geometria
e medidas
Guia do professor
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Objetivo da unidade
Apresentar uma maneira de construir e de calcular o volume de um
sólido de revolução cuja geratriz é formada pela união de segmentos
de reta.
requisitos de software Navegador moderno (Internet Explorer 7.0+ ou Firefox 3.0+), Adobe Flash
Player 9.0+ e máquina Java 1.5+.
restrições de acessibilidade Este software não possui recurso nativo de alto contraste nem
possibilita navegação plena por teclado.
licença Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons
Secretaria de
Educação a Distância
Ministério da
Ciência e Tecnologia
Ministério
da Educação
Governo Federal
Guia do professor
Forma e volume
de sólidos
de revolução
Sinopse
De maneira bastante intuitiva, o software possibilita o desenho de um sólido de revolução cujo perfil bidimensional (geratriz) é formado pela união
de segmentos de reta. É também apresentada uma maneira de calcular
o volume deste sólido utilizando as fórmulas para o volume do cone e
do cilindro.
Conteúdos
Sólidos de revolução;
Volume de cones e cilindros.
Objetivo
Apresentar uma maneira de construir e de calcular o volume de um sólido
de revolução cuja geratriz é formada pela união de segmentos de reta.
Duração
Uma aula dupla.
Recomendação de uso
Sugerimos que o software seja utilizado em duplas e que os alunos levem
papel e caneta para o laboratório de informática.
Material relacionado
Experimentos: Qual é o cone de maior volume?, Cilindro = cone +
esfera⁄²?
Áudio: O que é poliedro?
Software: Construção de Sólidos de Revolução.
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tela 1 Mapa do software.
' Construção
Os sólidos de revolução formam uma classe especial de objetos que encontramos no nosso dia a dia. Eles são utilizados em peças de máquinas,
brinquedos, utensílios domésticos e adereços de decoração. Pela maneira
como são construídos, possuem uma simetria que os torna interessantes
não apenas do ponto de vista estético ou funcional, mas, também, do ponto
de vista matemático.
Neste software exploramos uma classe de sólidos de revolução cujo
perfil bidimensional (curva geratriz) é formado pela união de segmentos
de reta.
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Estrutura do software
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As questões propostas nesta atividade objetivam o desenho no computador do sólido de revolução que servirá de base para a atividade 2 do
software. O primeiro passo consiste em traçar cada um dos três segmentos
de reta que formam o contorno do objeto no plano. Para fazer isso o aluno
deve utilizar o quadro que aparece no lado direito da tela, digitando
o comprimento e a inclinação do segmento em relação ao eixo horizontal,
no sentido anti-horário (em graus).
Após criar cada segmento o aluno deverá arrastá-lo para a parte correspondente no desenho, até completar o perfil bidimensional da figura,
denominado geratriz do sólido de revolução.
Após concluir o desenho da geratriz, o aluno deverá escolher o eixo em
torno do qual irá rotacioná-la para formar o sólido desejado. Aqui o eixo x
está na horizontal da tela e o eixo y na vertical.
Ao longo da atividade, as questões propostas irão ajudar a orientar o
aluno na utilização do software.
O software é dividido em duas atividades. A primeira é dedicada ao desenho de um sólido de revolução cujo perfil no plano é formado por três
segmentos de reta. Na segunda atividade o aluno aprende como calcular
o volume do sólido desenhado.
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tela 2
tela 3
( Volume
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Nesta atividade o aluno aprenderá como calcular o volume de sólidos
de revolução cuja geratriz é formada por segmentos de reta. As questões
propostas são baseadas no exemplo criado na atividade 1. Para resolver
esta atividade é necessário que o aluno saiba como calcular o volume de
um cilindro circular reto e de um cone.
O volume deste tipo de sólido de revolução pode ser calculado por meio
da sua divisão em partes, como sugerido na atividade. Desta forma, cada
parte do sólido corresponderá a um dos dois casos a seguir:
1. Se um dos segmentos que formam a geratriz for paralelo ao eixo de rotação
escolhido, a parte correspondente do sólido será um cilindro, com altura
igual ao comprimento do segmento e raio igual à distância deste segmento
até o eixo de rotação.
2. Se um dos segmentos que formam a geratriz não for paralelo nem perpendicular ao eixo de rotação, a parte correspondente do sólido será um cone
ou um tronco de cone cujo volume corresponde à diferença entre os volumes de dois cones.
Observação: Se o segmento for perpendicular ao eixo de rotação não
há volume a ser considerado na parte correspondente do objeto gerado.
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Após a utilização do software, de preferência na aula seguinte, o professor
pode retomar o assunto, fazendo um breve resumo dos conteúdos
abordados. Caso queira dar continuidade ao tema, pode sugerir aos
alunos que escolham alguns objetos reais que correspondam a sólidos de
revolução da classe estudada no software, a fim de fazer o desenho de seu
perfil bidimensional utilizando um papel quadriculado. Feito o desenho,
os alunos conseguirão calcular o volume dos objetos utilizando as ideias
desenvolvidas no software.
Se os alunos desejarem desenhar no computador objetos de revolução
mais variados, poderão também utilizar o software Construção de
sólidos de revolução, que está disponível no portal do professor. Esse
software permite o desenho de qualquer sólido de revolução formado por
segmentos de reta e arcos de circunferência. Do mesmo modo pode ser
utilizado o software Superfície e sólidos de revolução, elaborado pela
UFF e também disponível no portal do professor.
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) % +
7fhe\kdZWc[dje
O uso deste software pode ser também uma oportunidade para introduzir
a noção de parametrização de curvas e superfícies, para que o aluno tenha
uma primeira ideia de como podem ser gerados programas computacionais
que traçam gráficos de objetos. Colocamos a seguir de forma resumida
descrições paramétricas dos objetos estudados neste software.
Este tópico é, em geral, abordado nos livros de cálculo e geometria
analítica do ensino superior. Vale lembrar, contudo, que o software
As Curvas de Lissajous aborda a parametrização de curvas usando como
motivação as curiosas, do ponto de vista estético e matemático, curvas de
Lissajous.
i.
Ou seja, e , entre 0 e 1.
Note que neste caso percorremos o segmento de para .
Se esta descrição for apresentada aos alunos, eles poderão perguntar,
por exemplo:
Quais pontos do segmento serão determinados quando for igual a 0, 1,
½ e ¹⁄3? Qual a equação da reta à qual este segmento pertence?
Uma parametrização de uma superfície gerada pela rotação de
um segmento de reta ao redor de um eixo
Ao acrescentar aos eixos e um terceiro eixo perpendicular a eles
(“entrando” para a tela do computador), podemos descrever parametricamente objetos tridimensionais com coordenadas cartesianas , , .
Se considerarmos um segmento no plano , como o referido acima,
a superfície determinada pela sua rotação (no espaço) ao redor do eixo pode ser parametrizada por:
, , cos , , sen ,
onde varia de 0 a 1 e u, que é o ângulo de rotação, varia de 0 a 360
graus.
Observe que para cada fixo (e com u variando) a expressão acima
nos dá a trajetória (circunferência) descrita por um ponto do segmento
gerador. Se variarmos também t teremos descrito um tronco de cone,
quando o segmento no plano for inclinado. Questões interessantes
que podem ser colocadas: O que ocorre se o segmento for vertical? E se
for horizontal?
fig. 1 Um exemplo de curva de lissajous
Uma parametrização de um segmento de reta no plano
Um segmento de reta no plano que une os pontos , e , pode ser descrito parametricamente como tendo coordenadas , dadas
por , com o parâmetro variando no intervalo , .
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Lima, Elon; Carvalho, Paulo Cezar Pinto; Wagner, Eduardo; Morgado,
Augusto César. A Matemática do Ensino Médio, Volume 3. Rio de Janeiro:
impa, 2009.
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Autores
Cristiano Torezzan
e Sueli I. R. Costa
Projeto gráfico
e ilustrações técnicas
Preface Design
Revisores
Língua Portuguesa
Ana Cecília Agua de Melo
Ilustrador
Lucas Ogasawara
Universidade Estadual
de Campinas
Reitor
Fernando Ferreira Costa
Vice-Reitor
Edgar Salvadori de Decca
Pró-Reitor de Pós-Graduação
Euclides de Mesquita Neto
Matemática Multimídia
Coordenador Geral
Samuel Rocha de Oliveira
Coordenador de Software
Leonardo Barichello
Coordenador de Implementação
Matias Costa
Instituto de Matemática,
Estatística e Computação
Científica (imecc – unicamp)
Diretor
Jayme Vaz Jr.
Vice-Diretor
Edmundo Capelas de Oliveira
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