DIDATIKA
vestibulares
Nome: ___________________________________________________________
Sala: _____
Nota: _____
a) Uma circunferência λ, de raio igual a 5, tem o seu centro situado no eixo dos x. Obtenha as possíveis equações de
λ, sabendo que o ponto P = (4 ; 4) pertence a ela. (2,5 pontos)
b) Duas retas r e s, perpendiculares, intersectam-se no ponto P(4 ; 4) e intersectam o eixo dos x nos pontos A e B,
respectivamente, ambos de abscissa positiva. Se a distância AB é igual a 10, obtenha a equação reduzida de r e a
de s. (2,5 pontos)
COMENTÁRIO:
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a) Uma circunferência λ, de raio igual a 5, tem o seu centro situado no eixo dos x. Obtenha as possíveis equações de
λ, sabendo que o ponto P = (4 ; 4) pertence a ela. (2,5 pontos)
b) Duas retas r e s, perpendiculares, intersectam-se no ponto P(4 ; 4) e intersectam o eixo dos x nos pontos A e B,
respectivamente, ambos de abscissa positiva. Se a distância AB é igual a 10, obtenha a equação reduzida de r e a
de s. (2,5 pontos)
Resolução Esperada
a) Seja C = (a ; 0) o centro de λ . Do enunciado, PC = 5 ⇒ (a – 4)2 + (0 – 4)2 = 52. Resolvendo essa equação, obtemos
a = 1 ou a = 7. Logo, há dois centros possíveis para λ, que são (1 ; 0) e (7 ; 0). Assim, as possíveis equações de λ são
as seguintes:
e
λ1: (x – 1)2 + y2 = 25
λ2: (x – 7)2 + y2 = 25
b) Se r e s são perpendiculares, o triângulo APB é retângulo em P, e assim, ele está inscrito numa circunferência em
que a hipotenusa AB é um diâmetro. Sendo AB = 10, o raio dessa circunferência é igual a 5. Há duas circunferências
que satisfazem tais condições e são exatamente as que encontramos no item a. Ou seja, os pontos A e B são aqueles
em que as circunferências do item a intersectam o eixo dos x. Delas, a única circunferência que satisfaz A e B com
abscissa positiva é a λ2. Como o raio é 5, os pontos A e B são (2 ; 0) e (12 ; 0). [Obs.: outra maneira de obter os pontos
A e B é impor y = 0 na equação da circunferência de λ2]. Agora, as retas r e s podem ser obtidas facilmente:
reta r (reta AP):
x y 1
4 4 1 = 0 ⇒ 2x – y – 4 = 0 ∴ y = 2x – 4
2 0 1
reta s (reta BP):
x y 1
4 4 1 = 0 ⇒ x + 2y – 12 = 0 ∴ y = –x/2 + 6
12 0 1
COMENTÁRIO:
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