Prefácio
Este livro é uma introdução à Análise Complexa que se centra nos aspectos básicos
das funções complexas de uma variável. O tema tem um triplo interesse que lhe confere
características do que se costuma chamar “elegância” em matemática: ideias simples
unificadoras e clarificadoras de conceitos que (em análise real) apareciam como distintos
ou complicados, fertilidade para o desenvolvimento de outras áreas da matemática, e
relevância para aplicações a outras ciências e à engenharia.
A análise complexa tem características unificadoras e explicativas de conceitos e
situações encontrados em álgebra e análise real elementares que só se tornam evidentes
no contexto complexo. Por exemplo, todo o número real ou complexo diferente de zero
tem exactamente n raízes complexas distintas igualmente espaçadas numa
circunferência de centro na origem do plano complexo, quando pode ter zero, uma ou
duas raízes reais1. As equações polinomiais com coeficientes reais ou complexos de grau
n têm sempre n soluções complexas, contando multiplicidades, quando podem até não
ter qualquer solução real, mesmo quando têm coeficientes reais2. No quadro complexo as
funções trigonométricas podem ser expressas em termos da função exponencial,
unificando funções que no quadro real parecem não estar relacionadas. As séries de
Taylor de funções complexas indefinidamente diferenciáveis num ponto convergem
absolutamente para o valor da função nos pontos a uma distância inferior a um “raio de
convergência” e divergem nos pontos a uma distância superior a este valor, o qual é
precisamente a distância do ponto considerado aos pontos mais próximos onde a função
não é diferenciável ou não está definida, quando a série de Taylor de uma função real
indefinidamente diferenciável pode não convergir para a função sem que ocorram pontos
onde esta deixe de ser indefinidamente diferenciável3. Assim, no quadro complexo as
1 Respectivamente, 2 k a , com a < 0 e k ∈ ℕ, 2 k +1 a , com a > 0 e k ∈ ℕ, ou ± 2 k a , com a > 0 e k ∈ ℕ.
2 Por exemplo, x 2 k + 1 = 0 , com k ∈ ℕ.
3 Por exemplo, a função real 1 /(1 + x 2 ) é indefinidamente diferenciável em todos os números reais, mas a
sua série de Taylor converge para | x |< 1 e diverge para | x |> 1 , enquanto a função complexa definida pela
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funções analíticas4 são precisamente as funções diferenciáveis, quando tal não se verifica
no quadro real. Além disso, uma função complexa diferenciável é automaticamente
indefinidamente diferenciável e analítica, quando no caso real pode até não ter segunda
derivada.
Um outro aspecto é a fertilidade da análise complexa para o desenvolvimento de
outras áreas da matemática, como é o caso da Teoria do Potencial e das Equações
Diferenciais Parciais (dado que as partes real e imaginária de uma função complexa
diferenciável são soluções da equação diferencial parcial de Laplace que é satisfeita pelo
potencial associado a fenómenos de equilíbrio de processos conservativos em meios
contínuos), da Análise Funcional e do Cálculo de Variações (pois as soluções da equação
de Laplace satisfazem o Princípio de Dirichlet de minimização do quadrado da norma
dos seus gradiantes, o que corresponde a minimizar a energia dos campos vectoriais de
que são potenciais), da Análise Harmónica (uma vez que as séries de Fourier5 e as
transformações de Fourier e de Laplace são definidas no quadro complexo), da
Geometria Diferencial (onde a própria noção de variedade diferencial e de Geometria
Riemanniana encontrou a primeira motivação nas chamadas “Superfícies de Riemann”
consideradas em análise complexa para resolver por funções (que definem relações
unívocas) a “inversão” de funções não injectivas6), da Topologia Algébrica (dado que as
noções de número de rotação de um caminho fechado, de homotopia e de homologia
ocorrem de forma natural no estudo de funções de uma variável complexa), da
Geometria Algébrica (dado que os conjuntos de nível de funções complexas são
exemplos de curvas algébricas), da Teoria Analítica dos Números (onde a distribuição
dos números primos pode ser esclarecida através da Função Zeta de Riemann7).
As aplicações da Análise Complexa são inúmeras. O seu desenvolvimento inicial
confundiu-se com o próprio desenvolvimento de áreas de aplicação como cartografia,
hidrodinâmica, aerodinâmica, elasticidade, electroestática, electromagnetismo e
processos de difusão em química e em biologia. A ligação da Análise Complexa a áreas
de outras ciências e da engenharia é tão íntima que o próprio desenvolvimento de várias
dessas áreas se confundiu com os métodos de análise complexa, por exemplo no cálculo
do movimento de fluidos, da elasticidade em sólidos, dos campos eléctricos e
electromagnéticos resultantes de distribuições de cargas e correntes eléctricas, da força
de sustentação de asas de aviões, de sistemas de controlo, de análise de sinais.
Inclusivamente, houve uma época em que o termo Matemática Aplicada era
praticamente tomado como sinónimo de métodos de análise complexa e equações
diferenciais.
Com estas características, não é surpreendente que vários dos mais destacados
matemáticos de toda a história se tenham interessado pela Análise Complexa.
Encontramos não só contribuições dos cinco gigantes da história da matemática cujas
biografias são resumidas no apêndice IV — Euler, Gauss, Cauchy, Riemann e Poincaré
— como, mais recentemente, de matemáticos distintos entre os quais um número
mesma expressão é indefinidamente diferenciável para | x |< 1 , mas não está definida nos pontos ± − 1
de valor absoluto 1, o que explica que o raio de convergência seja igual a 1.
4 Isto é, representáveis por séries de potências.
5 Joseph Fourier (1768-1830).
6 Por exemplo, z 2 .
∞
7 ς ( z) =
∑n =1 n − z .
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impressionante de premiados com a Medalha Fields8 em vários anos desde 1936, quando
este prémio começou a ser atribuído de quatro em quatro anos9: Ahlfors (1936), Selberg
(1950), Kodaira (1954), Serre (1954), Grothendieck (1966), Bombieri (1974), Fefferman
(1978), McMullen (1998).
Um outro aspecto interessante da Análise Complexa de funções de uma variável é
a forma rápida como se desenvolveu, principalmente nos cinquenta anos de 1810 a 1860
e, com menos intensidade, nos setenta anos seguintes até 1930, embora tenha havido
contribuições pontuais para a área durante o resto do século XX.
No primeiro capítulo revê-se a definição de números complexos, a sua
representação geométrica como pontos de um plano e as estruturas algébrica, métrica e
topológica do plano complexo, dando ênfase à extensão algébrica dos números reais
pelos números complexos e à identificação métrica e topológica do plano complexo com
o plano real ℝ 2 .
No segundo capítulo é definida a exponencial complexa e as correspondentes
funções logaritmo, e são esclarecidas as suas relações com funções trigonométricas,
hiperbólicas e potências, mostrando que no quadro complexo todas estas funções
traduzem aspectos da função exponencial. São introduzidas diversas formas de
representação geométrica de funções complexas: deformação geométrica do plano
complexo pela representação de famílias de curvas e das suas imagens, gráficos das
partes real e imaginária, gráficos do módulo e de um argumento, linhas de nível das
partes real e imaginária.
O terceiro capítulo é dedicado à noção de derivada e às suas implicações
geométricas. São estabelecidas as Condições de Cauchy-Riemann para a
diferenciabilidade e exploradas consequências, em particular a das funções com
derivadas diferentes de zero definirem transformações conformes, analisando-se em
detalhe a importante classe das transformações de Möbius10 e a forma como deformam o
plano complexo.
O quarto capítulo é dedicado à noção de integral. Discute-se a existência de
primitiva, e estabelece-se o Teorema de Cauchy e a Fórmula de Cauchy locais para
funções holomorfas11 em conjuntos convexos, com base no resultado de Goursat que em
1900 dispensou a hipótese de continuidade da derivada. Prova-se a Propriedade de Valor
Médio de funções holomorfas em círculos fechados.
O quinto capítulo é dedicado à noção de função analítica. Adopta-se de forma
sistemática a opção de K. Weierstrass e Élie Cartan de identificar a noção de função
analítica com função representável por uma série de potências. Neste capítulo esclarecese o conceito de convergência simples, absoluta e uniforme de séries e a convergência de
séries de potências. Como aplicações, estabelece-se que as funções analíticas são
indefinidamente diferenciáveis e as suas derivadas de qualquer ordem são também
8 John Charles Fields (1863-1932) instituiu em 1936 as Medalhas Fields, consideradas uma espécie de
“Prémio Nobel” da matemática. Estas medalhas são tradicionalmente atribuídas a matemáticos com menos
de 40 anos no Congresso Internacional de Matemática que reúne de quatro em quatro anos, embora tenha
havido uma interrupção entre 1936 e 1950 devida à II Guerra Mundial.
9 Lars Valerian Ahlfors (1917-1996), Atle Selberg (1917-), Kunhiiko Kodaira (1915-1997), Jean Pierre
Serre (1926-), Alexander Grothendieck (1928-), Enrico Bombieri (1946-), Charles Louis Fefferman
(1949-), Curtis McMullen (1958-).
10 Isto é, funções do tipo f ( z ) = (az + b) /(cz + d ) , com a, b, c, d ∈ ℂ e ad − bc ≠ 0 .
11 Isto é, funções diferenciáveis.
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analíticas, esclarece-se que os zeros de funções analíticas em regiões12 onde não se
anulam são pontos isolados e têm ordem finita, prova-se que funções analíticas iguais
num subconjunto com um ponto limite numa região coincidem em toda a região,
estabelece-se a Fórmula de Parseval para séries de potências e usa-se esta fórmula para
obter as estimativas de Cauchy, o Teorema de Liouville, o Princípio do Módulo Máximo
e o correspondente resultado para mínimos13.
No capítulo 6 unificam-se as noções introduzidas de forma independente nos três
capítulos precedentes, estabelecendo-se a equivalência de holomorfia, validade do
Teorema de Cauchy em conjuntos convexos e analiticidade. Prova-se o Teorema
Fundamental da Álgebra e esclarece-se a estrutura local de funções holomorfas com a
consideração do Teorema da Função Inversa e do Teorema da Aplicação Aberta.
Também se prova um teorema de Weierstrass que estabelece a analiticidade dos limites
de sucessões e séries de funções analíticas uniformemente convergentes em conjuntos
compactos. Assim, fica claro que o processo de extensão de funções polinomiais a
funções analíticas pela consideração de séries, quando aplicado a funções analíticas com
a convergência uniforme em conjuntos compactos, não conduz a uma nova extensão das
funções consideradas. O capítulo termina com resultados de A. Hurwitz respeitantes à
passagem de várias propriedades dos termos de sucessões de funções uniformemente
convergentes em conjuntos compactos para os seus limites (inexistência de zeros,
injectividade e inclusão de contradomínios num mesmo conjunto).
O capítulo 7 estabelece o Teorema e a Fórmula de Cauchy globais, expressos em
termos da noção de homologia de caminhos, que é definida com base no número de
rotação (ou índice) de um caminho fechado em relação a um ponto. Como consequência,
mostra-se que o Teorema de Cauchy é imediatamente válido para funções holomorfas
em regiões simplesmente conexas.
No capítulo 8 consideram-se singularidades isoladas de funções complexas, as
quais são classificadas como removíveis, pólos e singularidades essenciais, e estabelecese o desenvolvimento em série de Laurent de uma função numa singularidade isolada.
Introduz-se a noção de função meromorfa e estabelece-se o Teorema dos Resíduos,
como corolário simples do Teorema de Cauchy Global considerado no capítulo anterior.
Seguem-se várias aplicações do Teorema dos Resíduos ao cálculo de integrais de
funções complexas e de funções reais, incluindo integrais impróprios, e à demonstração
do Princípio do Argumento e do Teorema de Rouché relativos à contagem e localização
de zeros e pólos.
Inclui-se em apêndice uma breve apresentação das biografias dos cinco gigantes da
matemática referidos no início deste prefácio que contribuíram decisivamente para o
desenvolvimento da Análise Complexa: Euler, Gauss, Cauchy, Riemann e Poincaré.
Além deste apêndice de natureza histórica, as introduções aos vários capítulos contêm
referências históricas detalhadas que são usadas para apresentação dos correspondentes
assuntos e compreensão da forma como foram desenvolvidos, e no final do livro são
incluídas tabelas cronológicas que permitem uma visão global do desenvolvimento
histórico dos conceitos tratados. Houve, portanto, uma preocupação sistemática de situar
historicamente os vários tópicos tratados no texto, à medida que são apresentados.
12 Isto é, conjuntos abertos e conexos.
13 Se necessário, ver o significado destes termos, bem como dos seguintes, nos correspondentes capítulos.
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O texto foi muito influenciado pelos livros de Lars Ahlfors, Complex Analysis,
Walter Rudin, Real and Complex Analysis e Boris Chabat, Introduction à l’Analyse
Complexe. O primeiro destes livros permanece uma das melhores referências actuais
sobre o assunto, apesar da sua primeira edição ter sido há cinquenta anos. Contudo, o
presente livro distingue-se destes e outros textos em vários aspectos, dos quais se
destacam:
i) uma introdução rápida e rigorosa à análise de funções de uma variável complexa,
tratando os aspectos principais de diferenciabilidade e integração (digamos até ao
Teorema dos Resíduos), de forma adaptada a um curso de meio semestre;
ii) a utilização dos conhecimentos usuais de disciplinas anteriores de análise real e
álgebra linear, construindo sobre as matérias anteriores, evitando recomeçar o
estudo, sublinhando semelhanças e concentrando a atenção nos aspectos novos e
diferentes;
iii) a separação clara no início do texto dos conceitos de diferenciabilidade, de
integração e validade local do Teorema de Cauchy, e de analiticidade, seguida de
um momento claro de unificação dos três conceitos e, depois, da globalização do
Teorema de Cauchy;
iv) a utilização frequente, desde o início, de representações geométricas com a
intenção de desenvolver a intuição sobre as restrições e as formas de
transformação associadas à diferenciabilidade de funções complexas, em
particular explorando transformações conformes, o que transparece nas cerca de
150 figuras incluídas;
v) a adopção simplificada dos conceitos topológicos apropriados à descrição das
principais propriedades de funções holomorfas, nomeadamente dos conceitos de
índice, homotopia e homologia;
vi) a motivação para estudos ulteriores sobre outros aspectos da análise complexa e
outras áreas da matemática, nomeadamente topologia, geometria e equações
diferenciais;
vii) a referenciação histórica sistemática do desenvolvimento dos conceitos tratados.
Em vários exercícios ilustra-se a aplicação da análise complexa em áreas como
hidrodinâmica, aerodinâmica, elasticidade, processos de difusão, electroestática,
circuitos eléctricos, análise de sinais, controlo de sistemas lineares.
Como se pode observar, apesar do livro ter sido escrito com o objectivo de apoiar
um curso de meio semestre de introdução à análise complexa, houve a preocupação de
que constitua uma base coerente e sólida onde podem ser naturalmente alicerçados
estudos subsequentes, sem que se justifique refazer com mais profundidade partes dos
tópicos considerados.
Cabe aqui referir algumas ideias simples que determinaram a orientação deste
livro, bem como de outros do mesmo autor, e que já foram mencionadas em livros
anteriores.
Um primeiro ponto é que a aprendizagem da matemática, para além de um estudo
regular que permita um gradual amadurecimento dos conceitos, requer a resolução de
exercícios por cada aluno individualmente. É quase sempre ao tentarmos resolver
problemas que esclarecemos conceitos e nos apercebemos de dificuldades que não
notamos durante leituras ou a participação em aulas. Por esta razão incluem-se muitos
exercícios no final dos vários capítulos. A resolução de exercícios, a procura de
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exemplos, contra-exemplos e demonstrações, para esclarecer questões que surjem
durante o estudo, constituem uma insubstituível componente experimental que é
essencial para progredir no conhecimento da matemática. Esta referência à necessidade
de resolução de problemas por cada aluno deve ser bem compreendida: não se trata de
automatizar a resolução de “exercícios tipo”; bem pelo contrário, um exercício deixa de
ser útil para a aprendizagem quando a sua resolução está automatizada e não oferece
dificuldades.
Um outro ponto é a minha convicção que no ensino da matemática, tal como de
outras disciplinas, os aspectos de natureza utilitária ligados à necessidade deste ou
daquele tópico para áreas de aplicação imediata devem ser integrados em objectivos de
formação mais ambiciosos e não devem ser tomados como objectivos dominantes a
adquirir por simples automatização. Na verdade, treinar alunos exclusivamente num
receituário de cálculo sem ensinar os raciocínios que os fundamentam não ajuda a
prepará-los para, no futuro, poderem acompanhar o progresso da ciência e da técnica,
contribuírem para o seu desenvolvimento e aplicação, ou até para simples mudanças de
actividades ao longo da vida. Além disso, a formação de tipo exclusivamente utilitário é
geralmente feita em condições em que os alunos não conseguem identificar as limitações
dos métodos usados nem adaptá-los a situações que não sejam de rotina académica. Do
ponto de vista de formação geral é mais importante ensinar ideias e conceitos que se
revelaram férteis e ilustrar a sua influência noutras actividades, em particular em áreas
relacionadas com as especializações dos alunos, do que insistir num tratamento
exclusivamente virado para a ginástica de cálculo. A fertilidade de conceitos
demonstrada historicamente é o único critério sólido para escolha de tópicos a estudar.
Este livro teve uma gestação prolongada, na forma de apontamentos manuscritos
testados em aulas para alunos do segundo ano dos vários cursos de engenharia, física e
matemática do IST da Universidade Técnica de Lisboa, durante um período de vários
anos anterior a 1997. Depois de uma ausência de cinco anos em funções de
administração pública de ciência e tecnologia retomei o texto, ampliando-o e
modificando-o durante o ensino de um honours course no semestre de Primavera de
2002/03, altura em que foi pela primeira vez disponibilizado a alunos.
Gostaria de agradecer a vários colegas e alunos que me foram indicando falhas no
texto ao longo do período em que foi preparado. Agradeço especialmente a Luís Miguel
Diogo e Fernando Jorge Machado, alunos do honours course de 2002/03, e ao meu
colega João Palhoto Matos com quem partilhei os princípios orientadores do texto. Não é
possível mencionar todos os outros aqui de forma diferenciada, pelo que fica um
agradecimento colectivo, lamentavelmente anónimo.
Lisboa, Fevereiro de 2004
LUIS T. MAGALHÃES