Volume - ITA
1. (ITA) Considere o triângulo isósceles OAB, com lados OA e OB de comprimento 2 R e lado AB de comprimento 2R.
O volume do sólido, obtido pela rotação deste triângulo em torno da reta que passa por O e é paralela ao lado AB , é igual a:
π
(A) R3
2
(B) πR3
4π 3
R
(C)
3
(D)
2 πR3
(E)
3 πR3 .
2. (ITA) Considere a região do plano cartesiano xy definida pela desigualdade x2 + 4x + y2 – 4y – 8 ≤ 0.Quando esta região
rodar um ângulo de
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
π
radianos em torno da reta x + y = 0, ela irá gerar um sólido de superfície externa total com área igual a
6
128
π
3
128
π
4
128
π
5
128
π
6
128
π.
7
3. (ITA) Uma esfera de raio r é seccionada por n planos meridianos. Os volumes das respectivas cunhas esféricas contidas em
uma semi-esfera formam uma progressão aritmética de razão
πr 3
πr 3
. Se o volume da menor cunha for igual a
, então n é igual
45
18
a:
(A) 4.
(B) 3.
(C) 6.
(D) 5.
(E) 7.
4. (ITA) Uma esfera é colocada no interior de um cone circular reto de 8 cm de altura e de 60º de ângulo de vértice. Os pontos
de contato da esfera com a superfície lateral do cone definem uma circunferência e distam 2
volume do cone não ocupado pela esfera, em cm3, é igual a
416
(A)
π.
9
480
π.
(B)
9
500
(C)
π.
9
512
π.
(D)
9
542
π.
(E)
9
3 cm do vértice do cone. O
5. (ITA) O raio da base de um cone circular reto é igual à média aritmética da altura e a geratriz do cone. Sabendo-se que o
volume do cone é 128 π m3, temos que o raio da base e a altura do cone medem, respectivamente, em metros:
(A) 9 e 8
(B) 8 e 6
(C) 8 e 7
(D) 9 e 6
(E) 10 e 8.
6. (ITA) Um cilindro circular reto é seccionado por um plano paralelo ao seu eixo. A secção fica a 5cm do eixo e separa na
base um arco de 120º. Sendo de 30 3 cm2 a área da secção plana retangular, então o volume da parte menor do cilindro
seccionado mede, em cm3,
(A) 30π – 10 3
(B) 30π – 20 3
(C) 20π – 10 3
(D) 50π – 25 3
(E) 100π – 75 3 .
7. (ITA) Considere uma pirâmide regular de base hexagonal, cujo apótema da base mede 3 cm.
Secciona-se a pirâmide por um plano paralelo à base, obtendo-se um tronco de volume igual a 1 cm3 e uma nova pirâmide.
Dado que a razão entre as alturas das pirâmides é 1/ 2 , a altura do tronco, em centímetros, é igual a
(A) ( 6 – 2 )/ 4
(B) ( 6 –
3 )/3
(C) (3 3 – 6 ) / 21
(D) (3 2 – 2 3 )/ 6
(E) (2 6 – 2 )/ 22.
8. (ITA) Considere uma pirâmide regular com altura de
6
3
9
cm. Aplique a esta pirâmide dois cortes planos e paralelos à
base de tal maneira que a nova pirâmide e os dois troncos obtidos tenham, os três, o mesmo volume. A altura do tronco cuja
base é a base da pirâmide original é igual a
(A) 2 3 9 − 3 6 cm
(
(B) 2 ( 6 −
(C) 2 ( 6 −
(D) 2 ( 3 −
(E) 2 ( 9 −
3
3
3
3
3
3
3
3
)
2 ) cm
3 ) cm
2 ) cm
3 ) cm
9. (ITA) Quatro esferas de mesmo raio R > 0 são tangentes externamente duas a duas, de forma que seus centros formam
um tetraedro regular com arestas de comprimento 2R. Determine, em função de R, a expressão do volume do tetraedro
circunscrito às quatro esferas.
10. (ITA) Seja C uma circunferência de raio r e centro O e AB um diâmetro de C. Considere o triângulo eqüilátero BDE
inscrito em C. Traça-se a reta s passando pelos pontos O e E até interceptar em F a reta t tangente à circunferência C no
ponto A. Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região limitada pelo Arco AE e pelos
segmentos AF e EF em torno do diâmetro AB .
11. (ITA) Um dos catetos de um triângulo retângulo mede 3 2 cm. O volume do sólido gerado pela rotação deste triângulo
em torno da hipotenusa é π cm3. Determine os ângulos deste triângulo.
12. (ITA) Os quatro vértices de um tetraedro regular, de volume 8/3 cm3, encontram-se nos vértices de um cubo. Cada
vértice do cubo é centro de uma esfera de 1 cm de raio. Calcule o volume da parte do cubo exterior às esferas.
13. (ITA) A razão entre a área lateral e a área da base octogonal de uma pirâmide regular é igual a
Exprima o volume desta pirâmide em termos da medida a do apótema da base.
Gabarito
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
C
A
C
A
B
E
C
D
5.