MATEMÁTICA
PRÉ-VESTIBULAR
LIVRO DO PROFESSOR
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© 2006-2009 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do
detentor dos direitos autorais.
I229
IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. —
Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]
660 p.
ISBN: 978-85-387-0571-0
1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.
CDD 370.71
Disciplinas
Autores
Língua Portuguesa
Literatura
Matemática
Física
Química
Biologia
História
Geografia
Francis Madeira da S. Sales
Márcio F. Santiago Calixto
Rita de Fátima Bezerra
Fábio D’Ávila
Danton Pedro dos Santos
Feres Fares
Haroldo Costa Silva Filho
Jayme Andrade Neto
Renato Caldas Madeira
Rodrigo Piracicaba Costa
Cleber Ribeiro
Marco Antonio Noronha
Vitor M. Saquette
Edson Costa P. da Cruz
Fernanda Barbosa
Fernando Pimentel
Hélio Apostolo
Rogério Fernandes
Jefferson dos Santos da Silva
Marcelo Piccinini
Rafael F. de Menezes
Rogério de Sousa Gonçalves
Vanessa Silva
Duarte A. R. Vieira
Enilson F. Venâncio
Felipe Silveira de Souza
Fernando Mousquer
Produção
Projeto e
Desenvolvimento Pedagógico
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Função
Exponencial
3)A função f(x) = ax, com 0 < a ≠ 1 é injetora.
f(x1) = f(x2)
O estudo das funções exponenciais, apesar de
ser posterior ao dos logaritmos, está diretamente
relacionado a ele. Na verdade ambos possuem uma
característica importante que motivou o seu desenvolvimento no século XVII, que é a possibilidade
de simplificar cálculos matemáticos transformando
multiplicações e divisões em adições e subtrações.
As funções exponenciais aparecem em diversas aplicações científicas e profissionais, como por
exemplo, o montante de um capital aplicado a juros
compostos fixos e a desintegração radioativa.
Essa propriedade respalda a solução das equações exponenciais.
4)A função f(x) = ax, com 0 < a ≠ 1 é ilimitada
superiormente e a sua imagem é o conjunto
dos números reais positivos (R+*).
Gráfico
O gráfico da função exponencial f(x) = ax, com 0
< a ≠ 1, tem as seguintes características:
•• está todo acima do eixo Ox;
•• corta o eixo Oy no ponto de ordenada 1;
Função exponencial
•• é crescente para a > 1 e decrescente para
0 < a < 1;
Seja a R, tal que 0 < a 1, a função exponencial
de base a é a função f: R R tal que f(x) = a x
•• o eixo x é assíntota do gráfico.
``
Exemplo:
f(x) = 3x, f(x) = (1/2)x e f(x) = ( 5 )X
Propriedades
É interessante observar que o crescimento exponencial (a > 1) supera o de qualquer polinômio.
Os gráficos da função exponencial estão exemplificados abaixo:
1.º caso: a > 1 (função crescente)
y f(x) = ax (a>1)
1)Como f(0) = a0 = 1, o par ordenado (0, 1) pertence ao gráfico da função exponencial.
6
2)Quando 0 < a < 1, a função f(x) = ax é decrescente. Já quando a > 1, a função f(x) =
ax é crescente.
4
2
0 < a < 1:
x1 < x2
f(x1) > f(x2)
a > 1:
x1 < x2
EM_V_MAT_006
x1 = x 2
–3
–2
–1
0
1
2
3
x
f(x1) < f(x2)
Essa propriedade tem aplicação na resolução
das inequações exponenciais.
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1
2.º caso: 0 < a < 1 (função decrescente)
y
(4) y = (1/2)x
(2) y = (1/3)x
(3) y = (1/4)x
f(x) = ax (0<a<1)
6
–3
–2
–1
(4)
(5)
(6)
y
4
6
2
4
0
1
2
3
2
x
–3
–2
–1
0
1
2
3
x
Uma característica peculiar dos gráficos das
funções exponenciais f(x) = ax, com a > 1, e g(x) =
(1/a)x, onde consequentemente 0 < 1/a < 1, é que
eles são simétricos em relação ao eixo y, pois f(−x)
= g(x). Isso está exemplificado abaixo para f(x) = 2x
e g(x) = (1/2)x.
y
Seja f: R R, f(x) = b . ax uma função do tipo
exponencial e x1, x2, ..., xn uma progressão aritmética de razão r, então f(x1), f(x2), ... , f(xn) formam
uma progressão geométrica de razão ar.
6
4
1
y=
2
–3
y = 2x
2
–2
–1
0
1
2
3
x
Os gráficos seguintes retratam as mudanças
nos gráficos quando varia o parâmetro a.
(1) y = 2x
(2) y = 3x
(3) y = 4x
(2)
(3)
(1)
y
Equações exponenciais
Equações exponenciais são equações cuja incógnita encontra-se no expoente.
Nesse módulo, vamos estudar as equações
que podem ser resolvidas reduzindo os dois membros a uma base comum, o que possibilita igualar
os expoentes em virtude da injetividade da função
exponencial.
Sendo 0 < a 1, então:
ax = an
x=n
–3
2
–2
–1
4
Serão apresentados exemplos com as variações
mais comuns desse tipo de problema.
2
Exemplos de equações
0
1
2
3
x
Para a resolução dessas equações basta adotar
o procedimento acima, ou seja, reduzir ambos os
membros a uma base comum.
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EM_V_MAT_006
6
1)3x =243
3x=35
1
32
5
x= –
3
2)8x =
x=5
(23)x=2–5
4
x
3
3)( 3 )x = 9
34 =3
9)4x + 6x=2 . 9x (: 9x)
23x = 2–5
2
3
3x = – 5
x
2
=
4
3
x=
8
3
No próximo exemplo é necessário observar que,
para todo a 0, tem-se a0 = 1.
2
2
4)52x +3x–2 =1 52x +3x–2 =50 2x2+3x – 2=0
x = –2 x= 1
2
23x–1 . (22 )2x+3 = (23 )3–x
ou
5)23x–1 . 42x+3 = 83–x
23x–1. 24x+6 = 29–3x
27x+5 =29–3x
7x + 5 = 9 – 3x
10x = 4
x = 0,4
5x–2 . (1–52+53) = 505
5x–2 = 51
x – 2=1
101 . 5x–2 = 505
x=3
No caso abaixo, devemos fazer a substituição
y=2x e reduzir a equação a uma equação de 2.º
grau.
7)4x + 4 = 5 . 2x (2x)2 – 5.2x +4 = 0
y = 2x
y2 – 5y + 4 = 0
2x = 1
2x = 20
x=0
2x = 4
2x = 22
x=2
y = 1 ou y = 4
Agora a base também é uma variável. A base da
função exponencial deve ser maior que 0 e diferente
de 1. Nesse caso, podemos apelar para a injetividade
exponencial e igualar os expoentes. Entretanto, é
preciso considerar a possibilidade da base ser 0 ou
1, que devem ser analisados em separado.
2
8)xx – 5x+6 = 1
•• x=0
06=1 (falso)
•• x=1
12=1 (verdadeiro)
2–5x+6
•• 0<x 1: xx
=1
2–5x+6
xx
= x0
x – 5x+6=0
2
x=2 ou x=3
EM_V_MAT_006
S= 1, 2, 3
Esse é um caso especial, em que temos várias
bases diferentes, mas podemos reduzir a uma base
comum.
x
=1
x=0
2
+ 3
– 2=0
x
2
y=
y2 + y – 2 = 0
3
y=1
ou
y= – 2 (não convém)
2
3
2
3
x
+ 6
9
– 2=0
x
Inequações exponenciais
A resolução de inequações exponenciais é baseada na monotonicidade da função exponencial. Os
dois casos estão apresentados abaixo:
Nesse caso, devemos colocar em evidência 5
elevado ao menor expoente.
6)5x–2 – 5x + 5x+1 = 505
5x–2 – 52 . 5x–2 +53 . 5x–2 = 505
2x
x
4
9
a > 1: ax >an x > n
0 < a < 1: ax >an x < n
As expressões acima refletem o fato da exponencial ser crescente para bases maiores que 1 e
decrescente para bases entre 0 e 1. Assim, a relação
entre os expoentes é a mesma que entre as exponenciais para bases maiores que 1 e é invertida para
bases entre 0 e 1.
A seguir serão apresentados exemplos de resolução de inequações exponenciais.
Exemplos de inequações
A resolução das inequações a seguir é feita
reduzindo ambos os membros a uma base comum e
aplicando a propriedade das consequências imediatas, que consiste em manter o sinal da desigualdade
entre os expoentes quando a base for maior que 1 e
invertê-lo quando a base estiver entre 0 e 1.
1)3x >243 3x >35 x>5
x
125
2) 3
5
27
x –3
3
5
x
3)(27x–2)x+1 (9x+1)x–3
5
3
3
3
5
x
3
5
–3
33(x–2) (x+1) 32(x+1)(x–3)
3 (x–2)(x+1) 2 (x+1)(x–3)
x2+x 0
x –1
ou x 0
No caso a seguir, devemos colocar em evidência
3 elevado ao menor expoente.
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3
``
4)32x+1 – 9x – 32x–1 – 9x–1 42
32x+1 – 32x – 32x–1 – 32x–2 42
2x–2
–3 .3
2
2x–2
–3.3
2x–2
32x–2 . (33 – 32 – 3 – 1) 42
1) 2x+2 =3
–3
2x–2
42
14.32x–2 42
3
2
Nesse caso, devemos fazer a substituição y=3x
e reduzir a inequação a uma inequação de 2.º grau.
5)32x – 3x+1 >3x – 3 32x – 3 . 3x >3x – 3
32x–2 3
2x – 2 1
x
y2– 4y+3>0
3x<1
x<0
3 >3
x>1
x
y<1 ou y>3
S= x R x<0 ou x >1
No próximo exemplo, a base também é uma variável, sendo preciso analisar em separado os casos
de base 0 e 1.
2
6)Resolva em R+, xx – 5x+7 x.
I) x = 0 07 0 (verdadeiro)
II) x = 1 13 1 (verdadeiro)
III) 0 < x < 1 x2 – 5x +7 1
x2 – 5x +6 0 x 2 ou x 3
S1 = ]0, 1[
IV) x > 1 x2 – 5x +7 1 x2 – 5x +6 0
2 x 3 S1 = [2, 3]
S = [0, 1] [2, 3]
Equações exponenciais
A definição de logaritmo como inversa da função
exponencial permite resolver de imediato equações
exponenciais.
ax=b x = logab
Cabe observar que se deve colocar a equação
exponencial na forma ax = b .
Uma outra maneira de se resolver a equação
exponencial é aplicar o logaritmo em ambos os membros da equação exponencial.
logcb
ax = b logc ax = logc b x =
=logab
logca
Nesse caso, não é necessário sempre colocar a
equação na forma ax = b, podendo alternativamente
aplicar primeiro o logaritmo numa base conveniente
e posteriormente determinar a variável.
4
=3
x+2 = log2 3
x = log2 3 – 2
3x+4
2X
1.a sol.: 7 =33X . 34 7 3X = 7 . 34
7
3
72 x
4
x = log 567
33 =7 . 3
2.a sol.: 72x –1 = 33x+4 log 72x –1 = log 33x +4
2X
(2x–1) . log 7 = (3x + 4) . log 3
2x . log 7 – 3x log 3 = 4 . log 3 + log 7
32x – 4 . 3x +3 > 0
y=3x
2) 7
2x –1
x(2 . log 7–3 . log 3) = 4 . log 3+ log 7
x = log 7+4 log 3
2 log 7– 3 log
Inequações exponenciais
Da mesma forma que as equações exponenciais,
as inequações podem ser resolvidas pela aplicação
de logaritmos, considerando que a função logarítmica
é crescente quando a base é maior que 1 e decrescente quando a base está entre 0 e 1.
ax > b
ax < b
x > loga b, se a>1
x < loga b, se 0< a<1
x < loga b, se a>1
x > loga b, se 0< a<1
Caso seja conveniente, pode ser adotada outra
base para o logaritmo em vez da base a.
log29 – 2
1)23x+2 > 9 3x+2>log2 9 x>
3
1 x
5 x log 5 x – log35
2)
3
3)2x–2 > 32x–1
x – 2 >(2x – 1) log23
x(1 – 2 log23) > 2 – log23
x<
2 – log2 3
1 – 2log2 3
Note que 1 – 2 log23<0.
1. (UERJ) Uma empresa acompanha a produção diária de
um funcionário recém-admitido, utilizando uma função
f(d), cujo valor corresponde ao número mínimo de peças
que a empresa espera que ele produza em cada dia (d),
a partir da data de sua admissão. Considere o gráfico
auxiliar abaixo, que representa a função y = ex
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EM_V_MAT_006
3 .3
3
Exemplos:
d) gráfico 2 e gráfico 4.
y=ex
e) gráfico 3 e gráfico 4.
2,72
``
Solução: A
A função que representa a população da cidade A é
f(n) = p0 ⋅ (1,03)n , onde p0 é a população inicial da
cidade A.
0,37
0,13
–2
–1
x
1
Utilizando f(d) = 100 –100 . e−0,2d e o gráfico acima,
a empresa pode prever que o funcionário alcançará a
produção de 87 peças num mesmo dia, quando d for
igual a:
a) 5
Logo, a população da cidade A cresce exponencialmente,
o que aparece no gráfico 2 e a população da cidade B
cresce linearmente, o que aparece no gráfico 1.
3. (Fuvest) Das alternativas abaixo, a que melhor corresponde ao gráfico da função f(x) = 1 – 2–|x| é:
a)
b) 10
``
A função que representa a população da cidade B é
g(n) = q0 + 3000⋅n, onde q0 é a população inicial da
cidade B.
c) 15
y
d) 20
0,5
Solução: B
f(d) = 100 −100 . e−0,2d = 87
e−0,2.d = 0,13
–3
–2
–1
No gráfico dado, temos 0,13 = e−2, então
e−0,2⋅d = e−2 ⇔
−0,2d = −2
1
2
3
x
0,5
d = 10
2. (UFJF) A população da cidade A cresce 3% ao ano e a
população da cidade B aumenta 3 000 habitantes por
ano. Dos esboços de gráficos abaixo, aqueles que melhor representam a população da cidade A em função do
tempo e a população da cidade B em função do tempo,
respectivamente, são:
População
0
b)
y
1
População
–1,5 –1 –0,5
Tempo
gráfico 1
0
x
0,5 1 1,5 2 2,5
Tempo
gráfico 2
c)
População
População
y
1
Tempo
gráfico 3
Tempo
gráfico 4
a) gráfico 2 e gráfico 1.
–3
–2
–1
0
1
2
3
x
1
EM_V_MAT_006
b) gráfico 1 e gráfico 2.
c) gráfico 3 e gráfico 1.
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5
d)
1
O gráfico de f(x) = 1–  
2
y
x
é:
y
1
1
–3
–2
0
–1
1
2
3
x
–3
1
–2
0
–1
1
2
3
x
1
e)
4.
y
1
–3
–2
y
Depois de se administrar determinado medicamento a
um grupo de indivíduos, verificou-se que a concentração
(y) de certa substância em seus organismos alteravase em função do tempo decorrido (t), de acordo com
a expressão y = y0 . 2–0,5.t em que y0 é a concentração
inicial e t é o tempo em hora.
Nessas circunstâncias, pode-se afirmar que a
concentração da substância tornou-se a quarta parte
da concentração inicial após:
a) 1/4 de hora.
1
b) meia hora.
0
–1
1
2
3
x
1
``
(UFF) A automedicação é considerada um risco, pois
a utilização desnecessária ou equivocada de um medicamento pode comprometer a saúde do usuário: substâncias ingeridas difundem-se pelos líquidos e tecidos
do corpo, exercendo efeito benéfico ou maléfico.
Solução: C
x
1
O gráfico de g(x) =   x é:
2
c) 1 hora.
–3
–2
–1
0
1
2
3
d) 2 horas.
x
e) 4 horas.
1
``
y
Solução: E
y0
–0,5.t
2− 0,5⋅t =2−2 0,5.t = –2 4 horas
4 = y0 . 2
(Fatec) Seja m o menor número real que é solução da
–x
. Então, m é um número:
equação 5x2–2 : 25= 1
125
a) par.
1
b) primo
Com base no gráfico anterior, podemos traçar o gráfico
x
1
de h(x) =  
2
5.
c) não-real.
–3
–2
–1
0
1
2
3
d) irracional.
x
e) divisível por 3.
1
``
Solução: C
–x
1
5x2–2 . 5–2 = (5–3)–x
125
2
5x –4 = 53x x2–4 = 3x x2 – 3x – 4 = 0
x = –1 ou x = 4
6
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EM_V_MAT_006
5x2–2 : 25 =
O menor número real que é solução da equação é
m = – 1, logo
m=
6.
m = 32t – 3t+1+ 108 = 0
y = 3t
–1 = i que não é real.
3t = 9 = 32
(UECE) Se x1 e x2 são as raízes da equação
2x2 . 5x2= 0,001.(103–x)2, então + é:
b) 10
9.
c) 13
d) 34
2 . 5 = 0,001.(10
10x2= 103 – 2X
)
3–x 2
x2
(2.5) = 10 10
x2 = 3–2x
–3.
c) 41
6 – 2X
x2 + 2x – 3 = 0
d) 2,54
x = –3 ou x =1
7.
= (–3)2 + 12 = 10
(Fatec) Se x é um número real tal que 2–x . 4x < 8x+1,
então:
a) – 2 < x < 2
b) x = 1
c) x = 0
e) x > −3/2
x.log 10 = log(2 . 3 . 10)
2
x (1 – log2) = log2 + log3 + 1
log2 + log3 + 1 0,30 + 0,48 + 1 = 1,78 ≅ 2,54
=
x=
0,70
1 – 0,30
1 – log2
5x = 60
log 5x = log60
2–x .22x < 23x+3
3
2x < 23x+3 x < 3x+3 2x >–3 x > –
2
(Unirio) Num laboratório é realizada uma experiência
com um material volátil, cuja velocidade de volatilização
é medida pela sua massa, em gramas, que decresce em
função do tempo t, em horas, de acordo com a fórmula
m = –32t – 3t+1+ 108. Assim sendo, o tempo máximo
de que os cientistas dispõem para utilizar esse material
antes que ele se volatilize totalmente é:
b) superior a 15 minutos e inferior a 30 minutos.
c) superior a 30 minutos e inferior a 60 minutos.
d) superior a 60 minutos e inferior a 90 minutos.
e) superior a 90 minutos e inferior a 120 minutos.
EM_V_MAT_006
Solução: D
2–x . (22)x < (23)x+1
a) inferior a 15 minutos.
``
``
Solução: E
2x . 4x < 8x+1
8.
e) 2,67
10. (UNIRIO) Uma indústria do Rio de Janeiro libera poluentes na Baía de Guanabara. Foi feito um estudo para
controlar essa poluição ambiental, cujos resultados são
a seguir relatados:
d) x < 3/2
``
(FGV) Adotando os valores log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48,
a raiz da equação 5x = 60 vale aproximadamente:
b) 2,28
x2
+
t = 2 horas = 120 minutos.
a) 2,15
Solução: B
x2
y=9
y = –12 (não convém)
Como aos 120 minutos o material se volatilizou totalmente, o tempo máximo de utilização é um valor bem
próximo a 120 minutos, porém, inferior a 120.
a) 5
``
–y2 – 3y + 108 = 0
–32t – 3.3t +108 = 0
Solução: E
Do ponto de vista da comissão que efetuou o estudo,
essa indústria deveria reduzir sua liberação de rejeitos
até o nível onde se encontra P, admitindo-se que o custo
total ideal é o resultado da adição do custo de poluição y
= 2x −1, ao custo de controle da poluição y = 6 . (1/2)x.
Para que se consiga o custo ideal, a quantidade de
poluentes emitidos, em kg, deve ser aproximadamente:
(Considere log 2 = 0,3 e log 3 = 0,4)
a) 1 333
b) 2 333
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7
c) 3 333
d) 9
d) 4 333
e) 10
e) 5333
``
Solução: A
Custo da poluição = custo do controle da poluição
2x −1 = 6 ⋅ (1/2)x
a = 2x
4. (UENF) A inflação anual de um país decresceu no período
de sete anos. Esse fenômeno pode ser representado por
uma função exponencial do tipo f(x) = a . bx, conforme
o gráfico a seguir.
22x − 2x − 6 = 0
a2 − a − 6 = 0
a = −2 ou a = 3
2x = 3 ⇔ x log 2 = log 3
log 3 0,4 4
4
= log 2 = 0,3 = ton = .1 000kg =1 333kg
3
3
a>0
Determine a taxa de inflação desse país no quarto ano
de declínio.
5. (FGV) O gerente de produção de uma indústria construiu
a tabela abaixo, relacionando a produção dos operários
com sua experiência.
a) Ache f (0) e f (1).
b) Resolva f (x) = 0.
2. (UERJ) Pelos programas de controle de tuberculose,
sabe-se que o risco de infecção R depende do tempo
t, em anos, do seguinte modo: R = Ro ⋅ e−kt , em que Ro
é o risco de infecção no início da contagem do tempo t
e k é o coeficiente de declínio. O risco de infecção atual
em Salvador foi estimado em 2%. Suponha que, com a
implantação de um programa nesta cidade, fosse obtida
uma redução no risco de 10% ao ano, isto é, k = 10%.
Use a tabela abaixo para os cálculos necessários:
ex
8,2
9,0
10,0
11,0
12,2
x
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
O tempo, em anos, para que o risco de infecção se torne
igual a 0,2% , é de:
a) 21
b) 22
c) 23
d) 24
3. (Unesp) Num período prolongado de seca, a variação
da quantidade de água de certo reservatório é dada
pela função q(t) = q0 . 2(–0,1).t sendo q0 a quantidade
inicial de água no reservatório e q(t) a quantidade de
água no reservatório após t meses. Em quantos meses a
quantidade de água no reservatório se reduzirá à metade
do que era no início?
8
Experiência (meses)
Produção (unidades por hora
0
6
200
350
Acredita o gerente que a produção Q se relaciona à
experiência t, através da função Q(t) = 500 - A . e-k.t,
sendo e = 2,72 e k um número real, positivo.
a) Considerando que as projeções do gerente de produção dessa indústria estejam corretas, quantos meses de experiência serão necessários para que os
operários possam produzir 425 unidades por hora?
b) Desse modo, qual será a máxima produção possível
dos operários dessa empresa?
6. (UFF) Em um meio de cultura especial, a quantidade de
bactérias, em bilhões, é dada pela função Q definida,
para t ≥ 0, por Q(t) = k ⋅ 5kt, sendo t o tempo, em minuto,
e k uma constante.
A quantidade de bactérias, cuja contagem inicia-se com
o cálculo de Q(0), torna-se, no quarto minuto, igual a
25 Q(0).
Assinale a opção que indica quantos bilhões de
bactérias estão presentes nesse meio de cultura no
oitavo minuto.
a) 12,5
b) 25
c) 312,5
a) 5
d) 625
b) 7
e) 1 000
c) 8
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EM_V_MAT_006
1. (PUC-Rio) Dada a função f(x) = 5 x (5 x − 1)
7.
(UFF) Após acionado o “flash” de uma câmera fotográfica, a bateria começa imediatamente a recarregar
o capacitor que armazena uma quantidade de carga
elétrica (medida em Coulomb) dada por: Q = Q(t) =
Qo⋅(1 − e– ⋅t) sendo:
•• Q(t) a carga elétrica armazenada até o instante t,
medido em segundo;
•• Qo a carga máxima; e
•• λ uma constante.
Considerando λ = ½ e n 10 = 2,3 determine:
a) a expressão de t em função de Q.
b) o tempo necessário para que o capacitor recarregue 90% da carga máxima.
8. (UFJF) A figura abaixo é um esboço do gráfico da função
y = 2x no plano cartesiano.
Observando-se a figura, pode-se concluir que, em
função de a, os valores de b e c são, respectivamente:
a)
a
e 4a
2
b) a −1 e a + 2
c) 2a e
a
4
d) a + 1 e a − 2
11. (UFRGS) Analisando os gráficos das funções reais de
3
variável real definidas por f ( x ) =  
2
x −1
e g (x) = x,
representadas no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, verificamos que todas as raízes da equação
f(x) = g(x) pertencem ao intervalo:
a) [0, 3]
1
Com base nesse gráfico, é correto afirmar que:
a) y0 = y2 − y1
c) [1, 5)
b) y1 = y3 − y2
3
d)  , 6]
c) y1 = y3 + y0
e) (2, 6)
2
d) y2 = y1 ⋅ y0
12. (UFSC) Assinale a soma dos números associados à(s)
proposição(ões) correta(s).
e) y3 = y1 ⋅ y2
9. (UFJF) A função c(t)=200 . 3k.t, com k = 1/12, dá o
crescimento do número C, de bactérias, no instante t
em horas. O tempo necessário, em horas, para que haja,
nessa cultura, 1 800 bactérias, está no intervalo:
a) [0, 4]
(01) Se uma loja vende um artigo à vista por R$ 54,00,
ou por R$20,00 de entrada e mais dois pagamentos mensais de R$20,00, então a loja está cobrando
mais do que 10% ao mês sobre o saldo que tem a
receber.
(02) Se numa área urbana o número de pessoas atingidas por certa doença (não controlada) aumenta
b) [4, 12]
t
c) [12, 36]
3
50% a cada mês, então a função n (t ) = N ⋅   for-
d) [36, 72]
nece o número (aproximado) de pessoas afetadas
pela doença, t meses após o instante em que havia
N pessoas doentes nessa área.
2
e) [72, 108]
10. (UFRN) No plano cartesiano abaixo, estão representados o gráfico da função y = 2x , os números a, b, c e
suas imagens.
EM_V_MAT_006
b)  , 4]
2
(04) Se o produto P é vendido por R$20,00 pela loja A e
por R$40,00 pela loja B, então pode-se dizer que na
loja B o produto P está com o preço 100% acima do
preço praticado pela loja A, e que a loja A está praticando um preço 100% menor do que o praticado
pela loja B.
(08)Admita que a função n(t) = N . 2t forneça o número
aproximado de pessoas atingidas por uma epide-
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9
mia (não controlada) onde t é o número de meses
decorridos a partir do momento em que N pessoas
são acometidas pela doença. Então é correto afirmar
que, num aglomerado urbano com 10 000 habitantes, não ocorrendo aumento populacional, oito meses após existirem 50 pessoas doentes é provável
que toda a população estará doente, caso nada seja
feito para debelar o mal.
)
13. (Unirio) Você deixou sua conta negativa de R$100,00 em
um banco que cobrava juros de 10% ao mês no cheque
especial. Um tempo depois, você recebeu um extrato e
observou que sua dívida havia duplicado. Sabe-se que a
expressão que determina a dívida (em reais) em relação
ao tempo t (em meses) é dada por: X(t) = 100 . (1,10)t.
Após quantos meses a sua dívida duplicou?
 1
> 
 4
m +1
.
17. (UFMG) Suponha que a equação
8ax + bx + c = 43 x + 5 ⋅ 25 x − x + 8 seja válida para todo número
real x, em que a, b e c são números reais. Então, a
soma a + b + c é igual a:
2
a)
b)
2
5
3
17
3
c) 28
3
d) 12
18. (UFSC) O valor de x, que satisfaz a equação
22 x +1 − 3 ⋅ 2x + 2 = 32 , é:
(( ) Dados f(x) = 2x – 1 e g(x) = 3x + 2, o valor de
f(g(1)) é 9.
b) log2 1,10
c) log 2
(( ) O gráfico da função f(x) = 2x – 1 não intercepta o
terceiro quadrante.
d) log 1,10
e) log 2,10
14. (PUC-Rio) Uma das soluções da equação 10
é:
2
x −3
=
1
100
(( ) O conjunto solução da equação
{−1, 2}.
 1
 
7
b) x = 0
log3 ( x 2 − x ) = log3 2 é
(( ) O conjunto solução da inequação exponencial
a) x = 1
x 2 + 5x + 1
1
 1
≥   é {x ∈ R  −5 ≤ x ≤ 0}.
 7
20. (M. Campos) Resolvendo as duas equações exponenciais 4x −1 = 5 8 e 32 y + 3 = 52 y + 3 , obtém-se uma raiz
para cada equação. Nessas equações valor de x − y
corresponde a:
x= 2
d) x = −2
e) x = 3
15. (UFJF) As raízes da equação 2x + 1/ 2x = 17 / 4 são:
a) iguais em módulo.
a) 2,8
b) – 0,2
c) 0,8
b) ambas negativas.
d) 1
c) ambas positivas.
21. (EsPCEx) A soma e o produto das raízes da equação
d) quaisquer números reais.
 3
9.  
 5
e) nulas.
x2 − x − 9
=
243
são, respectivamente:
125
a) 1 e –12
16. (UFF)
a) Ao resolver uma questão, José apresentou o seguinte raciocínio:
2
3
 1
 1
“Como 1 > 1 tem-se   >   e conclui-se que
 2
 2
4 8
2 > 3.”
Identifique o erro que José cometeu em seu raciocínio, levando-o a essa conclusão absurda.
b) Sem cometer o mesmo erro que José, determine o
menor número m, inteiro e positivo, que satisfaz à
10
m
19. (UFSC) Marque a(s) proposição(ões) correta(s).
a) log1,10 2
c)
4
b) 7 e 12
c) –2 e –8
d) –1 e 12
e) 7 e 10
22. (AFA) O conjunto-solução da inequação
(0, 5)x ⋅( x − 2 ) < (0, 25)x −1,5 é:
a) {x R l x <1}
b) {x R l x >3}
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EM_V_MAT_006
Soma (
 1
inequação:  
 2
c) {x R l 1 < x <3}
d) {x R l x < 1 ou x > 3}
1. (UERJ) Segundo a lei do resfriamento de Newton, a
temperatura T de um corpo colocado num ambiente cuja
temperatura é T0 obedece à seguinte relação:
T=T0+K e-ct
Nessa relação, T é medida na escala Celsius, t é o
tempo medido em horas, a partir do instante em que o
corpo foi colocado no ambiente, e k e c são constantes
a serem determinadas. Considere uma xícara contendo
café, inicialmente a 100ºC, colocada numa sala de
temperatura 20ºC. Vinte minutos depois, a temperatura
do café passa a ser de 40ºC.
a) Calcule a temperatura do café 50 minutos após a
xícara ter sido colocada na sala.
b) Considerando ln 2 = 0,7 e ln 3 = 1,1, estabeleça
o tempo aproximado em que, depois de a xícara
ter sido colocada na sala, a temperatura do café se
reduziu à metade.
2. (UENF) Em um município, após uma pesquisa de
opinião, constatou-se que o número de eleitores dos
candidatos A e B variava em função do tempo t, em
anos, de acordo com as seguintes funções:
A(t) = 2.105(1,60)t
B(t) = 4.105(0,4)t
Considere as estimativas corretas e que t = 0 refere-se
ao dia 1.° de janeiro de 2000.
a) Calcule o número de eleitores dos candidatos A e B
em 1.° de janeiro de 2000.
b) Determine em quantos meses os candidatos terão
o mesmo número de eleitores.
b) Quando se espera que a venda diária seja reduzida
a 6 400 unidades?
Considere que log 2 = 3/10, sendo log 2 o logaritmo
de 2 na base 10.
4. (FGV) Uma empresa estima que após completar o programa de treinamento básico, um novo vendedor, sem
experiência anterior em vendas, será capaz de vender
V(t) reais em mercadorias por hora de trabalho, após
t meses do início das atividades na empresa. Sendo
V(t)=A - b . 3-k.t, com A, B e k constantes obtidas experimentalmente, pede-se:
a) determinar as constantes A, B e k, sabendo que o
gráfico da função V é
b) admitindo-se que um novo programa de treinamento básico introduzido na empresa modifique a função V para V(t) = 55 – 24 . 3-t, determinar t para V(t)
= 50. Adote nos cálculos log2 = 0,3 e log3 = 0,5.
5. (UFC) Sejam f: R → R e g: R → R, sendo R o conjunto
dos números reais, funções tais que:
I) f é uma função par e g é uma função ímpar;
II) f(x) + g(x) = 2x.
Determine f(log23) – g(2).
6. (UFSCar) Se a área do triângulo retângulo ABC, indicado na figura, é igual a 3n, conclui-se que f(n) é igual
a ______, sendo f(x) = 2x.
c) Mostre que, em 1.º de outubro de 2000, a razão
entre os números de eleitores de A e B era maior
que 1.
EM_V_MAT_006
3. (FGV) Uma certa mercadoria foi promovida por uma
substancial campanha de propaganda e, pouco antes
de encerrar a promoção, a quantidade diária de vendas
era 10 000 unidades. Imediatamente após, as vendas
diárias decresceram, tal que: V(t) = B . ek.t, sendo B o
número de unidades vendidas em um determinado dia;
V(t) a quantidade de vendas por dia, após t dias; e =
2,72 e k um número real.
Sabe-se que 10 dias após encerrar a promoção o volume
diário de vendas era de 8 000 unidades.
a) Qual o volume diário de vendas 30 dias após o encerramento da promoção?
a) 2
b) 2 2
c) 3
d) 3 2
e) 4
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11
7.
(UnB) A magnitude – M – de um terremoto é medida
pela escala Richter, criada por Charles F. Richter, em
1934. Nessa escala, a magnitude de um terremoto está
relacionada com a energia liberada por ele – E –, em
3M
descrita por um observador através do seguinte modelo
matemático h(t) = 4t – t . 20,2 . t, com t em segundos, h(t)
em metros e 0 ≤ t ≤ T. O tempo, em segundos, em que o
golfinho esteve fora da água durante esse salto foi:
joules (J), de acordo com a expressão E = E 0 ⋅10 2 ,
em que E0 é uma constante. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir, como verdadeiros (V)
ou falsos (F)
a) 1
(( ) Se a energia liberada por um terremoto for igual a
1 000 000 E0 J, então a magnitude desse terremoto
será igual a 5 na escala Richter.
d) 8
(( ) A energia liberada por um terremoto de magnitude
5 é, pelo menos, 50 vezes maior que a liberada por
um terremoto de magnitude 4.
(( ) Considerando que uma tonelada de dinamite (TNT)
9
libere 5E 0 ⋅10 2 J durante uma explosão, então um
terremoto de magnitude 8 libera mais energia que
uma explosão de 8 milhões de toneladas de TNT.
(( ) A figura abaixo ilustra corretamente, em um sistema
de coordenadas cartesianas, o gráfico da energia liberada em função da magnitude de um terremoto.
b) 2
c) 4
e) 10
10. (Unesp) Considere a função dada por
f(x) = 32x+1 + m . 3x + 1.
a) Quando m = − 4, determine os valores de x para os
quais f(x) = 0.
b) Determine todos os valores de m para os quais a
equação f(x) = m +1 não tem solução real x.
11. (Unicamp) Suponha que o preço de um automóvel tenha
uma desvalorização média de 19% ao ano sobre o preço
do ano anterior. Se F representa o preço inicial (preço de
fábrica) e p (t), o preço após t anos, pede-se:
a) a expressão para p (t);
b) o tempo mínimo necessário, em número inteiro de
anos, após a saída da fábrica, para que um automóvel venha a valer menos que 5% do valor inicial. Se
necessário, use: log 2 ≅ 0, 301 e log 3 ≅ 0, 477 .
11 480
granja pode ser descrita pela equação P (t ) =
, em
1+ 34 −t
que t é o número de dias decorridos desde a detecção
da doença, que é definido como o momento do aparecimento dos primeiros casos – t = 0 – e P(t) é a quantidade
total de frangos infectados após t dias. Com base nessas
informações, julgue os itens a seguir, como verdadeiros
(V) ou falsos (F).
(( ) A quantidade de frangos infectados no momento em
que a doença foi detectada é superior a 150.
(( ) Caso a doença não seja controlada, toda a população de frangos da granja será infectada.
(( ) 4 100 frangos serão infectados decorridos 2 +log 3 5
dias do momento da detecção da doença.
(( ) O número de frangos infectados somente no terceiro
dia é inferior a 1 200.
12
9. (Unesp) A trajetória de um salto de um golfinho nas proximidades de uma praia, do instante em que ele saiu da
água (t = 0) até o instante em que mergulhou (t = T), foi
a) Encontre as constantes a e b de modo que a população inicial (t = 0) seja igual a 1 024 indivíduos
e a população após 10 anos seja a metade da população inicial.
b) Qual o tempo mínimo para que a população se reduza a 1/8 da população inicial?
c) Esboce o gráfico da função F(t) para t e [0,40].
13. (Unicamp) O processo de resfriamento de um determinado corpo é descrito por: T(t) = TA + a . 3b.t, onde T(t) é
a temperatura do corpo, em graus Celsius, no instante t,
dado em minutos, TA é a temperatura ambiente, suposta
constante, e α e β são constantes. O referido corpo foi
colocado em um congelador com temperatura de −18ºC.
Um termômetro no corpo indicou que ele atingiu 0ºC
após 90 minutos e chegou a −16ºC após 270 minutos.
a) Encontre os valores numéricos das constantes α e β.
b) Determine o valor de t para o qual a temperatura
o
2
do corpo no congelador é apenas   C superior
3
à temperatura ambiente.
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EM_V_MAT_006
8. (UnB) A disseminação de uma doença infecciosa em
uma determinada população de 30 000 frangos em uma
12. (Unicamp) Suponha que o número de indivíduos de
uma determinada população seja dado pela função:
F(t) = a . 2-bt, onde a variável t é dada em anos e a e b
são constantes.
19. (FGV) Os números inteiros x e y satisfazem a equação
2x + 3 + 2x +1 = 5y + 3 + 3 ⋅ 5y . Então x − y é:
a) 8
b) 5
14. (UFRN) No programa de rádio Hora Nacional, o
locutor informa:
“Atenção, senhores ouvintes. Acabamos de receber
uma notificação da defesa civil do país alertando para
a chegada de um furacão de grandes proporções
nas próximas 24 horas. Pede-se que mantenham a
calma, uma vez que os órgãos do governo já estão
tomando todas as providências cabíveis”.
Para atender às solicitações que seguem, suponha
que o número de pessoas que tenha acesso a essa
informação, quando transcorridas t horas após a
divulgação da notícia, seja dado pela expressão
f (t ) =
P
, sendo t ≥ 0, P a população do
.
1+ 9.( 3−k t )
país e k uma constante.
a) Calcule o percentual da população que tomou
conhecimento da notícia no instante de sua divulgação.
b) Calcule em quantas horas 90% da população
teve acesso à notícia, considerando que, em 1
hora após a notícia, 50% da população do país
já conhecia a informação.
15. (IME) Determine os valores de l que satisfaçam à
4
inequação, 272λ − 27λ + 27−1 > 0 , e represente, grafi9
camente, a função, y = 272 x − 4 27x + 27−1
9
3x + 3y = 36
16. (UFF) Resolva o sistema  x + y
3 = 243
17. (UFSCar) Numa progressão geométrica, o primeiro
termo é 5x e a razão é 5. Se a soma dos quatro primeiros
termos é 3 900, pode-se afirmar que
5x − 2
é igual a:
5
a) 1/25
d) 6
e) 7
20. (UFSCar) O par ordenado (x, y) solução do sistema
x+y
4 = 32
é:
 y−x
3 = 3
3
a)  5, 
 2

3
b)  5,− 
2
2
c)  3, 
 3
3
d)  1, 
 2
 1
e)  1, 
 2
21. (ITA) Dada a equação 32x + 52x – 15x = 0, podemos
afirmar que:
a) Não existe x real que a satisfaça.
b) x = log 3 5 é solução dessa equação.
c) x = log 5 3 é solução dessa equação.
d) x = log 3 15 é solução dessa equação.
e) x = 3.log 5 15 é solução dessa equação.
22. (ITA) Seja a um número real com 0 < a < 1. Então, os
valores reais de x para os quais a2x – (a + a2) . ax + a3
< 0 são:
a) a2 < x < a
b) x < 1 ou x > 2
c) 1 < x < 2
b) 1/5
d) a < x <
c) 1
a
e) 0 < x < 4
d) 5
e) 25
18. (Unicamp) Considere a equação 2x + m ⋅ 22 − x − 2m − 2 = 0 ,
onde m é um número real.
EM_V_MAT_006
c) 9
23. (ITA) Sabendo-se que 3x – 1 é fator de
12x3 – 19x2 + 8x – 1 então as soluções reais da
equação 12 . (3 3x ) – 19 . (3 2x ) + 8 . (3 x ) – 1 = 0
somam:
a) Resolva essa equação para m = 1.
a) –log 3 12
b) Encontre todos os valores de m para os quais a
equação tem uma única raiz real.
b) 1
c) –(1/3).log 3 12
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13
d) –1
e) log 3 7
24. (ITA) Seja a ∈ R com a > 1. O conjunto de todas as
2 x ⋅( 1− x )
> a x −1 é:
soluções reais da inequação a
a) ] −1 , 1[
b) ]1 , +∞[
c) ] −1/2 , 1[
d) ] −∞ , 1[
e) vazio.
25. (ITA) A soma das raízes positivas da equação
4 x − 5 ⋅ 2x + 4 = 0 vale:
2
2
a) 2
b) 5
c)
2
d) 1
e)
3
26. (UECE) Um empregado está executando a sua
tarefa com mais eficiência a cada dia. Suponha que
N = 640 . (1 − 2−0,5⋅ t ) seja o número de unidades fabricadas por dia por esse empregado, após t dias,
do início do processo de fabricação. Se, para t = t1 ,
N = 635, então t1 é igual a:
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
x y = y x
onde a ≠ 1 e a > 0.
 y = ax
14
EM_V_MAT_006
27. (IME) Resolva o sistema 
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10. D
11. C
12. E, C, E, C ⇒ soma 10
1.
a) f(0) = 0 e f(1) = 20
14. A
b) x = 0
2. C
15. A
3. E
16.
4. 60%
2
a) 12 meses.
b) 499
b) m = 2
6. C
17. c
7.
18. 3

a) t = −2n  1−

b) t ≈ 4,6s.
8. E
9. C
3
1
1
a)   >   ⇒ 2 < 3, pois a exponencial de base 1/2
 2
 2
é decrescente.
5.
EM_V_MAT_006
13. A
Q 

Q0 
19. C, E, C, C
20. a
21. A
22. d
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15
18.
a) S = {1}
b) (−∞, 0] ∪ {1}
1.
19. b
a) 22,5ºC
20. d
b) 15 minutos.
21. a
2.
a) 200 000 e 400 000 eleitores.
b) 6 meses.
c) Razão = 2 > 1
3.
a) 5 120 unidades.
b) 20 dias.
22. c
23. a
24. c
25. c
26. c
1
a
27. x = a a −1 e y = a a −1
4.
a) A = 50, B = 30 e k = 1/2
b) 1,4
5. −5/24
6. C
7.
F, F, F, F
8. F, F, V, F
9. E
10.
a) 0 e −1
b) −12 < m ≤ 0
11.
a) p(t) = (0,81)t⋅F
b) 15 anos.
12.
a) a = 1024 e b = 1/10
b) 30 anos.
13.
a) α = 54 e β = −1/90
b) 360 minutos.
14.
a) 10%
2
1
ou λ > −
3
3
16. (2, 3) ou (3, 2)
15. λ < −
16
17. b
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EM_V_MAT_006
b) 2 horas.