MATEMÁTICA
PRÉ-VESTIBULAR
LIVRO DO PROFESSOR
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© 2006-2009 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do
detentor dos direitos autorais.
I229
IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. —
Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]
660 p.
ISBN: 978-85-387-0571-0
1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.
CDD 370.71
Disciplinas
Autores
Língua Portuguesa
Literatura
Matemática
Física
Química
Biologia
História
Geografia
Francis Madeira da S. Sales
Márcio F. Santiago Calixto
Rita de Fátima Bezerra
Fábio D’Ávila
Danton Pedro dos Santos
Feres Fares
Haroldo Costa Silva Filho
Jayme Andrade Neto
Renato Caldas Madeira
Rodrigo Piracicaba Costa
Cleber Ribeiro
Marco Antonio Noronha
Vitor M. Saquette
Edson Costa P. da Cruz
Fernanda Barbosa
Fernando Pimentel
Hélio Apostolo
Rogério Fernandes
Jefferson dos Santos da Silva
Marcelo Piccinini
Rafael F. de Menezes
Rogério de Sousa Gonçalves
Vanessa Silva
Duarte A. R. Vieira
Enilson F. Venâncio
Felipe Silveira de Souza
Fernando Mousquer
Produção
Projeto e
Desenvolvimento Pedagógico
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Geometria
espacial e de
posição
3)Se uma reta tem dois pontos distintos em um
plano, então todos os pontos da reta pertencem a esse plano.
A geometria de posição é o ponto inicial para
o entendimento da geometria espacial. Com ela
temos a melhor percepção das projeções tanto de
um ponto na reta como de uma reta no plano, dando
início à formação de um sólido. É muito utilizada na
astronomia e na computação gráfica.
Postulados (axiomas)
4) Um ponto de uma reta divide-a em duas semirretas, e esse ponto é dito origem das semirretas.
1)Por dois pontos distintos passa uma única
reta.
EM_V_MAT_029
2)Por três pontos distintos, não-colineares,
passa um único plano.
5) Uma reta de um plano divide-o em dois semiplanos onde tal reta é a origem dos semi-planos.
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1
6)Um plano divide o espaço em dois semiespaços, sendo esse plano a origem dos
semiespaços.
7)Duas retas r e s são ditas paralelas quando
forem coplanares e a interseção for vazia,
ou quando forem coincidentes (r ≡ s). Nesse
caso, são ditas paralelas coincidentes.
r e s, o ângulo entre r e s é dado pelo ângulo
entre as concorrentes r1 e s1, que são, respectivamente, as paralelas a r e s passando
por P.
4)Uma reta r é secante a um plano α quando
a interseção é um ponto. Esse ponto é dito
traço da reta no plano.
α
8)Por um ponto exterior a uma reta r, passa uma
única reta s e paralela a r.
P
5)Uma reta r é paralela a um plano α quando a
interseção for vazia.
r
α
6)Dois planos são secantes quando a interseção
é uma reta e são paralelos quando a interseção é vazia.
9)Duas retas paralelas a uma terceira são paralelas entre si.
Secantes
Paralelos
α
r
β
α
β
Alguns teoremas importantes:
1)Uma reta e um ponto fora dela determinam
um único plano que os contêm.
2)Duas retas concorrentes determinam um
único plano que as contêm.
Posições relativas
1)Retas concorrentes – quando a interseção é
um ponto.
r
s
P
3)Duas retas paralelas não coincidentes determinam um único plano.
4)Sejam três planos distintos e secantes dois a
dois em três retas distintas, sendo que essas
retas ou são paralelas duas a duas, ou são
concorrentes num mesmo ponto.
r ∩ s = {P}
2)Retas reversas – quando a interseção é vazia
(não são coplanares e não são paralelas).
6)Por um ponto exterior a um plano α existe
um único plano paralelo a α que contenha
tal ponto.
3)Ângulos entre retas reversas – Dadas duas
retas reversas r e s e um ponto P, exterior a
2
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EM_V_MAT_029
5)Dados dois planos paralelos a α e β, seja γ um
terceiro plano secante a α, logo γ também será
secante a β e as interações serão paralelas.
Projeção ortogonal
1)A projeção ortogonal de um ponto P sobre
um plano α é um ponto P, que é a interseção
da reta que passa por P e é perpendicular
ao plano α.
Existem poliedros não-convexos:
2)A projeção ortogonal de uma reta sobre um
plano é uma reta ou é um ponto, no caso de
r ⊥ α.
Algumas notações:
P → ponto
α → plano
r → reta
⊥ → perpendicular
// → paralela
Poliedros convexos
Os poliedros são sólidos delimitados por figuras
planas e muito utilizados por escultores contemporâneos, pois suas combinações de faces, vértices e
arestas expressam bem as três dimensões. Atualmente, encontramos jogos infantis como o RPG, cujos
dados são poliedros. Temos como grande estudioso
dos poliedros, Platão.
Consideramos um poliedro convexo, aquele
obtido pela reunião de 4 ou mais polígonos convexos
e quando o segmento de reta que liga dois pontos
do poliedro estiver contido no poliedro. Como exemplo, podemos destacar uma caixa de sapatos e uma
pirâmide.
``
Relação de Euler
Para todo poliedro convexo vale a seguinte
relação:
V+F=A+2
onde:
•• V = número de vértices
•• F = número de faces
•• A = número de arestas
``
Exemplo:
Exemplo:
Pontos e partes do poliedro
EM_V_MAT_029
Vértices: A, B, C, ...
Arestas: AB, AD, AE, ...
Faces: ABCD, ABFE, …
Diagonal da Face: CF, AF, ...
Diagonal do poliedro: DF, AG...
V = 5 (A, B, C, D, E)
F = 5 (ABC, ACD, ADE, ABE, BCDE)
A = 8 (AB, AC, AD, AE, BC, CD, DE, BE)
Logo, podemos observar que a relação de Euler
é verdadeira.
V + F = A + 2 → (5 + 5 = 8 + 2)
Todo poliedro convexo é euleriano, mas nem
todo poliedro euleriano é convexo.
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3
Dicas para o cálculo do número de arestas
A = n.° de faces x n° de lados de faces
2
A = n.° de vértices x n.° de arestas de cada vértice
2
Octaedro regular
•• 8 faces triangulares equiláteras;
•• 6 vértices onde chegam 4 arestas;
•• 12 arestas.
Outras relações importantes são:
•• soma dos ângulos das faces:
SF = 360º (V – 2)
•• número de diagonais:
D=
V(V − 1)
− A − Σdf
2
•• superfície do poliedro convexo aberta:
V+F=A+1
Poliedros regulares
Dodecaedro regular
•• 12 faces pentagonais regulares;
•• 20 vértices onde chegam 3 arestas;
•• 30 arestas.
Poliedro regular é aquele em que todas as faces
são polígonos regulares congruentes, e todos os ângulos sólidos são congruentes.
Só existem cinco polígonos regulares:
Tetraedro regular
•• 4 faces triangulares equiláteras;
Icosaedro regular
•• 4 vértices onde chegam 3 arestas;
•• 20 faces triangulares equiláteras;
•• 6 arestas.
•• 12 vértices onde chegam 5 arestas;
•• 30 arestas.
Hexaedro regular
•• 6 faces quadradas;
•• 12 arestas.
4
Chama-se prisma a reunião de todos os segmentos paralelos e congruentes a um segmento de reta,
que tem uma das extremidades contida num polígono
pertencente a um plano, de forma que todos esses
segmentos estejam num mesmo semiespaço (assim,
as bases são paralelas e iguais).
EM_V_MAT_029
•• 8 vértices onde chegam 3 arestas;
Prismas
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•• Oblíquo: as arestas laterais são oblíquas aos
planos das bases.
90º
•• Regular: é todo prisma reto, cujas bases são
polígonos regulares.
Elementos:
Secção
•• Reta: é a seção obtida no prisma por um plano
perpendicular à aresta lateral.
al
Fl
h = altura
ab = aresta da base
al =aresta lateral
V = vértices
Fl = face lateral
•• Transversal: é a seção obtida no prisma por
um plano paralelo aos planos das bases.
Classificação dos prismas
•• Reto: as arestas laterais são perpendiculares
aos planos das bases.
EM_V_MAT_029
Fórmulas:
Área Total (St)
St = 2Sb + SI
Sb = área da base
SI = área lateral
Volume (V)
V = Sb . h
Sb = área da base
h = altura
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5
Cubo
Diagonal
D = a2 + b2 + c2
É um prisma quadrangular regular, com todas
as arestas iguais.
Demonstração do cálculo da diagonal
Área Total
St = 6a2
Volume
V = a3
Diagonal
D=a 3
Demonstração do cálculo da diagonal
d2 = a 2 + b 2
D2 = d 2 + c 2
D2 = a 2 + b 2 + c 2
D = a2 + b2 + c2
Pirâmides
D2 = d 2 + a 2
D2 = (a 2 )2 + a2
D2 = 3a2
D=a
3
Paralelepípedo retângulo: é um prisma reto
cujas bases são retângulos.
Dado um polígono contido em um plano, se de
um ponto V fora do plano, traçarmos segmentos aos
vértices desse polígono, o sólido formado será uma
pirâmide.
(a)
V
Volume
V=a.b.c
6
(a)
Uma pirâmide é regular quando a base é um
polígono regular e a projeção ortogonal do vértice
sobre o plano é o centro desta.
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EM_V_MAT_029
Área total
St = 2 (ab + ac + bc)
Elementos da pirâmide
Demonstração do volume
V
A
h
A
O
h
a
C
A
a
A 2 = h 2 + a2
C
B
D
E
D
E
F
F
A
a = apótema da base
h = altura da pirâmide
A = apótema da pirâmide ou altura da face
O = centro da base
B
C
D
Área e volume
Área lateral (S )
E
A
A
S =p.A
p = semiperímetro da base
A = apótema da pirâmide
Área total (ST)
ST = SB + S
SB = área da base
S = área lateral
B
C
C
D
E
E
Caso particular
Tetraedro regular
A
Volume (V)
V=
SB = área da base
h = altura
a
a
SB . h
3
h
D
B
O
M
a
EM_V_MAT_029
C
O = baricentro do triângulo equilátero BCD
h = altura
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7
2
BM
3
2a 3
BO =
3 2
BO =
BO =
a 3
3
A
a
2. (UFF) Marque a opção que indica quantos pares de
retas reversas são formados pelas retas suportes das
arestas de um tetraedro.
a) Um par.
h
B
b) Dois pares.
c) Três pares.
o
a 3
3
2
a 3
 + h2
a2 = 

3


h=
a 6
3
d) Quatro pares.
e) Cinco pares.
``
Solução: C
A
Área total (ST)
B
a2 3
2
ST = 4.
→ ST = a 3
4
D
C
Volume (V)
a
V=
•• AC e BD
a2 3
SB =
4
S .h
V= B
3
•• CD e AB
•• AD e BC
2
3 a 6
4
3
3
V=
a
3
2
12
Três pares
3. Num poliedro convexo, 7 faces são quadriláteras e as
outras são triângulos. O número de arestas é o dobro
do número de faces triangulares. Determine o número
de faces, vértices e arestas do poliedro.
``
Solução:
7F – 4
I. Se dois planos distintos têm um ponto comum, então terão também outro ponto comum distinto do
primeiro.
II. Três pontos distintos determinam um único plano.
III. A distância entre dois pontos de uma reta é um
número real que depende da unidade da medida
escolhida.
Assinale a alternativa correta.
a) Apenas II é falsa.
b) I e II são falsas.
c) II e III são verdadeiras.
d) I, II e III são falsas.
e) Apenas I é verdadeira.
``
Solução: A
xF – 3
A = 2x
7.4+x.3
A=
2
2
2x = 28 + 3x
2
4x = 28 + 3x
x = 28
F = 7 + 28
F = 35
A = 2 . 28
A = 56
V+F=A+2
V + 35 = 56 + 2
V = 23
II. Falsa, três pontos distintos não colineares determinam
um único plano.
8
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EM_V_MAT_029
1. Considere as seguintes sentenças:
4. Pedrinho fez um poliedro convexo de origami que tinha
5 faces quadrangulares e 6 faces pentagonais. Calcule
o número de vértices desse poliedro.
``
Solução:
5F – 4
6F – 5
a . b . a . c . b . c = 20 . 15 . 12
F = 11
A=5.4+6.5
2
2
a.b.c=
A = 25
a . b . c = 60
a2 . b2 . c2 = 20 . 15 . 12
V+F=A+2
7.
Uma caixa cúbica com 10cm de aresta tem o mesmo
volume que um litro. Calcule quantos litros tem uma caixa
d’água cúbica com 1m de aresta.
``
Solução:
V + 11 = 25 + 2
V = 16
5. Dois blocos de alumínio em forma de cubo, com aresta
medindo 10cm e 6cm, são levados juntos à fusão e em
seguida o alumínio líquido é moldado como paralelepípedo reto de arestas 8cm, 8cm e x cm. Calcule x.
``
Solução:
20 . 15 . 12 = 3 600
1litro = 1 000cm3 = 1dm3
1m3 = 1 000dm3 = 1 000
8. A figura representa a planificação de uma pirâmide
quadrilátera regular, com todas as arestas iguais.
Se OQ vale 3 3 cm, calcule o volume da pirâmide:
P
Q
V3 = V1 + V2
8 . 8 . x = 103 + 63
``
Solução:
64 x = 1 216
P
x = 19cm
a
6. As faces de um paralelepípedo retângular têm por
área 12cm2, 15cm2 e 20cm2. Calcule o volume desse
paralelepípedo.
``
a
h
O
Q
Solução:
Dado:
a) a . b = 20
b)a . c = 15
a = 6cm → OQ = 3cm
EM_V_MAT_029
c) b . c = 12
a 3
2
a 3
3 3 =
2
PQ =
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9
P
d) I, II e III são falsas.
h
3 3
( 3 3 )2 = h 2 + 3 2
h = 3 2cm
O
Q
b) Duas retas não-coplanares são reversas.
SB . h
3
6 23 2
SB =
=
3
V = 36 2cm 3
c) Se a interseção de duas retas é conjunto vazio, elas
são paralelas.
d) Se três retas são paralelas, existe um plano que as
contém.
9. Calcule o volume do tetraedro regular que tem área total
igual a 36 3 m2.
Solução:
a
a
a3 2
12
a 2 3 = 36 3
63 2
V =
a = 6m
12
a
V = 18 2 m3
10. Pedro comprou uma barra de chocolate cúbica e pretende dividi-Ia em pirâmides que tenham como base as
faces do cubo. Ouantas pirâmides Pedro pode formar?
``
2. Qual das afirmações abaixo é verdadeira?
a) Se duas retas distintas não são paralelas, elas são
congruentes.
V =
``
e) Apenas I é verdadeira.
ST = a 2 3
V =
e) Se três retas distintas são duas a duas concorrentes, elas determinam um e um só plano.
3. Em relação ao plano a, os pontos A e B estão no mesmo
semiespaço e os pontos A e C estão em semiespaços
opostos. Em relação ao plano b, os pontos A e B estão
em semiespaços opostos, bem como os pontos A e C.
Pode-se concluir que o segmento BC:
a) é paralelo a a Ç b.
b) encontra a e b.
c) encontra a, mas não b.
d) encontra b, mas não a.
e) não encontra a nem b.
4. A reta r é paralela ao plano a. Então:
a) todas as retas de a são paralelas a r.
Solução:
Se tomarmos um ponto no interior do cubo, poderemos
formar seis pirâmides com vértices nesse ponto e base
nas faces do cubo.
b) a reta r não pode ser coplanar com nenhuma reta
de a.
c) existem em a retas paralelas e retas reversas em
relação a r.
d) existem em a retas paralelas e perpendiculares a r.
e) todo plano que contém r é paralelo a a.
I. se dois planos distintos têm um ponto comum, então terão outro ponto comum, distinto do primeiro.
5. Sejam r, s e t retas no espaço. Se r e s são perpendiculares a t, então:
a) r e s são paralelas.
II. três pontos distintos determinam um único plano.
b) r e s são perpendiculares.
III. a distância entre dois pontos de uma reta é um
número real, que depende da unidade da medida
escolhida.
c) r e s são reversas.
Assinale a alternativa correta.
a) Apenas II é falsa.
d) r e s são coplanares.
e) nenhuma das afirmativas acima é verdadeira.
6. Se uma reta a é perpendicular a uma reta b e a reta b é
paralela a uma reta c, podemos concluir que:
b) I e III são falsas.
a) a ∩ c ≠ ∅
c) II e III são verdadeiras.
b) a ⊥ c
c) a = c
10
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EM_V_MAT_029
1. Considere as seguintes sentenças:
d) a // c
e) nenhuma das anteriores está correta.
7.
13. (UFPA) Um poliedro convexo tem 6 faces e 8 vértices.
O número de arestas é:
Dois planos b e g se cortam na reta r e são perpendiculares a um plano a. Então:
a) 6
a) b e g são perpendiculares.
c) 10
b) r é perpendicular a a.
d) 12
c) r é paralela a a.
e) 14
d) todo plano perpendicular a a encontra r.
e) existe uma reta paralela a a e a r.
8. São dados cinco pontos não-coplanares A, B, C, D, E.
Sabe-se que ABCD é um retângulo, AE ⊥ AB e AE ⊥ AD.
Pode-se concluir que são perpendiculares as retas:
a) EA e EB.
b) 8
14. (ITA) Se um poliedro convexo possui 20 faces e 12
vértices, o número de arestas desse poliedro é:
a) 12
b) 18
c) 28
d) 30
b) EC e CA.
e) 32
c) EB e BA.
15. (Mackenzie) Sabe-se que um poliedro convexo tem 8
faces e que o número de vértices é maior que 6 e menor
que 14. Então, o número de arestas é tal que:
d) EA e AC.
e) AC e BE.
9. Das afirmações abaixo:
I. Duas retas perpendiculares a um mesmo plano são
coplanares.
II. Duas retas paralelas a um mesmo plano são paralelas entre si.
III. Se um plano intercepta dois outros planos, em retas
paralelas, então os dois também são paralelos.
Temos que:
a) apenas uma é falsa.
a) 14 ≤ A ≤ 20
b) 14 ≤ A < 20
c) 13 < A < 19
d) 13 ≤ A ≤ 19
e) 12 ≤ A ≤ 20
16. (Unificado) Um poliedro convexo tem 14 vértices. Em
6 desses vértices concorrem 4 arestas, em 4 desses
vértices concorrem 3 arestas nos demais concorrem 5
arestas. O número de faces do poliedro é igual a:
b) apenas uma é verdadeira.
a) 16
c) apenas duas são verdadeiras.
b) 18
d) todas são falsas.
c) 24
e) todas são verdadeiras.
d) 30
10. Determine o número de vértices de um poliedro convexo
com 30 faces pentagonais.
11. Um poliedro convexo possui 6 faces pentagonais e
oito faces hexagonais. Determine o número de vértices
desse poliedro.
12. (PUC) O poliedro regular que possui 20 vértices, 30
arestas e 12 faces denomina-se:
e) 44
17. (UERJ) Com uma chapa plana, delgada, de espessura uniforme e massa homogeneamente distribuída,
construíram-se duas peças: uma com a forma de um
cubo (Fig. A) e a outra com a forma de um poliedro com
9 faces, formado a partir de um outro cubo congruente
ao primeiro, onde as três faces menores são quadrados
congruentes (Fig. B).
a) tetraedro.
EM_V_MAT_029
b) hexágono.
c) octaedro.
d) icosaedro.
e) dodecaedro.
Fig. A
Fig. B
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11
As informações acima possibilitam a seguinte conclusão:
a) o peso de A é igual ao de B.
b) o volume de A é igual ao de B.
c) a superfície de A é maior que a de B.
d) a superfície de A é menor que a de B.
18. (UFF) O sólido representado abaixo possui todas as
arestas iguais a L.
21. (Fuvest) Dois blocos de alumínio em forma de cubo, com
arestas medindo 10cm e 6cm, são levados juntos à fusão
e, em seguida, o alumínio líquido é moldado como um
paralelepípedo reto de arestas 8cm e xcm.
O valor de x é:
a) 16
b) 17
c) 18
d) 19
e) 20
L
Sabendo-se que todos os ângulos entre duas faces
adjacentes são retos, pode-se afirmar que o seu volume é:
a) 7L3
b) 9L3
O volume do nadador, em dm3, é igual a:
a) 480
b) 360
c) 11L3
c) 300
d) 19L3
d) 240
e) 27L3
19. (Fuvest) O volume de um paralelepípedo reto retângulo
é 240cm3. As áreas de duas de suas faces são 30cm2 e
48cm2. A área total do paralelepípedo, em cm2, é:
a) 96
e) 120
23. (Unirio) Um engenheiro vai projetar uma piscina, em
forma de paralelepípedo reto retângulo, cujas medidas
internas são, em m, expressas por x, 20 – x, e 2. O maior
volume que essa piscina poderá ter, em m3, é igual a:
b) 118
a) 240
c) 236
b) 220
d) 240
c) 200
e) 472
d) 150
20. (Unificado)
e) 100
4cm
4cm
1cm
1cm
1cm 2cm
c) R$360,00
d) R$340,00
e) R$329,00
b) l 2
3
c) l
2
2
d) l
e) l
2
1
2
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EM_V_MAT_029
Na fabricação da peça anterior, de um único material que
custa R$5,00 o cm3 deve-se gastar a quantia de:
a) R$400,00
b) R$380,00
24. (UFF) Em um cubo de aresta l, a distância entre o ponto
de encontro de suas diagonais internas e qualquer de
suas arestas é:
a) l 3
2cm
12
22. (Unirio) Uma piscina na forma de um paralelepípedo
retângulo tem 8m de comprimento, 6m de largura e 3m
de profundidade. Um nadador que estava totalmente
submerso na piscina verificou que, ao sair, o nível da
água baixou 0,5cm.
25. A soma das seis distâncias a cada face de um ponto P,
no interior de um cubo, é igual a 6cm. O volume desse
cubo é:
29. (UfcE) A figura abaixo representa um galpão com as
medidas indicadas.
a) 1m3
5m
5m
m
b) 6m3
20
4m
c) 8m3
8m
d) 64m3
e) 216m3
26. (FCC-MG) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são diretamente proporcionais aos números 5, 6
e 8. Se a diagonal desse paralelepípedo mede 25cm, a
sua área total, em cm2, é:
a) 590
O volume total desse galpão é:
a) 880m3
b) 920m3
c) 960m3
d) 1 020m3
30. (Unirio) Um prisma de altura H e uma pirâmide têm
bases com a mesma área. Se o volume do prisma é a
metade do volume da pirâmide, a altura da pirâmide é:
b) 630
c) 1 180
a) H/6
d) 1 260
b) H/3
e) 1 380
27. (FMABC) Sejam a, b, c as dimensões de um paralelepípedo retângulo, p a soma das dimensões, d a diagonal,
k2 a área total e V o volume. Temos:
a) p2 = d2 + k2
c) 2H
d) 3H
e) 6H
31. (Unirio)
b) d2 = p2 + k2
c) k2 = p2 + d2
d) V = pdk
e) p2 = dk
28. (Vunesp) Se dobrarmos convenientemente as linhas
tracejadas da figura abaixo, obteremos uma figura espacial cujo nome é:
Uma pirâmide está inscrita num cubo, como mostra a
figura acima. Sabendo-se que o volume da pirâmide é
de 6m3, então o volume do cubo, em m3, é igual a:
a) 9
b) 12
c) 15
d) 18
e) 21
a) pirâmide de base pentagonal.
b) paralelepípedo.
c) octaedro.
32. (UFF) A figura abaixo representa a planificação de uma
pirâmide quadrangular regular.
P
EM_V_MAT_029
d) tetraedro.
e) prisma.
Q
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13
Sabendo-se que PQ mede 3 3 cm e que as faces laterais
são triângulos equiláteros, o volume da pirâmide é:
37. (Cesgranrio) Em um cubo de aresta 3 6 , considera-se o
tetraedro VABC, como o indicado na figura.
a) 18 2cm3
V
b) 36 2cm3
c) 48 2cm3
3
d) 60 2cm
33. É possível construir uma pirâmide regular de 7 vértices
com todas as arestas congruentes, isto é, de mesma
medida? Justifique.
34. A altura da pirâmide de base ACF contida no cubo de
aresta igual a 3 abaixo, é:
B
A
C
D
A
O volume do tetraedro é:
a) 2
b) 2
c)
d)
G
E
a)
6
b)
3
c)
F
1
3
d)
e)
B
C
e) 72 2cm3
2
2
1
3
3
35. Um tetraedro regular tem área total igual a 6 3cm .
Então, sua altura, em cm, é igual a:
a) 2
b) 3
c) 2 2
3
6
3
e) 1
38. (Fuvest) Qual a altura de uma pirâmide quadrangular
que tem as oito arestas iguais a 2 ?
a)
1
b)
1, 5
c)
2
d)
2, 5
e)
3
39. (Unicamp) Uma pirâmide regular, de base quadrada,
tem altura igual a 20cm. Sobre a base dessa pirâmide
constrói-se um cubo de modo que a face oposta à base
do cubo corte a pirâmide em um quadrado de lado igual
a 5cm. Faça uma figura representativa dessa situação e
calcule o volume do cubo.
d) 3 2
e) 3 3
36. Dado um cubo de aresta, qual é o volume do octaedro
cujos vértices são os centros das faces do cubo?
1. (EsPCEx) Considere as seguintes proposições:
I. Toda reta paralela a um plano é paralela a qualquer
reta desse plano.
14
III. Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, então, ela é perpendicular a
esse plano.
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EM_V_MAT_029
II. Uma reta e um ponto determinam sempre um único
plano.
Pode-se afirmar que:
a) só I é verdadeira.
c) Um plano a paralelo a duas retas de um plano b é
paralelo a b.
b) só III é verdadeira.
d) Um plano a perpendicular a uma reta de um plano
b é perpendicular a b.
c) só I e III são verdadeiras.
d) só III é falsa.
6. (AFA) Qual das afirmações abaixo é verdadeira?
a) Por uma reta dada pode-se conduzir um plano paralelo a um plano dado.
e) só I e III são falsas.
2. (AFA) Os planos a e b são paralelos. A reta r é perpendicular a a e a reta s é perpendicular a b. Pode-se
concluir que r e s são:
b) Se uma reta é paralela a dois planos, então esses
planos são paralelos.
c) Por um ponto qualquer é possível traçar uma reta
que intercepta duas retas reversas dadas.
a) coplanares.
b) reversas.
d) Se duas retas concorrentes de um plano são, respectivamente, paralelas a duas retas de outro plano, então estes planos são paralelos.
c) ortogonais.
d) perpendiculares.
3. (AFA) Qual é a afirmação verdadeira?
a) Se uma reta é paralela a um plano, ela é paralela a
todas as retas contidas nesse plano.
b) Se dois planos são perpendiculares entre si, qualquer outro plano que os corta faz retas perpendiculares.
c) Se uma reta e um plano são perpendiculares entre
si, então o plano contém todas as suas retas perpendiculares à reta dada pelo seu ponto de intersecção com o plano dado.
7.
(AFA) O conjunto de soluções de uma única equação
linear a1x + a2y + a3z = b é representado por um plano
no sistema de coordenadas retangulares xyz (quando
a1, a2, a3 não são todos iguais a zero). Analise as figuras
a seguir.
I. Três planos se cortando numa reta.
II. Três planos se cortando num ponto.
III. Três planos sem interseção.
I.
d) Se duas retas paralelas r e s encontram o plano a
em A e B, respectivamente, o segmento de reta AB
é perpendicular à reta r e s.
4. (AFA) Dado um plano p e dois pontos A e B fora dele,
é verdadeiro afirmar que:
II.
a) nunca se pode passar por A e B um plano paralelo
a p.
b) é sempre possível passar por A e B pelo menos um
plano perpendicular a p.
c) há no máximo dois planos passando por A e B, perpendiculares a p.
III.
d) nunca se pode passar por A e B dois planos, sendo
um paralelo e outro perpendicular a p.
5. (AFA) Qual das afirmações é correta?
a) Dois planos a e b paralelos à mesma reta, são paralelos entre si.
EM_V_MAT_029
b) Um plano a paralelo a uma reta de um plano b é
paralelo a b.
Assinale a opção verdadeira.
a) A figura I representa um sistema de três equações,
com uma única solução.
b) A figura III representa um sistema de três equações, cujo conjunto solução é vazio.
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15
c) A figura II representa um sistema de três equações,
com uma infinidade de soluções.
d) As figuras I e III representam um sistema de três
equações, com soluções iguais.
8. (AFA-SP) Considere as proposições a seguir:
I. se dois planos são paralelos, então toda reta que
é paralela a um deles é paralela ou está contida no
outro;
II. se uma reta é paralela a um plano, então é paralela
a todas as retas do plano;
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
14. (Cesgranrio) O poliedro da figura (uma invenção de Leonardo Da Vinci, utilizada modernamente na fabricação
de bolas de futebol) tem como faces 20 hexágonos e 12
pentágonos. O número de vértices do poliedro é:
III. se dois planos são secantes, toda reta de um intercepta o outro plano.
Pode-se afirmar que as proposições verdadeiras são:
a) apenas I.
b) I e III.
c) II e III.
a) 64
d) apenas II.
b) 90
c) 60
d) 72
e) 56
9. Quatro pontos distintos e não-coplanares determinam exatamente:
a) 1 plano.
15. (UERJ) Considere a estrutura da figura a seguir como
um poliedro de faces quadradas, formadas por 4 cubos
de arestas iguais, sendo V o número de vértices distintos,
F o número de faces distintas e A o número de arestas
distintas.
b) 2 planos.
c) 3 planos.
d) 4 planos.
e) 5 planos.
11. Num poliedro convexo, 7 faces são quadriláteras e as
outras são triângulos. O número de arestas é o dobro
do número de faces triangulares. Determine o número
de faces, vértices e arestas do poliedro.
12. A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo é
igual a 5 760º, e ele possui somente faces triangulares e
heptagonais. Sendo 28 o seu número de arestas, calcule
o número de faces de cada tipo.
13. (UFF) São dados 7 triângulos equiláteros, 15 quadrados
e 30 pentágonos regulares, todos de mesmo lado. Utilizando esses polígonos, o número máximo de poliedros
regulares que se pode formar é:
16
Se V, F e A são, respectivamente, o número de vértices,
faces e arestas desse “poliedro”, temos V + F igual:
a) A – 4
b) A + 4
c) A – 2
d) A + 2
e) A
16. (Unirio) Um geólogo encontrou, numa de suas explorações, um cristal de rocha no formato de um poliedro,
que satisfaz a relação de Euler de 60 faces triangulares.
O número de vértices desse cristal é igual a:
a) 35
b) 34
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EM_V_MAT_029
10. Quantos pares de retas reversas existem em um
cubo?
c) 33
d) 32
e) 31
17. (Enem) Um poliedro convexo possui 11 faces. Sabemos
que, de um de seus vértices partem 5 arestas, de 5 outros vértices partem 4 arestas e de cada vértice restante
parte 3 arestas. O número de arestas do poliedro é:
c) 30
Para confeccionar uma bola de futebol, o artesão
usa esse novo poliedro, no qual cada gomo é uma
face. Ao costurar dois gomos para unir duas faces
do poliedro, ele gasta 7cm de linha.
Depois de pronta, o artesão gastou, no mínimo, um
comprimento de linha igual a:
a) 7,0m
d) 37
b) 6,3m
e) 41
c) 4,9m
a) 20
b) 25
18. (ITA) Um poliedro convexo de 10 vértices apresenta
faces triangulares e quadrangulares. O número de
faces quadrangulares, o número de faces triangulares
e o número total de faces formam, nessa ordem, uma
progressão aritmética. O número de arestas é:
a) 10
b) 17
c) 20
d) 22
e) 23
19. (Mackenzie) Em um poliedro convexo, em 4 de seus
vértices concorrem 3 arestas, em outros 5, 4 arestas e
nos 3 vértices restantes, 6 arestas. O número de faces
do poliedro é igual a:
d) 2,1m
21. Um poliedro convexo de 16 arestas é formado por faces
triangulares e quadrangulares. Seccionando-o por um
plano convenientemente escolhido, dele se destaca
um novo poliedro convexo, que possui apenas faces
quadrangulares. Este novo poliedro possui um vértice a
menos que o original e uma face a mais que o número
de faces quadrangulares do original. Sendo m e n, respectivamente, o número de faces e o número de vértices
do poliedro original, então:
a) m = 9, n = 7
b) m = n = 9
c) m = 8, n = 10
a) 10
d) m = 10, n = 8
b) 11
e) m = 7, n = 9
22. Um cubo é formado de 1 000 “cubinhos” congruentes
e cinco de suas faces, excetuando-se a base, foram
pintadas.
c) 12
d) 13
EM_V_MAT_029
e) 15
20. (UERJ) Um icosaedro regular tem 20 faces e 12
vértices, a partir dos quais retiram-se 12 pirâmides
congruentes. As medidas das arestas dessas pirâmides são iguais a 1/3 da aresta do icosaedro. O que
resta é um tipo de poliedro usado na fabricação de
bolas. Observe as figuras.
Desmontando-se essa pilha de “cubinhos”, verificamos
que há “cubinhos” que estão pintados em uma face,
duas faces e três faces. O número de “cubinhos”
pintados em apenas duas faces é igual a:
a) 80
b) 72
c) 68
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17
d) 64
d) 776 3cm3
e) 7 776cm3
e) 60
23. Uma barra (paralelepípedo retângulo) de doce de leite
com 5cm x 6cm x 7cm foi completamente envolvida por
um papel laminado. Se a barra for cortada em cubos
de 1cm de aresta, quantos cubos ficarão sem qualquer
cobertura de papel laminado?
24. (UFRJ) Uma caixa sem tampa, completamente cheia de
leite, tem a forma de um paralelepípedo retângulo de
dimensões internas a = 10cm, b = 7cm e c = 16cm.
Inclina-se a caixa de 60° em relação ao plano horizontal,
de modo que apenas uma das menores arestas fique em
contato com o plano, como mostra a figura.
c
a
28. As faces de um paralelepípedo são losangos de lado
igual a 2m , sendo a diagonal menor igual ao lado. O
volume desse paralelepípedo vale:
3 3
m
2
b) 3m3
a)
3
c) 2 2m
d) 2m3
e) 3 2 m3
2
29. (UFC) A base de um prisma reto é um triângulo isósceles cujos lados iguais medem 2cm e um dos ângulos
internos mede 120°. Se esse prisma tem 6 3cm de
altura, o seu volume, em cm3, é:
60
b
a) 9 3
Calcule o volume do leite derramado.
25. Procura-se construir um cubo grande empilhando cubos
pequenos e todos iguais. Quando se coloca um certo
número de cubos pequenos em cada aresta, sobram
cinco; e se tentasse acrescentar um cubo a mais em
cada aresta, ficariam faltando trinta e dois. Quantos são
os cubos pequenos?
26. As medidas das três dimensões de um paralelepípedo
retângulo estão em progressão geométrica. Sabendo
que a área total e o volume desse paralelepípedo são,
respectivamente, 112cm2 e 64cm3, calcule as medidas
das suas dimensões.
27. Um fabricante de embalagens, para fazer caixas de papelão, sem tampa, em forma de prisma hexagonal regular
(veja figura 1, abaixo), utiliza hexágonos regulares de
papelão, cada um deles com lado 30cm. Corta, em cada
vértice, um quadrilátero, como o pontilhado na figura 2
e, a seguir, dobra o papelão nas linhas tracejadas.
b) 18
c) 18 3
d) 21
e) 21 3
30. (UFF) A base de um prisma reto é um triângulo de lados iguais a 5m, 5m e 8m e altura de 3m; o seu volume
será:
a) 12m3
b) 24m3
c) 36m3
d) 48m3
e) 60m3
31. (Fuvest) Na figura abaixo, X e Y são, respectivamente,
os pontos médios das arestas AB e CD do cubo.
30cm
h= 3 3cm
Sabendo-se que a altura é de 3 3cm , seu volume é:
a) 900cm3
b) 2 700 3 cm3
18
c) 727 3cm
3
A
Fig. 2
A razão entre o volume do prisma AXFEDYGH e o do
cubo é:
a)
3
8
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EM_V_MAT_029
Fig. 1
b)
c)
d)
e)
1
2
34. Operários rolam um cubo de granito de 1m de aresta
até ele dar uma volta completa.
0
A distância, em metros, percorrida por um vértice é
de:
2
3
3
4
5
a)
(2 + 2 ) p
b)
( 2 + 1) p
2
2
6
32. (UERJ) O menor número de seções planas que se pode
fazer em uma peça cúbica de modo a dividi-la em 27
cubos congruentes é:
c) 3p
2
d) 3 2p
2
a) 3
e) 2p
b) 4
35. A figura mostra a vista de cima de uma pirâmide VABCD, de base retangular ABCD. A projeção ortogonal
do vértice V sobre o plano da base divide a aresta CD
ao meio.
c) 6
d) 9
e) 27
A
33. Um dado com forma de cubo tem suas faces numeradas arbitrariamente de 1 a 6.
A figura abaixo representa o mesmo dado em duas
posições diferentes.
2
5
1
5
b)
2
5 5
2
d) 5 2
b) 3
e) 5 3
e) 6
EM_V_MAT_029
3
15
Qual a face oposta à face 1?
a) 2
d) 5
C
20
c)
c) 4
V
Se AB = 10, BC = 5 e a altura da pirâmide é 5, então o
comprimento da aresta VB é:
a)
3
4
D
B
36. Determine a razão entre o volume de um tetraedro e o
volume do octoedro cujos vértices são os pontos médios
das arestas do tetraedro.
37. Considere um tetraedro regular aresta L, altura h e altura
de uma face h1. Se k é um ponto interno do tetraedro
e x, y, z e w são as distâncias de k a cada uma de suas
faces, pode-se afirmar que:
a) x + y + z + w = L
b) x + y + z + w = h
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19
c) x + y + z + w = h1
d) 12
d) x + y + z + w = 3L
e)
e) x + y + z + w = 3h1
38. (UERJ) Com os vértices A, B, C e D de um cubo de
aresta a, construiu-se um tetraedro regular, como mostra
a figura abaixo:
25
2
41. (UFF) No tetraedro regular representado na figura, R e S
são, respectivamente, os pontos médios de NP e OM .
P
A
D
R
C
0
E
B
b) a razão entre os volumes do tetraedro ABCD e do
cubo.
39. (UERJ) Um triângulo equilátero ABC (fig. 1) de papelão foi dobrado na sua altura AH. Apoia-se o papelão
dobrado com os lados AB e AC sobre a mesa, de modo
ˆ tenha 60° (fig. 2).
que o ângulo BHC
A razão
2
2
H
θ
A
M
B
Fig. 1
B
Fig. 2
A tangente do ângulo θ que AH faz com o plano da
mesa é igual a:
a)
b)
c)
d)
2
2
d)
2
e) 3 2
42. (UFES) Considere um cubo de aresta igual a 1cm. Sejam
ABCD e A’ B’ C’ D’ duas faces opostas desse cubo.
Podemos obter uma pirâmide tomando o quadrado
ABCD como base e A’ como vértice. A área total dessa
pirâmide mede:
(
2
)
a) 1 + 2 cm2
3
(
)
b) 2 1 + 2 cm2
2
(3 + 2 ) cm
1
c)
2
d) 2 2 + 2 cm2
(
1
e)
3
40. Em um tetraedro OABC, os ângulos entre as arestas
que concorrem em O são todos iguais a 90°. Se OA = 3,
OB = 5 e OC = 12, o comprimento da maior aresta do
tetraedro é:
a) 20
2
)
(2 + 2 )cm
2
43. (Ceasesp) Considere um octógono regular, cuja aresta
mede 6cm e um de seus vértices V repousa sobre um
plano P perpendicular a P em V, até interceptar o plano P,
formando uma pirâmide de base quadrangular. Assinale,
então, dentre as alternativas a seguir, a única que corresponde à área total dessa pirâmide assim construída.
b) 13
20
c) 15
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EM_V_MAT_029
A
RS
é igual a:
MN
3
b)
H
C
M
3
a)
c)
C
S
N
Calcule:
a) o volume da pirâmide EBCD em função de a;
V
a) 20%
b) 16%
c) 15%
d) 12%
e) 10%
P
V
47. Calcule o volume do poliedro ABCDEF, cujas faces são
um quadrado ABCD de lado a, dois triângulos equiláteros ADF e BEC e dois trapézios CDEF e ABEF, ambos
com base maior EF = 2a.
a) 9 3 cm3
b) 36 3 cm2
c) 144
(
)
3 + 1 cm2
d) 144 3 cm2
e) 108 3 cm2
44. Em uma pirâmide triangular regular VABC, o triedro de
vértice V é trirretângulo, e as arestas VA, VB e VC têm
comprimentos iguais. O cosseno do ângulo diedro, formado pelas faces ABC e VAB, vale, aproximadamente:
a) 0,33
b) 0,50
c) 0,58
d) 0,71
e) 0,84
45. Calcule a aresta do tetraedro que se obtém unindo-se
os baricentros das faces de tetraedro regular ABCD de
3cm de aresta.
A
B
D
EM_V_MAT_029
C
46. (Unificado) Uma folha de papel colorido, com a forma de um quadrado de 20cm de lado, será usada
para cobrir todas as faces e a base de uma pirâmide
quadrangular regular com altura de 12cm e apótema
da base medindo 5cm. Após se ter concluído essa
tarefa, e levando-se em conta que não houve desperdício de papel, a fração percentual que sobrará
dessa folha de papel corresponde a:
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21
16. A
17. A
2. B
3. C
4. C
5. E
6. E
7.
B
8. D
9. B
10. 47
11. 27
12. E
13. D
14. D
15. D
22
18. A
19. C
20. B
21. D
22. D
23. C
24. D
25. C
26. C
27. A
28. E
29. A
30. E
31. D
32. B
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EM_V_MAT_029
1. A
33. Não, pois as faces laterais seriam 6 triângulos equiláteros; em torno do vértice da pirâmide teríamos 6 x 60°
= 360°; portanto, as faces laterais estariam contidas no
plano da base.
25. 32 cubos.
34. B
28. E
35. A
29. B
3
30. C
l
36. 6
37. E
26. 2cm, 4cm e 8cm.
27. E
31. D
32. C
38. A
33. A
39. V = 1 000cm3
34. A
35. E
36. 2
37. B
1. B
38.
2. A
a3
6
1
b) 3
39. C
a)
3. C
4. B
5. D
6. D
7.
40. B
B
41. D
8. A
42. A
9. D
43. C
10. 24
44. C
11. F = 35
V = 23
A = 56
12. 7 faces triangulares; 5 faces heptagonais.
13. A
45. 1cm
46. E
3
47. a 2
3
14. C
15. B
16. D
17. A
18. C
19. E
20. B
EM_V_MAT_029
21. B
22. C
23. 60 cubos
24.
350 3 3
cm
3
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23
EM_V_MAT_029
24
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