ESTUDO DA CONDUÇÃO DE CALOR
OBJETIVOS
- Determinar a distribuição de temperatura em um meio
- Calcular o fluxo de calor usando a Lei de Fourier
Aplicações:
- Conhecer a integridade estrutural de um meio em alguns pontos e
em determinados momentos: expansão térmica, estresse térmico,
expansões e deflexões.
- Otimizar a espessura de um material isolante
COMO CONHECER A DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA
1. Formulação matemática do problema:
- definir um volume de controle
- aplicar a balanço de energia
- identificar os processos de transmissão de calor no volume de
controle
- introduzir as equações das taxas de calor
- obter uma equação diferencial
2. Solução geral da equação diferencial
3. Aplicação das condições de contorno
4. Solução do problema: distribuição de temperatura
1
A especificação da temperatura requer a definição de um sistema
de coordenadas
a) Retangulares
(x,y,z)
c) Esféricas
(r,φ,θ)
b) Cilíndricas
(r,z,φ)
A temperatura em um ponto no tempo é expressa como:
T (x,y,z,t) ou T(r,z,φ, t) ou T(r, φ,θ,t) - tridimensional e transiente
T (x) – unidimensional e permanente
1. FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO PROBLEMA
1) Definir um volume de controle
2) Identificar os processos de transferência de energia no volume
de controle
3) Aplicar um Balanço de Energia no volume de controle
Taxa de
calor que
entra no
V.C.
-
Taxa de
calor que
sai do
V.C.
Fenômenos de superfície
+
Taxa de
geração
de calor
no V.C.
=
Taxa de
variação de
quantidade de
energia n V.C.
Fenômenos de volume
2
qe − qs + qg = Eacum
Calor que entra ou sai do volume de controle: por condução
Geração de calor: transformação de energia mecânica, elétrica,
química ou nuclear em calor no volume de controle
Taxa de alteração da quantidade de energia no volume de controle
ou energia acumulada em função da variação da energia interna,
cinética ou potencial
Equação da condução de calor unidimensional
A- Em uma extensa parede plana
elemento de
volume
qx
qx+ ∆x
3
Para um elemento de espessura ∆x:
q x − q x + ∆x + q g ,elem =
∆Eelem
∆t
onde:
∆Eelem = Et + ∆t − Et = mc( Tt + ∆t − Tt ) = ρcA∆x(Tt + ∆t − Tt )
q g ,elem = g& Velem = g& A∆x
Substituindo:
T
− Tt
q x − q x + ∆x + g& A∆x = ρcA∆x t + ∆t
∆t
A área A=∆y ∆z para superfície plana é constante
Dividindo por A∆x e aplicando o limite quando ∆x→0 e ∆t →0,
resulta em:
∂T
1 ∂  k∂T( x ,t ) 
 A
 + g& = ρcp ( x ,t )
A ∂x 
∂x 
∂t
4
Para A é constante a equação da condução de calor transiente
unidimensional com condutividade térmica variável é:
∂T( x,t )
∂  ∂T 
k
 + g& = ρcp
∂x  ∂x 
∂t
Casos especiais
1) k constante
∂ 2T
∂x 2
sendo α =
+
g& 1 ∂T
=
k α ∂t
k
a difusividade térmica do material (m2/s ou ft2/h)
ρc p
Esta propriedade do material é associada à propagação do calor no
meio durante as variações de temperatura e tempo.
2) Transiente, k constante e sem geração
∂ 2T
∂x 2
=
1 ∂T
α ∂t
5
3) Regime permanente e k constante
∂ 2T
∂x 2
+
g&
=0
k
4) Regime permanente, k constante e sem geração de calor
d 2T
dx
2
=0
6
Equação da condução de calor para um cilindro longo
(unidimensional)
Elemento: Camada fina de espessura ∆r e área A=2πrL
T
− Tt
qr − qr + ∆r + g& A∆r = ρcA∆r t + ∆t
∆t
→ Mostrar que:
∂T(r ,t )
1 ∂  ∂T 
&
 rk
 + g = ρcp
r ∂r  ∂r 
∂t
→ Casos especiais
1)
2)
3)
4)
7
Equação da condução
(unidimensional)
de
calor
para
uma
esfera
Elemento: Fina camada esférica de espessura ∆r e área A=4πr2
→ Mostrar que:
∂T(r ,t )
1 ∂  2 ∂T 
&
r
k
+
g
=
ρ
c


p
∂r 
∂t
r 2 ∂r 
→ Casos especiais
1)
2)
3)
4)
8
EQUAÇÃO GERAL DA CONDUÇÃO DE CALOR
Aplicações:
- Fluxo de calor nas proximidades de um canto onde 2 ou 3
paredes se encontram
- Calor conduzido através das paredes de um cilindro curto de
parede espessa
- Calor perdido por um tubo enterrado
1) Coordenadas cartesianas
∂ 2T
∂x 2
+
∂ 2T
∂y 2
+
∂ 2T
∂z 2
+
g& 1 ∂T( x, y , z ,t )
=
k α
∂t
1) Regime permanente – Equação de Poisson
∂ 2T
∂x 2
+
∂ 2T
∂y 2
+
∂ 2T
∂z 2
+
g&
=0
k
2) Transiente e sem geração – Equação da Difusão
∂ 2T
∂x 2
+
∂ 2T
∂y 2
+
∂ 2T
∂z 2
=
1 ∂T( x, y , z ,t )
α
∂t
9
3) Permanente e sem geração – Equação de Laplace
∂ 2T
∂x
2
+
∂ 2T
∂y
2
+
∂ 2T
∂z
2
=0
2) Coordenadas cilíndricas
Componentes: r – radial
z – axial
φ - circunferencial
Área perpendicular a r: (dz r dφ)
Área perpendicular a z: (dr r dφ)
Área perpendicular a φ: (drdz)
→ Mostrar que:
1 ∂  ∂T  ∂ 2 T 1
+
r
+
r ∂r  ∂ r  ∂z 2 r 2
∂ 2T
g& 1 ∂T(r ,φ, z ,t )
+ =
∂t
∂φ 2 k α
10
3) Coordenadas esféricas
2
Área perpendicular a r: r senθ .dφ .r .dθ = r senθ .dφ .dθ
Área perpendicular a θ: r senθ .dφ .dr
Área perpendicular a φ: r .dθ .dr
Comprimento θ: r∂θ
Comprimento φ: r senθ .∂φ
→ Mostrar que:
1 ∂  2 ∂T 
1
∂ 
∂T 
1
∂ 2 T g& 1 ∂T(r , φ, θ, t )
r
+
sen
θ
+
+ =




2 ∂r 
2
2
2
2
∂
r
∂
θ
∂
θ
k α
∂t
 r senθ 
 r sen θ ∂φ
r
Equação geral para qualquer sistema de coordenadas
∇ 2T +
g& 1 ∂T
=
k α ∂t
∇ 2T - Laplaciano da temperatura
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Exemplo: Um pequeno lingote metálico de formato cilíndrico de raio R e altura h é
aquecido em forno até 600 °F, retirado do forno e deixado para resfriar a temperatura
ambiente de 65 °F por convecção e radiação. Assumindo que o lingote é resfriado
uniformemente por toda sua superfície externa e que a variação da condutividade térmica
do material em função da temperatura é desprezível, obtenha a equação diferencial que
descreve a variação de temperatura do lingote durante o processo de resfriamento.
Condições de contorno e iniciais
A solução da equação da equação diferencial passa por um
processo de integração que envolve constantes.
A solução só vai ser única quando forem especificadas as
condições existentes nas fronteiras do sistema com o meio,
ou as condições de contorno.
Exemplo: Considere a variação de temperatura em uma parede de
tijolos de uma casa durante o inverno. A temperatura em qualquer
ponto da parede depende: das condições nas duas superfícies da
parede, tais como a temperatura do ar dentro da casa, a velocidade e
a direção do vento e a incidência de energia solar na superfície
externa.
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Condições de contorno: São expressões matemáticas das
condições térmicas nas fronteiras do sistema.
Duas condições de contorno devem ser fornecidas para cada
direção do sistema de coordenadas, na qual a transferência
de calor é significativa.
Condição inicial: Expressão matemática da distribuição inicial
da temperatura no meio.
A temperatura em qualquer ponto em um determinado
momento depende da condição no início do processo de
condução de calor (t=0).
Uma só condição inicial deve ser especificada (primeira
ordem em relação ao tempo).
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Tipos de condição de contorno:
- 1ª espécie: Temperatura especificada
x=0
T(0,t) = T1
x=L
T(L,t) = T2
- 2ª espécie: Fluxo de calor conhecido
_
x=0
q"o = k
x=L
_
k
∂T(0, t )
∂x
∂T (L, t )
= q"L
∂x
Casos especiais:
- fronteira isolada
_
x=0
q"o = 0 = k
x=L
T(L,t)=T
∂T(0, t )
ou
∂x
∂T(0, t )
=0
∂x
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- simetria térmica
Imposta pelas condições térmicas nas superfícies
Distribuição de temperatura em uma metade da placa é a
mesma na outra metade (em relação ao plano central x=L/2).
Não há fluxo de calor no plano central (superfície isolada).
x = L/2
∂T(L / 2, t )
=0
∂x
- 3ª espécie: Troca de calor por convecção na superfície
Condição mais comum encontrada na prática.
Baseada no balanço de energia na superfície.
Condução de calor na
superfície em uma direção
escolhida
=
Convecção na superfície na
mesma direção
x=0
_
x=L
_
k
∂T(0, t )
= h1(T∞ 1 _ T(0, t ))
∂x
k
∂T (L, t )
= h 2 (T(L, t ) _ T∞ 2 )
∂x
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- Troca de calor por radiação na superfície
x=0
_
x=L
_
k
∂T(0, t )
= ε1σ(Tviz 4 _ T(0, t )4 )
∂x
k
∂T (L, t )
= ε 2σ(T (L, t ) 4 _ Tviz 4 )
∂x
- Condições de contorno generalizadas
Exemplos:
1. Vapor flui através de uma tubulação a uma temperatura média
de 200°C. Os raios interno e externo são 8 e 8,5 cm,
respectivamente, e a superfície externa da tubulação está bem
isolada. Se o coeficiente de transferência de calor convectivo na
superfície interna da tubulação é de 65 W/m2°C, expresse as
condições de contorno nas superfícies interna e externa da
tubulação durante os períodos transiente.
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2. Uma bola metálica de raio ro é aquecida em um forno até
alcançar 600°F, sendo então retirada do forno e colocada para
resfriar a temperatura ambiente de 78°F. A condutividade térmica
da bola é de 8,3 Btu/(hft°F) e o coeficiente convectivo médio na
superfície externa é de 4,5 Btu/(hft2°F). A emissividade da
superfície externa é de 0,6 e a temperatura média da vizinhança
é 525 R. Considerando que a bola é resfriada uniformemente a
partir de sua superfície externa, expresse as condições inicial e
de contorno para o processo de resfriamento.
3.
Fazer exemplos 2.11 a 2.16 Çengel
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