CSE-MME
Revisão de Métodos Matemáticos
para Engenharia
Engenharia e Tecnologia Espaciais – ETE
Engenharia e Gerenciamento de Sistemas Espaciais
07.02.2012
L.F.Perondi
Engenharia e Tecnologia Espaciais – ETE
Engenharia e Gerenciamento de Sistemas Espaciais
CSE-MME-b
1 - Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
Sumário
1.1 – Definições
1.2 – Classificação de Equações Diferenciais
Ordinárias (EDO)
1.3 – Solução de EDO de primeira ordem
1.4 – Solução de EDO de ordem superior
1.5 – Problemas de Valor Inicial
1.6 – Problemas de Valor de Contorno
1.6 – Equações diferenciais como modelos
matemáticos de fenômenos
07.02.2012
CSE-MME Equações Diferenciais Ordinárias
EDO – 07.02.2012
1.1 - Definições
Uma variedade de problemas em Física e Engenharia (e em
outras áreas) são formulados em termos de equações
diferenciais.
De forma geral, uma equação diferencial expressa uma relação
entre uma quantidade e suas variações com respeito a uma ou
mais variáveis independentes.
Equações diferenciais ordinárias apresentam uma única
variável independente ,enquanto que equações diferenciais
parciais apresentam duas ou mais variáveis independentes.
Nesta revisão, nos restringiremos às equações diferenciais
ordinárias.
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CSE-MME Equações Diferenciais Ordinárias
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Exemplo de notação utilizada:
Exemplos de equações:
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1.2 – Classificação das Equações
Diferenciais
Equações diferenciais ordinárias podem ser classificadas
quanto às seguintes características: tipo, ordem e linearidade.
1.2.1 – Classificação por Tipo
Se a equação contiver somente derivadas de uma ou mais
funções dependentes em relação a uma única variável
independente, ela será denominada de equação diferencial
ordinária (EDO), caso contrário será denominada de equação
diferencia parcial (EDP).
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Exemplos:
EDO:
EDP:
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1.2.2 – Classificação por Ordem
A ordem de uma equação é definida como sendo igual à da
derivada de maior ordem na equação.
Ex.:
ordem 2;
ordem 2.
ordem 1.
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1.2.3 – Classificação por Linearidade
Uma equação de ordem n
é classificada como linear quando F é linear em
.
A forma geral de uma equação linear é dada por:
- potência 1 para todas as derivadas,
- coeficientes são funções unicamente da variável independente.
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Exemplos:
lineares,
não lineares.
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1.2.4 – Formas Geral e Normal de uma Equação
forma geral;
forma normal.
Nem toda equação diferencial pode ser expressa na forma
normal (ex.: equações diferenciais que sejam transcedentais
na maior derivada).
Nesta revisão, nos restringiremos às equações diferenciais que
possam ser expressas em sua forma normal.
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1.3 – Equações Diferenciais de Ordem 1
1.3.1 – Existência de Solução Única
Dada a equação de ordem 1
haverá uma solução única em uma região do plano x-y se, e
somente se,
e
forem contínuas nesta região.
Exemplos:
Soluções em regiões que
incluem y = 0 não serão
necessariamente únicas.
Esta equação apresentará
solução única para qualquer
região do plano x-y.
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1.3 – Equações Diferenciais de Ordem 1
1.3.2 – Soluções para Casos Especiais
A)
B)
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1.3 – Equações Diferenciais de Ordem 1
1.3.2 – Soluções para Casos Especiais
C) Separação de Variáveis
D) Equação Linear
onde
é a solução da equação homogênea e
solução particular.
uma
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1.3 – Equações Diferenciais de Ordem 1
D) Equação Linear (cont.)
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1.3 – Equações Diferenciais de Ordem 1
1.3.2 – Soluções para Casos Especiais
E) Diferencial Exata
Diferencial será exata se e somente se
esta condição for satisfeita.
Exemplo. Considere a equação:
Observa-se que:
de modo que:
Portanto a diferencial dada é exata.
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1.3 – Equações Diferenciais de Ordem 1
1.3.2 – Soluções para Casos Especiais
F) Diferencial Não-Exata
Fator integrante: μ
Requer-se que:
Obtém-se:
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1.3 – Equações Diferenciais de Ordem 1
1.3.2 – Soluções para Casos Especiais
F) Diferencial Não-Exata
Casos especiais:
Se
será:
depender somente de x, então um fator integrante
Se
será:
depender somente de y, então um fator integrante
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1.4 – Equações de Ordem Superior a 1
1.4.1 – Equações Lineares – Teoria Geral
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1.4 – Equações de Ordem Superior a 1
Teoria Geral
1- Existência de Solução
Se
forem contínuas em um
intervalo I da variável independente x e se
em I, então
existe uma única solução da equação neste intervalo.
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1.4 – Equações de Ordem Superior a 1
Teoria Geral
2-Solução da Equação Homogênea (g(x) = 0)
Uma equação diferencial linear homogênea de ordem n apresenta
n soluções linearmente independentes. A solução geral é dada
pela combinação linear de quaisquer n soluções linearmente
independentes. (
contínuos e
)
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1.4 – Equações de Ordem Superior a 1
Teoria Geral
Complemento - Critério de independência linear
As n funções
serão linearmente independentes
em um intervalo I sse o determinante W(x) for diferente de zero
para todo x em I, onde:
.
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1.4 – Equações de Ordem Superior a 1
Teoria Geral
3-Solução Geral
A solução geral de uma equação diferencial de ordem n é dada
pela soma da solução geral da equação homogênea e uma solução
particular da equação não-homogênea.
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1.4 – Equações de Ordem Superior a 1
1.4.2 – Coeficientes Constantes
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1.4 – Equações de Ordem Superior a 1
Equações Homogêneas
(1)
-Uma equação diferencial homogênea de ordem n terá n
soluções linearmente independentes. A solução geral
é
expressa por uma combinação linear destas n soluções.
- Forma geral das soluções:
, onde m é uma
constante.
Substituindo-se esta forma em (1), obtém-se a seguinte
equação para m:
,
cuja solução é dada por:
.
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1.4 – Equações de Ordem Superior a 1
Casos:
a) Raízes reais
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1.4 – Equações de Ordem Superior a 1
Casos:
b) Raízes imaginárias
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1.4 – Equações de Ordem Superior a 1
Casos:
c) Raízes múltiplas
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1.4 – Equações de Ordem Superior a 1
Equações Não-Homogêneas
A solução geral de uma equação não-homogênea de ordem n é
dada por:
onde
é a solução da equação homogênea associada e
uma solução particular da equação não-homogênea.
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1.4 – Equações de Ordem Superior a 1
Equações Não-Homogêneas
Como obter
?
Um caminho consiste em estabelecer uma função tentativa a
partir das características da função
.
a)
 polinômio
Substituindo-se a
função-tentativa
na
equação diferencial,
obtém-se um conjunto de
equações que definem as
constantes
.
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1.4 – Equações de Ordem Superior a 1
Equações Não-Homogêneas
b)
 função trigonométrica
Ex.:
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1.4 – Equações de Ordem Superior a 1
Equações Não-Homogêneas
b)
 função trigonométrica
Ex.: (cont.)
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1.4 – Equações de Ordem Superior a 1
Equações Não-Homogêneas
c)
 função exponencial
Ex.:
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1.4 – Equações de Ordem Superior a 1
Equações Não-Homogêneas
c)
 função exponencial
Ex.: (cont.)
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1.4 – Equações de Ordem Superior a 1
Equações Não-Homogêneas
d)
 combinações polinômio+f. trigonométrica+exponencial
Ex.:
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1.5 – Problema de Valor Inicial
Resolver:
sujeito à:
Se
e
e g(x) forem contínuos em I,
para todo x em I, e
é um ponto pertencente a I,
sempre haverá uma solução única para o problema acima.
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1.6 – Problema de Valor de Contorno
Resolver:
em um intervalo I, sujeito a condições que envolvem os valores da
função e suas derivadas (até ordem n) em dois ou mais pontos do
intervalo I.
Ex.:
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1.6 – Problema de Valor de Contorno
Um problema de valor de contorno poderá ter uma, muitas ou
nenhuma solução.
Ex.:
a)
 A = 0, B sin(2*pi) = 0  número infinito de
soluções.
b)
 A = 0, B sin(pi/2) = 1  uma única
solução.
c)
 A = 0, B sin(2*pi) = 1  não existe solução
para o problema.
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1.7 – Equações diferenciais como modelos de
fenômenos
a) Dinâmica populacional
Seja P o número de indivíduos em uma dada população. Em
certas circunstâncias, observa-se que, em um intervalo de
tempo, a variação de P é proporcional a P:
.
O crescimento da população com o tempo pode, então, ser
modelada através da equação diferencial:
.
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1.7 – Equações diferenciais como modelos de
fenômenos
b) Decaimento radiativo
Seja A(t) o número de núcleos radiativos no tempo t em uma
dada amostra. Observa-se experimentalmente que, em um
pequeno intervalo de tempo, o número de núcleos que decaem
radiativamente é proporcional a A(t):
O número de núcleos com o tempo, nesta amostra, pode,
então, ser modelado através da equação diferencial:
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EDO – 07.02.2012
1.7 – Equações diferenciais como modelos de
fenômenos
b-1) Datação por Carbono-14 (Willard Frank Libby )
O isótopo radioativo C-14 é produzido na atmosfera pela ação
de raios cósmicos sobre o N. A razão entre C e C-14 na
atmosfera é praticamente constante ao longo do tempo. Em
organismos vivos aeróbicos, esta razão é igual à da atmosfera.
Quando cessa a vida, cessa, também, a absorção de C-14, via
respiração ou alimentação. Assim, comparando a razão entre
C e C-14 em um fóssil com aquela da atmosfera, pode-se
chegar a uma estimativa da idade do fóssil.
ATMOSFERA
ORGANISMO
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EDO – 07.02.2012
1.7 – Equações diferenciais como modelos de
fenômenos
b-1) Datação por Carbono-14 (cont.)
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1.7 – Equações diferenciais como modelos de
fenômenos
b-1) Datação por Carbono-14 (cont.)
Exemplo:
T1/2 = 5.700 anos
Seja a razão medida em uma amostra igual 0,10 do valor encontrado na
atmosfera. Então:
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1.7 – Equações diferenciais como modelos de
fenômenos
c) Disseminação de uma doença
Sejam X(t) o número de pessoas que contraíram uma gripe e
Y(t) o número de pessoas que ainda não contraíram a gripe,
ambos no tempo t. É razoável supor que o crescimento de X(t)
seja proporcional a X(t)Y(t):
, uma vez que a gripe se
espalha de pessoa para pessoa. Assumindo uma população
constante:
, o número de pessoas infectadas com a
gripe com o tempo, nesta população, pode, então, ser
modelado através da equação diferencial:
.
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1.7 – Equações diferenciais como modelos de
fenômenos
d) Uma massa m sujeita à força produzida por uma mola de
constante elástica K em um sistema massa-mola é descrito
pela equação (2ª Lei de Newton):
substituições
e
. Efetuando as
, obtém-se a equação
diferencial
,
cuja solução proporciona a posição de uma partícula de
massa m com tempo em um sistema massa-mola.
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CSE-MME Equações Diferenciais Ordinárias
EDO – 07.02.2012
Classificação das Equações Diferenciais
Tipo: ordinárias e parciais
Ordem: Ordem 1, 2, 3, ....
Linearidade: lineares e não-lineares
07.02.2012
CSE-MME Equações Diferenciais Ordinárias
EDO – 07.02.2012
07.02.2012
Y = (x**2/4 + 1)**2
Y = (x**2/4 - 1)**2