Texto complementar
Poliedros de Platão
Nelma M. D. Pedone
MATEMÁTICA
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Matemática
Assunto: Geometria
Poliedros de Platão
Por que são assim chamados e qual a razão de serem apenas cinco os poliedros regulares?
Pelo menos três dos cinco sólidos geométricos regulares (tetraedro, cubo, dodecaedro) foram estudados
pelos pitagóricos, e os outros dois (octaedro e icosaedro) tornaram-se conhecidos através de Teaetetus, um
amigo de Platão. No entanto, frequentemente são chamados “sólidos platônicos” devido à maneira pela qual
Platão os aplicou à explicação de fenômenos científicos.
Platão de Atenas foi um dos mais famosos filósofos gregos. Não se distinguiu na Matemática, mas, entusiasmado pela filosofia dos números pitagóricos, incorporou-a a seu trabalho, influenciando gerações posteriores. Tornou-se conhecido como “o criador de matemáticos”.A maior parte dos trabalhos de Platão sobreviveu até hoje, o que
permite uma ampla visão do pensamento grego, pois Platão escreveu sobre quase todos os assuntos da época.
Fundou uma Academia na qual se achava escrito sobre a porta “Que ninguém que ignore a Geometria entre aqui”.
Platão acreditava que a essência da realidade era a eternidade das formas geométricas e das relações numéricas,
em contraste com a transitoriedade das coisas materiais, e desenvolveu a teoria das formas ideais. O estudo da
Matemática foi recomendado porque ela trata das eternas formas geométricas, tais como círculos e triângulos.
As ideias pitagóricas sobre poliedros regulares foram adotadas por Platão. Há somente cinco poliedros
regulares (poliedros cujas faces são polígonos regulares congruentes e que têm ângulos iguais em todos os
vértices). São os seguintes:
Poliedro
No de faces
Tipo de face
tetraedro
4
triângulo
cubo
6
quadrado
octaedro
8
triângulo
dodecaedro
12
pentágono
icosaedro
20
triângulo
É fácil entender por que há somente cinco poliedros regulares se, usando sólidos construídos com cartolina, fizermos sua planificação. Nivelando os cantos de um poliedro, a soma dos ângulos dos polígonos
unidos em cada vértice será menor que 360°. Considere as possibilidades de união de polígonos regulares. É
claro, necessitamos, no mínimo, de três faces unidas em cada vértice para formar um sólido.
• Cada ângulo de um triângulo equilátero mede 60°. Teremos as seguintes possibilidades:
No de triângulos equiláteros
Soma dos ângulos
Poliedros formados
3
180º
tetraedro
4
240º
octaedro
5
300º
icosaedro
6
360º
impossível
1
A
B
B
60º
D
A
60º
C
D
C
B
A
E
B
D
B
B
60º
60º
C
A 60º
60º
60º
C
E
D
F
B
A
B
G
C
K
E
F D
H
J
A
60º
B
I
C
L
F
60º
60º
60º
60º
E
D
• Um quadrado tem 4 ângulos de 90°, então podemos fazer a seguinte união em cada vértice:
No de
quadrados
Soma dos
ângulos
Poliedro
formado
3
270º
cubo
4
360º
impossível
B
G
B
E
D
A
B
F
C
E
A
90º
G
90º
90º
C
D
F
• Cada ângulo de um pentágono mede 108°.
Desse modo, unindo três pentágonos, obtemos
E
324° em cada vértice e o poliedro formado é um
F
F
E
dodecaedro.
D
C
• Cada ângulo de um hexágono mede 120°.
D
D
C
A
A
Juntado três hexágonos, a soma dos ângulos
G
seria 360°, então não é possível nenhum
L
L
G
H
poliedro com faces hexagonais. Similarmente
B
B
I
não é possível nenhum poliedro com faces de
I
H
7 lados ou mais.
Platão pôs suas ideias sobre os sólidos regulares num diálogo intitulado Timaeus, nome de um pitagórico,
que serve como principal interlocutor.
Em Timaeus, Platão estabeleceu uma teoria por meio da qual as formas geométricas básicas (triângulos)
combinam para compor os elementos regulares. Lembremos que os gregos acreditavam que havia somente
quatro elementos básicos: fogo, terra, ar e água. Platão relacionou os elementos com os quatro poliedros
regulares da seguinte maneira:
fogo – tetraedro
terra – cubo
ar – octaedro
água – icosaedro
O fogo foi pensado ser composto de partículas em forma de tetraedro. Para incluir o quinto sólido regular
(dodecaedro), Platão fê-lo símbolo do Universo.
PEDONE, Nelma M. D. Poliedros de Platão. Texto cedido pela Sociedade Brasileira de Matemática,
publicado originalmente na Revista do Professor de Matemática (http://www.rpm.org.br/).
Rio de Janeiro: SBM, n. 15, p. 42-45, 1989.
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