SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS À VARIÁVEIS SEPARÁVEIS
Forma geral : y′ = R(x)Q(y)
y′=
dy
dx
dy
= R(x)Q(y)
dx
1
dy = R(x)dx
Q(y)
∫
dy
=
Q(y)
∫
R(x)dx + c
Na solução de um PVI (Problema de Valor Inicial) nós calculamos a constante após a
determinação da solução geral.
x
⎧
⎪ y' =
Exemplo 1 . Resolver o PVI ⎨
y x ∈ R.
⎪⎩ y(0) = 1
dy
Solução. y ′ =
dx
Então :
x
dy
=
dx
y
ydy = xdx
∫ ydy = ∫ xdx + c
y2 x2
=
+c
2
2
y 2 = x 2 + 2c
y 2 = x 2 + k , onde k = 2c
y = x2 + k
ou y = – x 2 + k
1
x=0 ⇒ y =1 > 0.
Logo
y = x2 + k
1 = 02 + k =
A solução do PVI é
k
y=
⇒ k=1
x2 +1 .
Exemplo 2.Resolver y ′+ y 2 sen(x) =0, x ∈ R.
Solução. y ′ = – y 2 sen(x)
dy
= – y 2 sen(x)
dx
dy
= – sen(x)dx
y2
∫y
− 2 dy = – sen(x)dx + c
∫
y −1
= cos(x) + c
−1
y −1 = – cos(x) + k
1
= – cos(x) + k
y
y=
k = –c
1
k − cos(x)
Exemplo 3. Resolver xdx – y 2 dy = 0, x
Solução:
∈ R.
xdx = y 2 dy
2
∫ xdx = ∫ y dy
2
x 2 y3
=
+c
2
3
Resolvendo para y , obtemos a solução
1/ 3
⎛3
⎞
y = ⎜ x2 + c⎟
⎝2
⎠
Exemplo 4. Resolver y′ =
x +1
, x ∈ R.
y4 +1
Solução: substituindo y ′ =
dy
, obtemos
dx
dy
x +1
=
dx
y4 +1
(y 4 + 1)dy = (x+1)dx
Integramos os dois lados da equação:
∫
(y 4 + 1)dy =
∫
(x+1)dx + c
y5
x2
+y–
+x =c
5
2
A solução da equação diferencial fica dada por esta equação, onde a função y está
definida implicitamente como função de x.
Exemplo 5.Resolver dy = 2t( y 2 +9)dt , t ∈ R.
Solução.
Obs: Variável independente = t
dy
= 2t dt
y2 + 9
3
∫
dy
= ∫ 2t dt
2
y +9
1
y
arctan( ) = t 2 + c
3
3
⎛ y⎞
arctan ⎜ ⎟ = 3 t 2 + k , k = 3c
⎝3⎠
y
= tan(3 t 2 + k)
3
y = 3 tan(3 t 2 + k)
Exemplo 6. Resolver o PVI
e x dx − ydy = 0
, y(0) = 1, x
∈ R.
Solução . Integrando a equação diferencial, resulta :
∫
e x dx − ∫ ydy = c
ex −
y2
=c
2
2 e x – y 2 = 2c
y 2 = 2 e x + k , onde k = – 2c
x=0
⇒
y=1>0
12 = 2 e 0 + k = 2 + k ⇒ k = –1
y=
2e x − 1 ou y = –
y>0 ⇒ y=
2e x − 1
2e x − 1
Domínio= { x ∈ R / x > – Ln 2 }
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