Regras de Feynman para fermions
Os resultados obtidos anteriormente para a teoria λφ4 podem ser
generalizados para o caso de fermions, em particular, para as funções de
correlação:
•
a invariância de Lorentz exige que a hamiltoniana de interação HI seja
o produto de um número par de campos espinoriais Æ não há
dificuldade em definir a exponencial de HI com ordenamento temporal.
Para aplicar o teorema de Wick Æ deve-se generalizar as definições dos
símbolos de ordenamento temporal e de ordenamento normal para fermions:
•
O operador de ordenamento temporal T agindo em dois campos
espinoriais é definido com um sinal (−) adicional (já visto antes):
•
Com a definição acima, o propagador de Feynman para o campo de
Dirac é dado por
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1
X Generalização para mais de 2 campos:
O ordenamento temporal adquire um sinal (−) a cada troca de operadores que
se faça necessária para colocar os campos em ordem temporal. Exemplo:
X Ordenamento normal de fermions:
Análoga à do ordenamento temporal: coloca-se um sinal (−) para cada troca de
operadores fermiônicos
• As propriedades de anti-comutação Æ tornam possível escrever o
ordenamento temporal de várias maneiras (todas equivalentes)
X Generalização do Teorema de Wick:
•
Para dois campos de Dirac
sendo que, para o
campo de Dirac:
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2
X Demonstração
Lembrando que:
pode-se escrever, supondo que x0>y0
T ( ψ (x )ψ (y ) ) = T ( [ ψ + (x ) + ψ − (x ) ][ ψ + (y ) + ψ − (y ) ] )x 0 >y 0 =
= ψ + (x )ψ + (y ) + ψ + (x )ψ − (y ) + ψ − (x )ψ + (y ) + ψ − (x )ψ − (y ) =
= ψ + (x )ψ + (y ) − ψ − (y )ψ + (x ) + ψ − (x )ψ + (y ) + ψ − (x )ψ − (y ) + {ψ + (x ), ψ − (y ) } =
= N ( ψ (x )ψ (y ) ) + {ψ + (x ), ψ − (y ) }
Analogamente, para x0<y0, tem-se
T ( ψ (x )ψ (y ) ) = −T ( ψ (y )ψ (x ) ) = −T ( [ ψ + (y ) + ψ − (y ) ][ ψ + (x ) + ψ − (x ) ] )x 0 <y 0 =
= − [ ψ + (y )ψ + (x ) + ψ + (y )ψ − (x ) + ψ − (y )ψ + (x ) + ψ − (y )ψ − (x ) ] =
= − [ ψ + (y )ψ + (x ) − ψ − (x )ψ + (y ) + ψ − (y )ψ + (x ) + ψ − (y )ψ − (x ) + {ψ + (y ), ψ − (x ) } ] =
=
ψ + (x )ψ + (y ) − ψ − (y )ψ + (x ) + ψ − (x )ψ + (y ) + ψ − (x )ψ − (y ) − {ψ + (y ), ψ − (x ) }
= N ( ψ (x )ψ (y ) ) − {ψ + (y ), ψ − (x ) } x 0 <y 0
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3
X Contrações sob signo de ordenamento normal:
Também se deve incluir sinal (−) a cada troca de operadores fermiônicos:
Com as convenções acima, pode-se escrever a
X Generalização do Teorema de Wick para fermions
T [ ψ 1ψ 2ψ 3
] = N [ ψ 1ψ 2ψ 3
+
todas as possíveis contrações
].
Pode-se, agora, discutir processos de espalhamento envolvendo fermions.
--------------- (final da 16ª aula) ---------------
‰
Teoria de Yukawa
A hamiltoniana nessa teoria é escrita como
a qual representa um modelo simplificado da eletrodinâmica, acoplando aqui
os fermions aos campos escalares. A partir regras de Feynman para a teoria
de Yukawa Æ pode-se “adivinhar” as correspondentes para a QED.
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4
É mais interessante analisar um caso específico: a reação de espalhamento de
duas partículas, i.e.,
fermion (p) + fermion (k)
X contribuição dominante
fermion (p') + fermion (k')
Æ vem do termo HI2 da matriz-S:
•
analogamente ao campo escalar, deve-se usar o Teorema de Wick para
reduzir o produto-T a um produto-N de contrações
•
depois, atuar com os campos não contraídos nas partículas dos estados
inicial e final Æ esse processo é representado por uma contração:
X
ψ I (x ) atuando no estado inicial:
a)
fermion
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5
X analogamente,
b) 〈p, s | ψ (x ) =
I
fermion
=
∫
3
2Ep 〈0 |
a sp
∫
ψ I (x ) atuando no estado final:
d 3p '
(2π )3
1
2Ep '
∑ asp'†' u s '(p ')eip '.x
=
=0
2Ep ip '.x
e
u s '(p ')[(2π )3 δ (3)(p − p ')δ ss '〈0 | −〈0 | a sp'†
a s ] = 〈0 | u s (p )e ip .x
∑
' p
2Ep '
d p'
(2π )3
X Idem para um anti-fermion no estado inicial ou no estado final:
ψI (x ) | p, s〉
c)
=
antifermion
=
d)
∫
d 3p '
(2π )3
=
∫
d p
(2π )3
1
2Ep '
∑ bps '' vs '(p ')e−ip '.x
s'
2Ep bps † | 0〉 =
2Ep −ip '.x
e
vs '(p ') ⎡⎢⎣ (2π )3 δ (3)(p − p ')δ ss ' | 0〉 − bps †bps '' | 0〉 ⎤⎥⎦ = e −ip .x vs (p ) | 0〉
∑
2Ep '
s'
=0
〈p, s | ψI (x ) =
antifermion
3
∫
d 3p '
(2π )3
2Ep 〈0 |
bps †
∫
d 3p '
(2π )3
1
2Ep '
∑ bps '†' vs '(p ')eip '.x
=
s'
2Ep ip '.x
s ⎤
s
ip .x
vs '(p ') ⎡⎢⎣ (2π )3 δ (3)(p − p ')δ ss '〈0 | −〈0 | bps '†
e
∑
' bp ⎥⎦ = 〈0 |v (p )e
2Ep '
s'
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=0
6
X Resumo:
• ψ I (x ) pode contrair um fermion à direita ou um anti-fermion à esquerda
• ψ I (x ) pode contrair um anti-fermion à direita ou um fermion à esquerda
Uma contribuição típica ao elemento de matriz-S típico da pág. 5 (2 fermions no
estado inicial e 2 no final) pode ser escrita como a seguinte contração:
(−ig )2 2!
d 4q
i
∝
∫ (2π )4 q 2 − mφ2
2!
2
∝ (−ig )
∫
∫ d 4x eik '.xe−ik .xe−iq .x ∫ d 4y eip '.ye−ip.yeiq .yu(p ')u(p)u(k ')u(k )
d 4q
i
i (k '−k −q ).x
4
d 4y e i (p '−p +q ).y
4 2
2 u (p ') u (p ) u (k ') u (k )∫ d x e
∫
(2π ) q − mφ
∝
(o fator ½! foi eliminado por um fator 2! Originário da simetria por troca dos vértices x ey)
7
A integral ∫d4q pode ser feita com o auxílio de qualquer uma das deltas,
resultando em uma expressão do tipo iM(2π)4δ(4)(Σp) , sendo
p-p'= q = k'−k
Em vez de trabalhar com o elementro de matriz-S anterior, i.e.,
Poder-se-ia ter escrito, em vez, o diagrama de Feynman:
onde partículas escalares são representadas por linhas pontilhadas e fermions,
por linhas contínuas. O elemento de matriz- S poderia ser obtido diretamente
do diagrama acima, caso se usassem as seguintes regras de Feynman
(no espaço dos momentos):
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1. Propagadores:
2. Vértices:
3. Contrações de pernas externas:
4. Impor conservação de momento em cada vértice.
5. Integrar no momento indeterminado/indefinido dentro de cada loop.
6. Determinar o sinal global do diagrama (da troca de fermions)
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X Comentários sobre estas regras de Feynman
•
O fator 1/n! da série de Taylor (exponencial com ordenamento
temporal) é sempre cancelado pelo fator n! da troca de vértices para
obter a mesma contração;
•
Os diagramas da teoria de Yukawa nunca têm fatores de simetria (!), já
que nenhum dos três campos ( ψ , ψ , φ ) pode substituir outro nas
contrações;
•
A direção do momento dos fermions é sempre significativa: em pernas
externas (como no caso dos bosons) Æ o sentido do momento é sempre
entrando para partículas iniciais e saindo para as finais;
Linhas internas de fermions (propagadores) Æ atribui-se o momento ao
sentido do fluxo do número de partículas (para e- Æ deve ser o sentido
do fluxo de carga negativa) Æ para ententer melhor:
•
∼ ∫ d x ∫ d x v(p') e
4
4
−ip'.x ik '.x
e
d4q i(q + m) −iq.(x−y)
−ip.y ik.y
e
u
p
e
e
(
)
∫ (2π)4 q2 −m2
As integrais em x e y resultam em funções delta que forçam q a sair de y e ir para x, i.e.,
δ(4)(p−k−q) δ(4)(p'−k' +q) ; em linhas internas de bosons o sentido do momento é
irrelevante (escolha a gosto)Æ DF(x-y)= DF(y-x)
10
•
Nos exemplos estudados Æ os índices de Dirac eram contraídos com as
linhas de fermions, o que também acontece em diagramas tais como:
X Sinais dos fermions
Retornando ao exemplo do processo de espalhamento fermion-fermion:
•
Adota-se uma convenção para os estados iniciais e finais:
†
de forma que
•
( p, k )
∼
(
a p† a †
k
0
†
)
=
( 0 ak†a p† ) ∼
p, k
Assim, a contração:
∼ (− 1)2 0 a k 'ψ x a p 'ψ y ψ x ψ y a p† a † 0
k
pode ser desemaranhada movendo-se ψy dois espaços para a esquerda,
adquirindo-se com isso um fator (−1)2 =+1.
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11
•
Contudo, na outra contração, abaixo:
é suficiente mover ψy apenas um espaço para
a esquerda, dando origem a um fator (−1).
Tal contração, corresponde ao diagrama:
•
Assim, vê-se que o elemento de matriz-S (completo) do processo é:
sendo o sinal (−) reflexo da estatística de Fermi-Dirac.
12
•
Em diagramas complicados Æ determinação dos sinais negativos pode
ser simplificada: o produto ( ψψ ) (ou qualquer par de fermions) Æ
comuta com qualquer operador. Então:
•
Em loops fechados com n propagadores de fermions , tem-se:
então, um loop fechado de fermions sempre dá um fator (−1) e o traço de um
produto de matrizes de Dirac!
13
‰
O Potencial de Yukawa
Tem-se agora todas as regras formais necessárias para computar amplitudes
de espalhamento na teoria de Yukawa. Como ilustração, considera-se o
caso do espalhamento de fermions distinguíveis no limite não relativístico.
Então, comparando a amplitude para esse processo com a fórmula da
aproximação de Born da mecânica quântica não relativística Æ pode-se
determinar o potencial V(r) criado pela interação de Yukawa.
•
Como as partículas interagentes são distinguíveis, contribui para o
processo apenas o diagrama
•
Para estimar a amplitude no limite não relativístico, tomam-se apenas
termos de ordem mais baixa no 3-momento:
p = (m , p ),
k = (m , k )
p ' = (m , p '),
k ' = (m , k ')
⇒ (p '− p )2 = − p − p '
u s ( p ) NR =
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2
+ O (p 4 )
⎛ξs ⎞
m ⎜⎜⎜ s ⎟⎟⎟ , (tal que ξ s '†ξ s = δ ss ' )
⎜⎝ ξ ⎟⎠
14
A amplitude a ser calculada é:
= (−ig 2 )u (p ')u (p )
iM =
Então:
1
u (k ')u (k )
( p '− p )2 − m φ2
u s '( p ')u s ( p ) = 2m ξ s '†ξ s = 2m δ ss '
u r '(k ')u r (k ) = 2m ξ r '†ξ r = 2m δ rr '
•
•
Portanto Æ o spin de cada partícula é conservado separadamente no
limite não relativístico desse espalhamento (o que é reconfortante...).
Juntando os resultados acima, tem-se:
ig 2
ss '
rr '
iM =
m
m
2
δ
2
δ
2
p ' − p + m φ2
O resultado acima deve ser comparado com a aproximação de Born da
amplitude de espalhamento na mecânica quântica não relativística
( fB (k β , kα ) ∝ ∫ d 3r u ∗β (r )V (r )uα (r ) ∼ ∫
V (r )e −iq .r d 3r ; q = kα − k β
)
escrita em termos da função potencial V(x)
p ' iT p = −iV (q )(2π )δ (E p ' − E p )
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(q = p ' − p )
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Como os fatores 2m resultaram de nossa normalização relativística anterior,
eles devem ser desconsiderados na comparação, pois essa assume a
normalização convencional de estado nao relativístico. Então, para a
interação de Yukawa tem-se o seguinte potencial:
−g 2
V (q ) =
2
q + m φ2
Assim, V(x) pode ser obtido invertendo a transformada de Fourier:
V (x ) =
∫
d 3q
−g 2
+ iq .x
e
=
(2π )3 q 2 + m φ2
−g 2
=
4π 2
∞
∫
0
iqr
− e −iqr )
2 (e
dq q
iqr
q
2
1
−g 2
=
2
4π 2ir
+ mφ
∞
qe iqr
∫ dq q 2 + m φ2
−∞
Estendendo a integral acima ao plano complexo e fechando o contorno de
modo a pegar o resíduo no polo simples em q = +imφ , encontra-se:
−g 2 1 −m φ r
V (r ) =
e
4π r
o qual é um potencial de Yukawa atrativo (para f f , f f , f f ) com alcance
1/mφ, i.e., o comprimento de onda Compton do boson trocado.
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(final da 17ª aula)
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