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POLINÔMIOS & EQ. POLINOMIAIS
Professor Marcelo Renato
1. DEFINIÇÃO
Polinômio na variável real x é toda expressão P(x) da
forma:
an xn  an 1xn 1  an  2 xn  2    a1x1  a0
Em que:
 a ,a
n





n 1
,a
n2
, , a , a
1
0
são números reais
denominados coeficientes;
n  IN ;
O maior expoente de x, com coeficiente não-nulo é
o grau do polinômio;
O grau do polinômio informa o seu número de
raízes (reais ou não);
O coeficiente não-nulo do termo (monômio) de
maior expoente é denominado coeficiente
dominante;
a é o termo independente de x do polinômio;
0
 Se todos os coeficientes do polinômio forem nulos o

polinômio é chamado polinômio nulo;
O polinômio nulo não possui grau.
Exemplos:




P(x) = 2x5 – 3x4 + 5x – 1 tem grau 5;
P(x) = 0x2 + 10x + 10 tem grau 1;
P(x) = 2 tem grau zero;
P(x) = 3x2 +
pois
x não é um polinômio,
x x
1/2
 1/2  IN;
 P(x) = 0x2 + 0x + 0 não possui grau.
2. VALOR NUMÉRICO
Exemplo: (MR) Determine m  IR para que o
polinômio P( x)  (m  4)x3  (m  4)x 2  4x  4 seja de
grau 2.
Resolução:
Para que p(x) tenha grau 2, devemos ter:
m  4  0  m  4

m  4  0  m  4
Portanto, não existe nenhum valor real de m para que o
polinômio P(x) tenha grau 2.
Verificamos que, para m = 4, P(x) terá grau 1 e para
m  4 P(x) terá grau 3.
3. POLINÔMIOS IDÊNTICOS
Dizemos que dois polinômios são iguais ou idênticos
se, e somente se, seus termos correspondentes
tiverem coeficientes respectivamente iguais.
Um polinômio é chamado de identicamente nulo
quando todos os seus coeficientes são nulos.
Utilizamos o símbolo " "
condição de identidade.
Exemplo:
(MR 2010) Sejam os polinômios reais, na variável x,
A( x)  ax3  4x 2  bx  5 e B( x)  4x 2  x  c . Se os
polinômio A(x) e B(x) são idênticos, ou seja,
A( x)  B( x) , determine o valor de (b – a – c).
Resolução:
A( x)  B( x)
ax3  4x 2  bx  5  0x3  4x 2  x  c
Efetuando a identidade: a = 0, b = 1 e c = – 5.
Assim,
b  a  c  1  0  ( 5)
b  a  c  1 5
bac  6
O valor numérico do polinômio P(x) para x = a é o
número que se obtém substituindo “x” por “a” e
efetuando-se os cálculos necessários; representamos
por P(a).
Quando P(a) = 0 dizemos que “a” é uma raiz do
polinômio.
Exemplo:
(MR 2009) Sendo P( x)  2x 3  x 2  x  2 , determine o
valor numérico do polinômio P(x) para x  1.
(FEI-SP) Determine A,
1
A


3
x
1
x 1
P( 1)  2( 1)3  ( 1)2  ( 1)  2
P( 1)  2( 1)  1  1  2
P( 1)  2  1  1  2
P( 1)  0
Verificamos, também, que x  1 uma das três raízes
do polinômio P(x).
B e C na decomposição
Bx  C
.
x2  x  1
Resolução:
A
Bx  C
 2
x

1
x 1
x  x 1
1
A  ( x 2  x  1)  ( x  1)  (Bx  C)

( x  1)  ( x 2  x  1)
( x  1)  ( x 2  x  1)
1
3
Resolução:
quando indicamos a

1  Ax2  Ax  A  Bx2  Cx  Bx  C
0x 2  0x  1  ( A  B)x 2  ( A  C  B)x  ( A  C)
Da identidade polinomial podemos afirmar:
A  B  0  A  B

A  C  B  0  ( B)  C  B  0  C  2B
A  C  1  ( B)  (2B)  1  B  1/ 3

Logo: A = 1/3 , B = – 1/3 e C = – 2/3.
2
EXERCÍCIOS SÉRIE AULA
4.1. MÉTODO DA CHAVE
1) (PUC-MG) O polinômio P(x) = ax3 + bx2 + cx + d é
idêntico ao polinômio Q(x) = x3 – 2x + 4.
O valor de a + b + c + d é:
Exemplo:
Determinar o quociente e o resto da divisão do
polinômio
por
P( x)  6x 4  5x3  4x 2  7x  11
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
D( x)  2x 2  x  3 .
Resolução: Notemos que tanto P(x) quanto D(x) estão
escritos segundo as potências decrescentes de x.
2) (F.C. Chagas-BA)
Dado o polinômio P( x)  x3  2x 2  m x  1 , onde
m  IR , seja P(a) o valor de P para x = a.
Se P(2)  3  P(0) , então P(m) é igual a:
a) – 5
b) – 3
c) – 1
d) 1
e) 14
Resolução:
Dividimos o termo de maior grau de P(x) pelo
termo de maior grau de D(x):
1º
 6x 4
2x 2
 3x 2 ,
obtendo assim o 1º termo do quociente q(x);
Multiplicamos o quociente obtido (– 3 x2) por D(x):
(– 3 x2).(2x2 – x + 3) = – 6x4 + 3x3 – 9x2
2º
3) (UCMG) A soma dos valores de A, B e C tal que
2x  3
A Bx  C
é:
 
x( x 2  1) x x 2  1
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
O resultado é colocado, com sinal trocado, sob os
termos semelhantes de P(x):
Somamos os termos semelhantes, e os termos
de P(x) que não têm semelhantes a somar dever
ser copiados (abaixados). Obtemos, então, o
primeiro resto parcial:
3º
4. DIVISÃO DE POLINÔMIOS
Sejam os polinômios P(x) e D(x), respectivamente de
graus m e n, com m  n .
Considerando gr(r) e gr(D), respectivamente, o grau
de r(x) e o grau de D(x), temos que:
Dividir P(x) por D(x) é determinar outros dois
polinômios: o quociente q(x) e o resto r(x) tais que:
Caso o grau do resto parcial seja maior ou igual
ao grau do divisor D(x), repetimos os passos
anteriores, efetuando a divisão do resto parcial
atual pelo divisor D(x) até que o grau do resto se
torne menor que o grau do divisor ou que o resto
seja zero (divisão exata):
4º
P( x )  q ( x ).D( x ) + r ( x );
gr ( r ) < gr ( D ) ou r ( x ) = 0.
grmáx ( r ) = gr ( D ) – 1
 gr max ( r ) significa o maior grau possível para o
polinômio resto.
Então, o quociente q(x) = – 3x2 + x + 3 e o resto
r ( x)  7x  20 .
3
EXERCÍCIOS SÉRIE AULA
4.2. BRIOT-RUFFINI
4) (UFR-PE)
Qual o resto da divisão do polinômio x3 – 2x2 + x + 1
por x2 – x + 2 ?
Se quisermos dividir um polinômio P(x) por (x – a)
podemos nos valer de um algoritmo chamado
dispositivo prático de Briot-Ruffini (Charles A. A. Briot,
matemático francês, 1817–1882 e Paolo Ruffini,
matemático italiano, 1765–1822) no qual trabalhamos
somente com os coeficientes de P(x) e com a raiz do
divisor x – a.
a) x + 1
b) 3x + 2
c) – 2x + 3
d) x – 1
e) x – 2
Exemplo: Determine o quociente e o resto da divisão
de P(x) = x4 – 5x3 + x2 – 3x + 6 por (x – 2).
5) (MR 2010) O quociente e o resto da divisão de
P( x)  2x5  3x  12 por D( x)  x 2  1 são, respectivamente:
Resolução:
Em primeiro lugar, devemos dispor os coeficientes de
P(x) e a raiz de (x – 2), conforme o esquema abaixo:
Sugestão: Encontre os coeficientes na identidade
P( x )  ( x 2  1)( ax3  bx2  cx  d)  (ex  f )
P( x )  ax5  bx 4  cx 3  dx2  ex  f
O 1º passo é “abaixar” o 1º coeficiente de P(x) que,
neste exemplo, é 1:
 ax3  bx2  cx  d

P( x )  ax5  bx 4  (a  c )x 3  (b  d)x 2  (c  e)x  (d  f )
Tal sugestão deve-se ao fato de, sendo P(x) de grau
5, logicamente o grau do quociente tem que ser 3 pois
o divisor é de grau 2 e, já que o divisor é de grau 2,
consequentemente, o maior grau que o resto poderá
ter é 1 (no máximo um grau a menos que o grau do
divisor).
a) 2x3 – 2x
b) – 2x3 + 2x
c) 2x3 – 2x
d) – 2x3 + 2x
e) – 2x3 + 2x
e
e
e
e
e
– x + 12
– x + 12
– x – 12
– x + 12
x + 12
6) (MR 2010)
Se P(x) = 2x3 – 4x2 + ax + b e Q(x) = x2 – 3x +2 são
polinômios, os valores de a e b, para que P(x) seja
divisível por Q(x), são, respectivamente:
Sugestão: Quando um polinômio é divisível por outro,
as raízes do polinômio divisor são, também, raízes do
polinômio dividendo.
Não Esqueça: P(raiz) = zero.
a) –1 e 3
b) –1 e 2
c) –2 e 3
d) –2 e 4
e) –3 e 2
Em seguida, multiplica-se 1 por 2 e soma-se o produto
obtido com o 2º coeficiente de P(x). O resultado
encontrado [ 1 . 2 + (– 5) = – 3 ] o 2º coeficiente do
quociente procurado.
O passo seguinte é multiplicar – 3 por 2 e somar o
produto obtido com o 3º coeficiente de P(x).
O novo resultado encontrado ( – 3 . 2 + 1 = – 5 ) é o
3º coeficiente do quociente.
Em seguida, de modo análogo, multiplica-se – 5 por 2
e soma-se com o 4º coeficiente de P(x). O resultado
encontrado [ – 5 . 2 + ( – 3 ) = – 13] é o 4º coeficiente
do quociente.
Para finalizar, repete-se o processo para o número
– 13 obtendo-se – 20, que é o resto da divisão:
( – 13 . 2 + 6 = – 20 ).
O quociente procurado é q(x) = x3 – 3x2 – 5x – 13 e o
resto, que é independente de x, é R = – 20.
4
EXERCÍCIOS SÉRIE AULA
5. TEOREMA DO RESTO
7) (FGV-SP) Seja Q(x) o quociente da divisão do
polinômio P(x) = x6 – 1 pelo polinômio d(x) = x – 1.
Então:
Na divisão do polinômio P(x), de grau maior ou igual
a 1, por um binômio do 1º grau do tipo (ax + b),
com a e b reais, teremos q(x) como quociente e R
como resto.
a) Q(0) = 0
b) Q(0) < 0
c) Q(1) = 0
d) Q(– 1) = 1
e) Q(1) = 6
P(x) = q(x).(ax – b) + R
Calculando a raiz do divisor: ax + b = 0  x  
8) (UFCE)
Na divisão do polinômio P(x) = x6 por (x + 1), o
quociente é Q1(x) e o resto é R1. Se R2 é o resto da
divisão de Q1(x) por (x + 1), então R2 é igual a:
 b
 b   b 
P     q       a      b  R
a   a 
 a  
 


b
a
 b
R  P  
 a
0
Teorema do resto:
Resto = P (raiz do divisor)
a) – 4
b) – 5
c) – 6
d) – 7
e) – 8
Exemplo 1: (MR 2010) Determine o resto da divisão
de P(x) = 2 x4 – 4 x3 – 1 por D(x) = 3 x – 6.
Observação Importante:
COMO OBTER O RESTO
EM DIVISÕES SUCESSIVAS ?
Exemplo:
Um polinômio p(x), dividido por ( x  1) , deixa resto 2.
O quociente desta divisão é então dividido por ( x  4) ,
obtendo-se resto 1.
O resto da divisão de p(x) por ( x  1)  ( x  4) é ...
Resolução:
Resolução:
Como o divisor é do 1º grau (ax + b), podemos aplicar
o teorema do resto, ou seja:
Cálculo da raiz do divisor:
D(x) = 0  3 x – 6 = 0  x = 2
Teorema do resto: R = P(2)
R = 2.(2)4 – 4.(2)3 – 1
R=–1
Exemplo 2:
(Osec-SP) Um polinômio p(x), quando dividido por
( x  2) , dá resto 15, quando dividido por (x + 1), dá
resto 3. Dividindo-o por (x – 2).(x + 1), o valor
numérico do resto para x = 0 é:
a) 4
P( x)  q1( x)  ( x  1)  2 ..... ( 1)
q1( x )  q2 ( x)  ( x  4)  1 .... ( 2 )
Fazendo ( 2 ) ( 1) :
P( x )  [ q2 ( x )  ( x  4)  1]  ( x  1)  2


q1 ( x )
Arrumando: P( x )  q2 ( x )  ( x  1)( x  4)  x  1

O Resto procurado é igual a (x + 1).
9) (MR 2010) Um polinômio p(x), dividido por (2x  1) ,
deixa resto – 1.
O quociente desta divisão é então dividido por
( x  1) , obtendo-se resto 2.
O resto da divisão de p(x) por (2x  1)  ( x  1) é ...
a) 1
b) 2
c) 4x + 1
d) x – 1
e) 3
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
Resolução:
 P(2)  15........... (1)
Pelo teorema do resto: 
 P( 1)  3 ........... (2)
P(x) = q(x).(x – 2).(x + 1) + R(x) ............... ( 3 )
Sabemos que o grau do resto R(x) tem que ser menor
que o grau do divisor ;
Como, neste exemplo, o divisor “(x – 2).(x – 1)” é do
2º grau, logicamente, o maior grau possível para o
resto será 1.
O Resto R(x) é do tipo R(x) = a x + b ......... (4)
Fazendo (4)  (3):
P(x) = q(x).(x – 2).(x + 1) + a x + b .............. (5)
Substituindo (1) e (2) em (5):
P(2)  15
 2a  b  15


P( 1)  3
 a  b  3
Resolvendo o sistema, temos: a = 4 e b = 7.
R(x) = ax + b  R(x) = 4x + 7  R(0) = 7.
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EXERCÍCIOS SÉRIE AULA
6. DIVISIBILIDADE POR PRODUTO DE FATORES
10) (UFES)
O resto da divisão do polinômio P(x) = x1032 – 12x3 + 15
pelo binômio Q(x) = x + 1 vale:
1. Se um polinômio P(x) é divisível por (x – a) e
também por (x – b), então, P(x) é divisível pelo
produto (x – a).(x – b).
a) 1032
b) 28
c) 15
d) 12
e) 4
2. Se um polinômio P(x) é divisível por (x – a).(x – b),
então, P(x) é divisível por (x – a) e por (x – b),
isoladamente.
11) (UFPA) Sabendo-se que os restos das divisões de
x2 + px + 1 por x – 1 e x + 2 são iguais entre si, o
valor de p é:
a) – 2
b) – 1
c) 0
d) 1
e) 2
12) (Santa Casa-SP) Dividindo-se um polinômio f por
x2 – 3x + 1 obtém-se quociente x + 1 e resto 2x + 1. O
resto da divisão de f por x + 1 é:
a) – 2
b) – 1
c) 3
d) 2x – 1
e) 2x + 1
13) (UFES)
O resto da divisão de um polinômio por (x + 1) é 6, e
por (x – 2) é 3. Ao dividir o mesmo polinômio pelo
produto (x + 1)(x – 2), o resto é:
a) 18
b) 9x
c) 2x + 3
d) – x + 5
e) x2 – 9x + 18
14)
(UFR-PE) Seja p(x) um polinômio com
coeficientes reais. Assinale a alternativa certa
para o resto da divisão de p(x) por x2 – 5x + 6,
sabendo-se que p(2) = 2 e p(3) = 3.
Dica: x 2  5x  6  ( x  2)( x  3)
a) 2x + 1
b) x + 1
c) x – 3
d) x – 2
e) x
Observações:
a) E ambas as situações acima, como (x – a) e ( x – b)
são fatores de P(x), consequentemente, a e b são
raízes de P(x).
b) A informação acima é válida para a existência de
dois ou mais fatores compondo o polinômio divisor
na situação de divisibilidade, ou seja, de resto nulo.
Exemplo:
4
2
(FEI-SP) Dado o polinômio p(x) = 4x – 5x – 3bx + a,
calcule os valores de a e b de modo que p(x) seja
divisível por g(x) = x2 – 1.
Resolução:
Fazendo g(x) = (x + 1)(x – 1)
Temos que, como conseqüência, que P(x) é divisível
por (x + 1) e por (x – 1).
Logo:
P(– 1) = 0  4(– 1) – 5(– 1) – 3b(– 1) + a = 0
P( 1 ) = 0  4 (1)4 – 5 (1)2 – 3b (1) + a = 0
4
2
 3b  a  1
Resolvendo o sistema 
 3b  a  1
Resposta: a = 1 e b = 0.
EXERCÍCIOS SÉRIE AULA
15) (MR 2010) Determine p+q para que o polinômio
P( x)  2x3  4x 2  px  q seja divisível por (x + 1).(x –
2).
a) – 2
b) 4
c) 2
d) – 4
e) – 1
16) (Mack–SP 2005) Um polinômio tem resto A,
quando dividido por (x – A), e resto B, quando
dividido por (x – B), sendo A e B números reais. Se o
polinômio p(x) é divisível por (x – A).(x – B), então:
a) A = B = 0
b) A = 1 e B = – 1
c) A = 1 e B = 0
d) A = B = 1
e) A = 0 e B = 1
6
7. FATORAÇÃO DE UM POLINÔMIO
Seja P(x) um polinômio de grau n, n  1, dado por:
P( x)  anxn  an  1xn  1   a1x  a0 , ( a0  0)
Podemos decompô-lo em “n” fatores do 1º grau sob a
forma: P(x) = an .( x – x1 ).( x – x2 ).( x – x3 ) ... ( x – xn ).
Em que x1 , x2 , x3 , . . . , xn são as “n” raízes de P(x)
e an é o coeficiente dominante de P(x).
Por exemplo, seja o polinômio
P(x) = ax3 + bx2 + cx + d, com raízes x1 , x2 e x3 .
Decompondo o mesmo em fatores do 1º grau,
teremos:
P(x)= a.( x – x1 )( x – x2 ) ( x – x3 )
Observações:
1. Se duas, três ou mais raízes forem iguais, dizemos
que são raízes duplas, triplas etc.
2. Uma raiz “c” do polinômio P(x) é dita raiz dupla ou
de multiplicidade 2 se P(x) é divisível por (x – c)2.
3. Dizemos que cada um dos polinômios do 1º grau,
(x – x1), (x – x2), (x – x3), ... , (x – xn), é um fator de
P(x).
4. P(x) é divisível, individualmente, por cada um de
seus fatores.
Utilizaremos o dispositivo de Briot-Ruffini, abaixando
o grau do mesmo, para encontrarmos as raízes de
um polinômio P(x).
Usando, como exemplo, um P(x) de grau 3 ...
Sabemos que P( x)  a( x  x1)  ( x  x 2 )  ( x  x3 )
símbolos) que ensinava como proceder para
determinar as raízes em exemplos concretos com
coeficientes numéricos
* Bhaskara que nasceu na Índia em 1.114 e viveu
até cerca de 1.185 foi um dos mais importantes
matemáticos do século 12. As duas coleções de seus
trabalhos mais conhecidas são Lilavati ( "bela") e
Vijaganita ("extração de raízes"), que tratam de
aritmética e álgebra respectivamente, e contêm
numerosos problemas sobre equações de lineares e
quadráticas ( resolvidas também com receiras em
prosa ) , progressões aritméticas e geométricas,
radicais, tríadas pitagóricas e outros.
* Até o fim do século 16 não se usava uma fórmula
para obter as raízes de uma equação do 2º grau,
simplesmente porque não se representavam por letras
os coeficientes de uma equação. Isso só começou a
ser feito a partir da François Viéte, matemático
francês que viveu de 1540 a 1603.
Logo, embora não se deva negar a importância e a
riqueza da obra de Bhaskara, não é correto atribuir a
ele a conhecida fórmula de resolução da equação de
2º grau.
EXEMPLO:
Para escrevermos um polinômio P(x) na forma
fatorada, ou seja, como produto de fatores do 1º grau,
precisaremos do seu coeficiente dominante e de todas
as suas raízes.
Vejamos o Polinômio P( x)  2x3  8x 2  2x  12 ,
sabendo que uma das suas raízes é x1  3 .
1º passo: Utilizar o dispositivo prático de Briot-Ruffini,
com a raiz do polinômio, para abaixar o
grau do mesmo.
Logicamente também sabemos que P(x) é divisível
por cada um dos seus fatores, ou seja:
P(x) é divisível por ( x  x1) , assim como por ( x  x 2 ) e
por ( x  x 3 ) , isto é evidente!
Observe:
2º passo: Igualar o quociente a zero e encontrar as
demais raízes.
Na simplificação efetuada acima, o grau da equação
P(x) = 0 foi reduzido para grau 2 e assim poderemos
encontrar as outras duas raízes de P(x) através da
fórmula de Bhaskara.
CURIOSIDADE
O hábito de dar nome de Bhaskara para a fórmula de
resolução da equação de 2º grau se estabeleceu no
Brasil por volta de 1960. Esse costume,
aparentemente só brasileiro ( não se encontra o nome
de Bhaskara para essa fórmula na literatura
internacional), não é adequado pois :
* Problemas que recaem numa equação de 2º grau
já apareciam, há quase 4.000 anos atrás, em textos
escritos pelos babilônicos. Nestes textos o que se
tinha era uma receita ( escrita em prosa, sem uso de
OBS: Neste exemplo, bastou apenas uma raiz
conhecida para, com o rebaixamento encontrado,
calcularmos as demais raízes com a aplicação da
fórmula de Bhaskara.
Caso o polinômio tivesse grau 4, precisaríamos do
conhecimento e respectiva utilização de duas raízes
do mesmo para, utilizando o dispositivo prático de
Briot-Ruffini por duas vezes (uma para cada raiz
conhecida) chegarmos ao cálculo das outras duas
raízes através da fórmula de Bhaskara.
3º passo: De posse de todas as raízes do polinômio
P(x) e do seu coeficiente dominante...
P
x) 
2
( x

3)(

1)(
x

2)
( 

x
Forma fatorada do polinômio P(x).
7
EXERCÍCIOS SÉRIE AULA
8. RELAÇÕES DE GIRARD
17) (MR 2010) O resto da divisão do polinômio
P(x) = – 2x3 – 5x2 – x + k + 1 , k  IR, por (x + 1) é
igual a zero. O polinômio P(x), escrito na forma
fatorada (produto de fatores do 1º grau) é:
Algumas relações entre os coeficientes de uma
equação e suas raízes, conhecidas como Relações de
Girard, constituem uma ferramenta importante na
resolução de equações quando conhecemos alguma
informação sobre suas raízes.
a) P( x)  ( x  1)( x  2)( x  1)
1
b) P( x )   ( x  1)( x  2)( x  1/ 2)
2
c) P( x)  2( x  1)( x  2)( x  1/ 2)
d) P( x)  2( x  1)( x  2)( x  1)
e) P( x)   2( x  1)( x  2)( x  2)
18) (MR 2010)
Se o polinômio P( x)  x 4  4x3  7x 2  22x  24 é
divisível por ( x  2) , podemos afirmar que um dos
seus fatores de 1º grau é o polinômio
Sugestão: Em toda equação, sempre verifique se
a soma dos seus coeficientes é igual a zero; se o
for, com certeza 1 (um) é raiz da referida equação
e, assim sendo, podemos utilizar esta raiz 1 (um)
conhecida para, com o uso do dispositivo prático
de Briot-Ruffini, abaixar o seu grau e
determinarmos as demais raízes.
a) x + 1
b) x – 3
c) x + 4
d) 2x + 6
e) x2 – 1
19) (MR 2010) Os zeros (ou raízes) do polinômio
P(x) = x3 + x2 – 26x +24 são:
a) –6, – 4, 1
b) –6, 1, 4
c) –4, –1, 6
d) –1, 4, 6
e) 1, 4, 6
20) (UFES modificada)
Sabendo que o polinômio P(x) = 2x3 + m x2 + x – 2 é
divisível por (x + 2), podemos decompô-lo num
produto de fatores do 1º grau. O polinômio P(x) e o
valor da constante m encontram-se na alternativa:
a) P(x) = 2(x + 2)(x – 1)( x – 3); m = – 2
b) P(x) = 2(x + 2)(x – 1)( x + 3); m = – 1
c) P(x) = 2(x + 2)(x + 1)( x – 1/3); m = 5
d) P(x) = 2(x + 2)(x + 1)( x + 1/2); m = 5
e) P(x) = 2(x + 2)(x + 1)( x – 1/2); m = 5
x1  x 2  
ax2 + bx + c = 0
x1  x 2 
b
a
c
a
x1  x 2  x 3  
ax3 + bx2 + cx + d = 0
b
a
x1.x 2  x1.x 3  x 2 .x 3 
x1.x 2 .x 3  
c
a
d
a
Observações: Para equações de graus maiores que três,
deveremos, atentando-se à sequência alfabética dos
coeficientes e à alternância dos sinais à direita da
igualdade, seguir o seguinte procedimento com suas
raízes.
Exemplo: (MR 2010) Determine o conjunto solução
da equação P( x)  x3  4x 2  x  6 , sabendo que uma
das suas raízes é a igual à soma das outras duas.
Resolução:
Considerando x1, x2 e x3 as raízes da equação abaixo:
x 3  4x 2  x  6  0
Girard:
 ( 4)
x1  x 2  x 3 
 x1  x 2  x 3  4 ......( 1)
1
Do enunciado:
x 2  x3  x1 .......................................( 2 )
Substituindo ( 2 ) em ( 1 ):
x1 +(x1) = 4  2x1 = 4  x1 = 2
1) Temos que x3  4x 2  x  6  0, onde x1  2 ;
2) Abaixando o grau da equação com a utilização do
dispositivo prático de Briot-Ruffini
2
1
–4
1
6
1
–2
–3
0
4) Assim,
x 3  4x 2  x  6  0 (x – 2).(x2 – 2x – 3) = 0
(x – 2)(x2 – 2x – 3) = 0
x2 – 2x – 3= 0  x2 = – 1 ou x3 = 3.
Resposta: S = { – 1; 2; 3 }.
Observação Importante:
Alguns testes sobre raízes de uma equação utilizam
os termos raízes simétricas (ou opostas) e raízes
recíprocas.
x1  A e x 2   A ;
Raízes Simétricas:
Raízes Recíprocas:
x1  A e x 2 
1
A
8
9. MULTIPLICIDADE DE UMA RAIZ
PARA NÃO ESQUECER:
Na decomposição de P(x) em fatores de primeiro
grau, observamos que o fator (x – a) pode aparecer
uma vez, duas vezes,..., m vezes. Então podemos
dizer que a raiz em questão tem multiplicidade 1, 2,...,
m, respectivamente.
1. SOMA DOS COEFICIENTES DE UM POLINÔMIO
10. TEOREMA DAS POSSÍVEIS RAÍZES RACIONAIS
SC = P(1) = 2 + 3 – 7 + 10 = 8.
p
Se um número , com p e q primos entre si e q  0 ,
q
é raiz de uma equação algébrica
an x n  an 1x n 1  ...  a1x  a0  0
de coeficientes inteiros, então
p é divisor de a e q é divisor de an .
0
Exemplo: Determine as raízes da equação
x4 – 2x3 – 7x2 + 8x + 12 = 0.
Pelo Teorema das
possíveis
raízes racionais:
Divisores de 12:
  1,  2,  3,  4,  6,  12 
Divisores de 1 :
  1
As possíveis raízes “x” serão obtidas do quociente
1,  2,  3,  4,  6,  12
, ou seja,
1
x  {  1,  2,  3,  4,  6,  12 } .
Utilizamos o dispositivo prático de Briot-Ruffini
para verificar as possíveis raízes ...
Para calcular a soma “SC” dos coeficientes de um
polinômio P(x), basta calcular o valor numérico do
polinômio para x = 1, ou seja, calcular P(1).
Exemplo-1: P(x) = 2x4 + 3x2 – 7x + 10
Exemplo-2: O binômio ( 3 x 5 y 3  z 2 )10 possui 11
termos e, respectivamente, 11 coeficientes reais. Para
calcularmos a soma dos seus onze coeficientes reais
basta que façamos todas as letras iguais a “1” e
efetuarmos a potência resultante, ou seja,
SC = ( 3.15 .13  12 )10  S  210 = 1 024.
2. TERMO INDEPENDENTE DE UM POLINÔMIO
Para calcularmos o termo independente “TI” de
um polinômio P(x), basta calcular o valor
numérico do polinômio para x = 0, ou seja,
calcular P(0).
Exemplo-3: P(x) = 2x4 + 3x2 – 7x + 10
TI = P(0) = 0 + 0 – 0 + 10 = 10.
Exemplo-4: Para o binômio ( 2 x 3 y  1 )100 , basta que
façamos todas as letras iguais a zero e efetuarmos a
potência resultante, ou seja,
TI = ( 0  1 )100  TI = 1.
EXERCÍCIOS SÉRIE AULA
21) (Cesgranrio)
Se x1 e x2 são as raízes de x2 + 57x – 228 = 0, então
1
1
vale:

x1 x 2
11. TEOREMA DAS RAÍZES IRRACIONAIS
Numa equação de coeficientes racionais,
se (m  n ) for raiz irracional, então (m  n )
também o será, com m e n racionais.
Exemplo:
Determine as raízes da equação x³ - 4x² + 3x + 2 = 0,
sabendo que a menor delas vale 1 2 .
Resolução: Como a equação possui coeficientes
racionais, se x1  1  2 é uma das suas raízes, pelo
teorema das raízes irracionais, x 2  1  2 .
Por Girard, x1 + x2 + x3 = 4 , assim:
(1  2 )  (1  2 )  x3  4
 x3  2
S  { 1 2 ; 1 2 ; 2 } .
a) – 1/4
b) – 1/2
c) 1/4
d) 1/2
e) 1
22) (U.F.São Carlos-SP modificada)
Sabendo-se que a soma de duas das raízes da
equação x3 – 7x2 + 14x – 8 = 0 é igual a 5, pode-se
afirmar a respeito das raízes que:
a) são todas iguais e não nulas
b) somente uma é nula
c) as raízes podem constituir uma P.G.
d) as raízes podem constituir uma P.A.
e) nenhuma raiz é real
23) (Fuvest-SP) Sabe-se que o produto de duas
raízes da equação algébrica 2x3 – x2 + kx + 4 = 0 é
igual a 1. Então o valor de k é:
a) – 8
b) – 4
c) 0
d) 4
e) 8
9
24) (Fuvest-SP) Se a equação 8x3 + kx2 – 18x + 9 = 0
tem raízes reais a e – a, então o valor de k é:
a) 9/4
b) 2
c) 9/8
d) – 2
e) – 4
DISCURSIVAS VEST 2011
1) (MR 2010) Seja o polinômio P(x) tal que:
P(x)  x3  bx2  cx  d ,
cujo esboço gráfico encontra-se na figura abaixo:
25) (Unificado-RJ) Se a, b e c são as raízes da
equação x3 – 10x2 – 2x + 20 = 0, então o valor
da expressão a2bc + ab2c + abc2 é igual a:
a) 400
b) 200
c) – 100
d) – 200
e) – 400
a) calcule os coeficientes b e c de P(x).
b) determine termo independente de P(x).
c) escreva P(x) como produto de fatores, sendo um do
1º grau e outro de 2º grau.
d) calcule o resto R(x) da divisão de P(x) por x² + x – 6
e determine R(1/8).
2) (FUVEST-SP/2002) As raízes do polinômio
p( x)  x3  3x2  m , onde m é um número real,
estão em progressão aritmética.
Determine:
a) o valor de m;
b) as raízes desse polinômio.
3) (UERJ) As dimensões de um paralelepípedo
retângulo são dadas pelas raízes do polinômio a seguir:
3x
3
 13 x
2
 7 x 1
Em relação a esse paralelepípedo, determine:
a) a razão entre a sua área total e o seu volume;
b) suas dimensões.
4) (UFRJ) Encontre as raízes de
x3  15x2  66x  80  0
sabendo que são reais e estão em progressão
aritmética.
5) (UFMG/2001) Os polinômios
p1( x)  x2  4 e p2 ( x)  x2  7x  10 dividem o
polinômio p( x)  ax3  bx2  12x  c , em que a, b e c
são números reais.
Determine a, b e c.
10
6) (UFF-RJ) Um aluno dividiu o polinômio
p( x)  ax2  bx  c , sucessivamente, por x – 1, x – 2
e x – 3 e encontrou, respectivamente, restos 0, 0 e 1.
Determine o polinômio p(x).
GABARITO SÉRIE AULA
1
B
6
D
11
D
16
A
21
C
2
B
7
E
12
B
17
C
22
C
3
C
8
C
13
D
18
C
23
A
4
C
9
C
14
E
19
B
24
E
5
A
10
B
15
C
20
E
25
D
RESPOSTAS DAS DISCURSIVAS
7) (UFRJ) Determine todas as raízes reais de
x 4  4x 3  4x 2  x  2  0 .
1a) b = 4 e c = – 5
1b) 2
1c) P(x)  ( x  2).( x  1)2
1d) R(x) = – 16x + 32; R(1/8) = 30.
2) a) m = 2.
2b) 1, 1  3
8) (UFMG/2005) Seja p( x)  x 3  ax2  bx  2 um
polinômio em que a e b são números inteiros.
Sabe-se que 1  2 é uma raiz de p(x). Considerando
essas informações,
1. DETERMINE os coeficientes a e b.
2. DETERMINE todas as raízes de p(x).
e 1 3 .
3a) 14
1
3b) ; 2  3 e 2  3 .
3
4) 2,  5 e  8 .
5) a = 3, b = – 15 e c = 60 .
1
.(x  1).( x  2) .
2
 1 5
 1 5
7) – 1, – 2 ,
e
.
2
2
6) P( x ) 
8) 1. a = – 4 e b = 3
8) 2. 1  2 , 1  2 e 2 .
9) D  110 cm.
9) (UFES) Se as dimensões, em centímetros, de um
paralelepípedo reto retangular são dadas pelas raízes
da equação x3  14x 2  43x  30  0 , calcule o
comprimento da diagonal do paralelepípedo.