LISTA 04 -RACIOCÍNIO LÓGICO – CONTAGEM – PRINCÍPIO
FUNDAMENTAL DA CONTAGEM – FATORIAL – ARRANJOS SIMPLES – PERMUTAÇÕES
SIMPLES – COMBINAÇÕES - Professor Joselias – 2009
CONTAGEM
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
Este princípio é conhecido como princípio da multiplicação e
tem o seguinte enunciado: Sejam dois acontecimentos A e B.
Se o acontecimento A pode ocorrer de m maneiras distintas
e, para cada uma das m maneiras o acontecimento B pode
ocorrer de n maneiras distintas então o número de
possibilidades de ocorrer A seguido da ocorrência de B é
mxn.
1. (TRE-2009) Em um restaurante que ofereça um cardápio
no qual uma refeição consiste em uma salada — entre salada
verde, salpicão e mista —, um prato principal — cujas
opções são bife com fritas, peixe com purê, frango com arroz
ou massa italiana — e uma sobremesa — doce de leite ou
pudim. Qual a quantidade de refeições possíveis de serem
escolhidas por um cliente?
2. As chapas dos automóveis são formadas por três letras e
quatro algarismos. Quantos carros podem ser licenciados
nessas condições?
3. Uma moça possui 10 blusas, 8 saias e 4 sapatos de
quantos modos ela pode se vestir?
4. Quantos números de três algarismos podem ser formados
no sistema decimal?
Resp.: 900 números.
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5. Quantos números pares de três algarismos podem ser
formados com os algarismos 1,3,5,6,8,9?
Resp.: 72 números.
6. Quantos números de três algarismos distintos podem ser
formados com os algarismos 1,3,5,6,8,9?
Resp.: 120 números.
7. Quantos números pares de três algarismos distintos podem
ser formados com os algarismos 1, 3, 5, 6, 8,9?
8. (PUC) O número total de inteiros positivos que podem ser
formados com algarismos 1, 2, 3 e 4, se nenhum algarismo é
repetido em nenhum inteiro, é:
a. 54
b. 56
c. 58
d. 60
e. 64
9. Quantos números pares de três algarismos podem ser
formados com os algarismos 1, 2, 3, 6, 7, 9 ?
10. Quantos números de três algarismos distintos podem ser
formados com os algarismos 1, 3, 5, 6, 8, 9?
11. Quantos números pares de três algarismos distintos
podem ser formados com os algarismos 1, 3, 5, 6, 8, 9
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12. Se um quarto tem 5 portas, o número de maneiras de se
entrar nele e sair por uma porta diferente é:
a. 5
b. 10
c. 15
d. 20
e. 30
13. Calcule:
a) 4! =
b) 5!
c) 7!
ARRANJOS SIMPLES
Seja A um conjunto com n elementos e p um número natural,
com p ≤ n . Chamamos um arranjo simples p a p, dos n
elementos de A, a cada subconjunto ordenado de p
elementos de A. Como o subconjunto é ordenado temos que
p
A
são distintos quanto a ordem. Então chamaremos de n ao
número de arranjo de n objetos, p a p.
14. Quais são os arranjos dos objetos a, b e c tomados 2 a 2?
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15. Quantos números de três algarismos distintos podemos
formar com os algarismos significativos?
16. Seis pessoas querem se sentar em um ônibus com 20
lugares desocupados. De quantas maneiras elas poderão se
acomodar?
PERMUTAÇÃO SIMPLES
Chamamos de permutações simples de n objetos
distintos a qualquer arranjo desses n elementos
tomados em qualquer ordem. Assim, teremos o
número de permutação de n objetos distintos, que
denotamos por Pn a:
17. Quais são as permutações simples dos objetos a, b e c?
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18. Quantos anagramas podemos fazer com as letras da
palavra ESTUDO?
19. Calcular quantos números de cinco algarismos distintos
podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5?.
20. Quantos anagramas possui a palavra BANANA?
21. Quantas anagramas possui a palavra ARROZ?
22. Quantos anagramas podemos formar com as letras da
palavra ANATEL?
23. Quantos anagramas podemos formar com as letras da
palavra ANATEL começando com consoante?
24. Quantos anagramas podemos formar com as letras da
palavra ANATEL começando com vogal?
25. (Sta. CASA) Existem 4 estradas de rodagem e 3 estradas
de ferro entre as cidades A e B. Quantos são os diferentes
percursos para fazer a viagem de ida e volta entre A e B,
utilizando rodovia e trem, obrigatoriamente, em qualquer
ordem?
a) 4! × 3!
b 2! × 4! × 3!
c. 24
d. 12
e. 7
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COMBINAÇÕES SIMPLES
Seja um conjunto A, com n elementos distintos. Chamamos
de combinação simples dos n elementos, tomados k a k, a
qualquer subconjunto de k elementos do conjunto A.
Indicamos o número de combinações dos n elementos
n
k
n ou k .
tomados k a k por
C
( )
26. Calcule:
2
C
a. 5
3
C
b. 7
27. Com cinco alunos, quantas comissões de três alunos
podemos formar?
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28. Com seis alunos, quantas comissões com dois alunos
podemos formar?
29. De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um
grupo de 6 objetos distintos.
30. Quantas diagonais possui o pentágono regular?
31. (F.G.V.) Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes.
Quantas comissões de 5 pessoas podem ser formadas
contendo 2 diretores e 3 gerentes?
32. Quantas saladas de frutas diferentes, podemos formar
com 5 frutas, se possuo 8 frutas distintas?
33. (OSEC) Do cardápio de uma festa constavam 10
diferentes tipos de salgadinhos dos quais só 4 seriam
servidos quentes. O garçom encarregado de arrumar a
travessa e servi-la foi instruído para que a mesma contivesse
sempre só dois tipos de salgadinhos frios e só 2 diferentes
dos quentes. De quantos modos diferentes, teve o garçom a
liberdade de selecionar os salgadinhos para compor a
travessa, respeitando as instruções?
34. (PUC) Uma mensagem em código deve ser feita de tal
forma que, cada letra do alfabeto seja representada por uma
seqüência de n elementos, onde cada elemento é zero (0) ou
um (1). O menor valor de n de modo que as 26 letras do
alfabeto possam ser representadas é:
a) 5
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b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
35. (GV) Na figura, quantos caminhos diferentes podem ser
feitos de A até B, deslocando-se uma unidade de cada vez,
para cima ou para a direita?
a) 126
b) 858
c) 326
d) 954
e) 386
36) De um grupo de 9 professores, 5 lecionam Matemática.
Quantas comissões de 3 componentes podem ser formadas
de modo que em cada uma compareça pelo menos um
professor de Matemática?
a) 8 b) 79
c)84
d)83
e)n.r.a.
37) Quantas diagonais possui o pentágono regular?
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38) Quantas diagonais possui o hexágono regular?
39)Calcule:
0
1
2
3
C
+
C
+
C
+
C
3
3
3 =
a) 3
0
1
2
3
4
C
+
C
+
C
+
C
+
C
4
4
4
4
4 =
b)
0
1
2
3
4
5
c) C 5 + C 5 + C 5 + C 5 + C 5 + C 5 =
0
1
2
3
4
n
d) C n + C n + C n + C n + C n +......+ C n =
0
1
2
3
4
10
e) C10 + C10 + C10 + C10 + C10 +......+ C10 =
1
2
3
C
+
C
+
C
3
3
3 =
f)
1
2
3
4
C
+
C
+
C
+
C
4
4
4
4 =
g)
1
2
3
4
5
C
+
C
+
C
+
C
+
C
5
5
5
5
5 =
h)
1
2
3
4
n
i) C n + C n + C n + C n +......+ C n =
1
2
3
4
10
C
+
C
+
C
+
C
+
......
+
C
10
10
10
10
10 =
j)
40) Numa sala há dez portas. Calcular o número de maneiras
diferentes desta sala estar aberta?
41) De um grupo de cinco pessoas, de quantas maneiras
distintas posso convidar uma ou mais para jantar?
42) Podemos afirmar que o número de linhas da tabelaverdade para proposições compostas de três átomos é:
a) 3
b) 4
c) 6
d) 8
e) 9
43) Considerando a tabela-verdade, podemos afirmar que o
número de proposições não equivalentes de um átomo é:
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a) 3
b) 4
c) 6
d) 8
e) 9
44) Considerando a tabela-verdade, podemos afirmar que o
número de proposições não equivalentes de dois átomos é:
a) 4
b)8
c) 9
d) 16
e) 20
45) Quantos triângulos distintos podemos formar dispondo
de 11 pontos num plano, 5 dos quais estão numa mesma
reta?
46) Numa caixa contém 7 bolas de cores diferentes. Quantas
coleções de bolas desta caixa podemos formar?
47) Numa classe existem 10 alunas das quais uma se chama
Maria, e 6 alunos, sendo João o nome de um deles. Formamse comissões constituídas por 4 alunas e 3 alunos. Quantas
são as comissões das quais participam, simultaneamente,
João e Maria?
48) Uma urna contém 6 bolas vermelhas e 4 bolas brancas.
De quantos modos distintos se podem retirar da urna 5 bolas,
de modo que pelo menos uma delas seja branca?
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