verdades precisam ser
demonstradas.
• Euclides manteve este conceito, mas fez uma
ressalva:
Nem todas as verdades podem ser provadas;
algumas delas, as mais elementares, devem ser
admitidas sem demonstração.
Euclides
• Os Elementos, escrito em 13 livros, organiza
todo o conhecimento geométrico (daquele
período), de forma rigorosa e dedutiva,
partindo de um número mínimo de definições
e axiomas.
Voltemos para as técnicas
• Na Proposição1 da aula passada a
pergunta-chave era “Como posso provar
que o triângulo é isósceles?”
• Usamos uma definição para responder a
pergunta-chave.
• Definição: Um triângulo é isósceles se dois
de seus lados tem a mesma medida.
Definições e Axiomas
• Uma definição em matemática é um acordo,
de todas as partes interessadas, sobre o
significado de um termo particular.
• Conceitos matemáticos que aparecem
repetidamente.
• Uma definição pode ser vista como uma
abreviação de um conceito particular.
Exemplo:
• Definição 1: Um inteiro positivo p>1 é primo
se os únicos inteiros positivos que dividem p
são 1 e p.
• É muito mais simples dizer “primo” do que
“um inteiro positivo maior do que um ....”
Definições
• As vezes utiliza-se “se, e somente se,” em
definições no lugar de “se”.
• Por exemplo:
Definição 2: Um inteiro n é par se, e somente se,
o resto da divisão de n por 2 é 0.
Definições
• Pode existir mais do que uma definição para
um mesmo conceito, por exemplo, a noção de
um inteiro par:
• A: n é um inteiro cujo o resto da divisão por 2 é
0.
• B: n é um inteiro que pode ser expresso com 2
vezes algum inteiro.
Definições
• É preciso estabelecer a “equivalência” das
definições.
• É preciso mostrar que “A implica B” e “B
implica A”.
• Estabelecida a equivalência das definições,
podemos utilizar qualquer uma das definições.
Definições
Proposição 2: Se n é um inteiro par, então n² é
um inteiro par.
• Vamos utilizar o método progressivoregressivo.
• Pergunta-chave: “Como posso demonstrar que
um inteiro é par?”
• Uma resposta seria:
B1: n² pode ser expresso com 2 vezes algum
inteiro.
Definições
• A única questão é: qual inteiro?
• A resposta vem do processo progressivo.
A1: n=2k.
• Elevando ao quadrado ambos os lados de A1
obtemos
A2: n²=(2k)(2k)=2(2k²)
• Portanto, n² pode ser expresso como 2 vezes
algum inteiro, tal inteiro sendo 2k² e isto
completa a prova.
Definições
Prova da Proposição 2.
Por hipótese n é um inteiro par, logo existe um k
para o qual n=2k. Assim, n²=(2k)²=2(2k²) e,
portanto n² é um inteiro par.
Axiomas
• Um axioma é uma sentença ou proposição
que não pode ser demonstrada e é
considerada como óbvio ou como um
consenso inicial necessária para a construção
de uma teoria.
• Os axiomas não podem ser derivados por
princípio de dedução.
• Exemplo: A menor distância entre dois pontos
é uma linha reta.
Axiomas
• Exemplos de axiomas que aparecem nos
Elementos de Euclides:
a) Entidades iguais a uma terceira são iguais
entre si.
b) Se a iguais somam-se ou subtraem-se iguais,
os resultados permanecem iguais.
c) Iguais multiplicados ou divididos por iguais
continuam iguais.
Quantificadores I: O Método
por Construção
• Existem outras técnicas de demonstração para
formular e responder a pergunta-chave
quando B (conclusão ou tese) tem uma forma
especial.
• Duas formas particulares aparecem em todo
ramo da matemática.
• Eles são sempre identificados por certas
palavras-chaves.
Quantificadores I: O Método
por Construção
• O primeiro tem a palavra existe (existem).
• O segundo tem a palavra para todo (para
cada, para algum).
• Esse grupo de palavras são denominados
quantificadores.
• Os do primeiro grupo são chamados
quantificadores existenciais e do segundo
quantificadores universais.
Quantificadores I: O Método
por Construção
• Vamos falar primeiro dos quantificadores
existenciais: existe (existem).
• Vamos relembrar a definição (alternativa) de
inteiro par.
• Definição: Um inteiro n é par se, e somente
se, existe um inteiro k tal que n=2k.
• Observamos que o quantificador “existe”
permite que haja mais do que um de tal
objeto.
Quantificadores I: O Método
por Construção
• Por exemplo:
Definição: Um inteiro n é quadrado se existe um
inteiro k tal que n=k².
• Se n é um inteiro não nulo quadrado, então
existem dois valores de k que satisfaz n=k².
• Por exemplo, se n=25, então k=5 ou -5.
Quantificadores I: O Método
por Construção
• Cada vez que o quantificador existencial
aparecer a proposição terá a seguinte forma
padrão:
Existe um “objeto” com uma “certa
propriedade” tal que “algo acontece”.
Quantificadores I: O Método
por Construção
• Exemplo: Existe um inteiro x>2 tal que
x²-5x+6=0.
Objeto: inteiro x.
Certa propriedade: x>2.
Algo acontece: x²-5x+6=0.
Quantificadores I: O Método
por Construção
• Exemplo: Existem números reais x e y ambos
> 0 tais que 2x+3y=8 e 5x-y=8.
Objeto: números reais x e y.
Certa propriedade: x>0 e y>0.
Algo acontece: 2x+3y=8 e 5x-y=8.
Quantificadores I: O Método
por Construção
• Exemplo: Existe um ângulo t tal que cos(t)=t.
Objeto: ângulo t .
Certa propriedade: nenhuma.
Algo acontece: cos(t)=t.
Quantificadores I: O Método
por Construção
• Agora quando encontramos a palavra existe
no processo regressivo, então precisamos
mostrar que:
B: Existe um “objeto” com uma “certa
propriedade” tal que “algo acontece”.
• Uma forma é usando o método por
construção.
Quantificadores I: O Método
por Construção
• Queremos provar que “A implica B” é verdadeira.
• Suponhamos que obtemos uma proposição no
processo progressivo que contenha o quantificar
“existe” na forma padrão:
A: Existe um “objeto” com uma “certa
propriedade” tal que “algo acontece”.
• A técnica para trabalhar com tal objeto no
processo progressivo é direta e não há um nome
especial.
Quantificadores I: O Método
por Construção
Proposição 3: Se a,b,c,d e f são números reais
tais que ad-bc≠0, então as duas equações
ax+by=e e cx+dy=f possuem solução reais para
x e y.
• Vamos usar o método regressivo.
• Você percebe a existência do quantificador
existencial?
• Vamos reescrever a conclusão.
Quantificadores I: O Método
por Construção
B: Existem números reais x e y tais que ax+by=e
e cx+dy=f.
• A primeira etapa do método de construção é
identificar o objeto, certa propriedade e algo
acontece.
Objeto: números reais x e y .
Certa propriedade: nenhuma.
Algo acontece: ax+by=e e cx+dy=f.
Quantificadores I: O Método
por Construção
• A próxima etapa é construir estes números
reais.
• Se você “chutou” que x=(de-bf)/(ad-bc) e
y=(af-ce)/(ad-bc), então você é muito bom.
• Observe que usamos a informação da
hipótese nesse “chute” pois o denominador
deve ser diferente de zero.
Quantificadores I: O Método
por Construção
• Construir estes objetos (no caso x e y) não
constitui uma prova.
• Precisamos mostrar que satisfaz “certas
propriedades” e que “algo acontece”.
• No nosso caso precisamos mostrar que para
aquele x e y, ax+by=e e cx+dy=f.
• Para fazer isso fazer escrever o seguinte:
Quantificadores I: O Método
por Construção
• Note que ad-bc≠ o,
A1: x=(de-bf)/(ad-bc) e y=(af-ce)/(ad-bc)
• É preciso mostrar que esse valores de x e y,
B1: ax+by=e e cx+dy=f.
• O restante da prova consiste em trabalhar
diretamente (ou progressivamente) de A1
usando álgebra para mostrar que B1 é
verdadeira.
Quantificadores I: O Método
por Construção
• O chute é “aceitável”, mas não informa como
obter os valores desejados de x e y.
• Vamos então fazer algo mais didático.
• Pelo método regressivo vimos x e y devem
satisfazer :
ax+by=e (1)
cx+dy=f
(2)
• Multiplicando (1) por d e (2) por b e então
subtraindo (1) e (2) obtemos:
Quantificadores I: O Método
por Construção
(ad-bc)x=de-bf (3)
• Por hipótese ad-bc≠0, então podemos dividir
(3) por ad-bc e obtemos:
x=(de-bf)/(ad-bc)
• De forma análoga obtemos y=(af-ce)/(ad-bc).
• Novamente, não basta construir o objeto é
preciso mostrar que satisfaz certas
propriedades e que algo acontece.
Prova da Proposição 3: Multiplicando a equação
ax+by=e por d e a equação cx+dy=f por b, e
então subtraindo ambas as equações obtemos
(ad-bc) x=(de-bf). Pela hipótese, ad-bc≠0, e
então dividindo por ad-bc obtemos
x=(de-bf)/(ad-bc). Um argumento similar
mostra que y=(af-ce)/(ad-bc). Não é difícil de
verificar que para estes valores de x e y,
ax+by=e e cx+dy=f.