A Reta
Docente Pedro Macário de Moura
A Matemática é a única
linguagem que temos em
comum com a natureza.
Hawking.
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Equação Vetorial da Reta
Seja r uma reta que passa pelo ponto A e tem a
direção de um vetor não nulo . Para que um ponto
P do espaço pertença à reta r, é necessário e
suficiente que os vetores
e sejam colineares
(Fig.1), isto é:
AP  t v , t  R
P  A  t v , t  R
P  A  t v , t  R
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P
A
i
k
v
j
Figura1
3
Se P   x, y, z  ,A   x1 , y1 , z1  e v   a, b, c 
temos que a equação vetorial da reta r.
r : P  A  t v , t  R
r :  x, y, z    x1 , y1 , z1   t  a, b, c  , t  R
é chamado vetor diretor da reta r e t é
denominado parâmetro com
.
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Exemplos
01. Determinar uma equação vetorial da reta r
que passa pelos pontos A(3,0,-5) e B(7,4,-7).
02. Determinar um vetor gerador e as equações
paramétricas da reta r que passa pelos pontos
A(1, -2, -1) e B(0,-3,2).
03. Determinar a equação vetorial da reta r que
passa pelo ponto A(1,3,2) e tem a direção do
vetor
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Equações Paramétricas
Da equação vetorial da reta r temos que:
r :  x, y, z    x1 , y1 , z1   t  a, b, c  , t  R
Assim temos as equações paramétricas da
reta r dadas por:
 x  x1  ta

r :  y  y1  tb , t  R
 z  z  tc
1

PS.
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Exemplos
01. Escreva a equação da reta cuja direção é
definida pelo vetor (2, 1, 2) e que passe pelo ponto
(-2, 3, 4).
02. Seja r a reta determinada pelos pontos A(1,0,1)
e B(3,-2,3).
a) Obtenha a equação vetorial de r;
b) Verifique se o ponto P(-9,10,-9) pertence à reta r.
c) Obtenha dois vetores diretores de r e dois pontos
de r, distintos de A e B
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Equação Simétrica
Das equações paramétricas da reta r temos que:
 x  x1  ta

r :  y  y1  tb , t  R
 z  z  tc
1

Assim para a  0, b  0, c  0 temos que:
x  x1 y  y1 z  z1
r:


a
b
c
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Equações Reduzidas
Considerando cada igualdade das equações
simétricas da reta r em separado, e para
a  0, b  0, c  0 temos que:
 x  x1 y  y1

 a
b

 x  x1  z  z1
 a
c
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
b  x  x1   a  y  y1 

 c  x  x1   a  z  z1 
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Para a  0
ay1  bx1
b

y

x


a
a

 z  c x  az1  cx1

a
a
 y  mx  n
  z  px  q

sendo
ay1  bx1
az1  cx1
b
c
m , n
,p
e q
a
a
a
a
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Exercícios
1. Dar nas 3 formas a equação da reta que passa em
A(3,-4,10) na direção do vetor v  2i  4 j  8k
2. Idem ao anterior considerando a reta que passa
nos pontos A(3,5,8) e B(4,3,2).
3. Seja a reta t dada por:
3 x 2y  5
z

 1 
2
3
2
Dar um vetor que a direciona
Dar um ponto da reta
Escrever as outras formas de sua equação
Dar um ponto da reta de abscissa 13.
Dar um ponto da reta de ordenada ¾.
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4. Dado o ponto A(2,3,-4) e o vetor v=(1,-2,3) pede-se:
a) escreva as equações paramétricas da reta r que passa por A e
tem a direção de v
b) Encontrar dois pontos B e C de r de parâmetros t=1 e t=4
respectivamente
c) determinar o ponto de r cuja abscissa é 4
d) verificar se os pontos D(4,-1,2) e E(5,-4,3) pertencem a r
e) Determinar para que valores de m e n o ponto F(m,5,n)
pertence a r
f) escrever outros dois sistemas de equações paramétricas de r
g) Escrever equações paramétricas da reta s que passa por
G(5,2,-4) e é paralela a r
h) Escrever equações paramétricas da reta u que passa por A e é
paralela ao eixo y
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5. Escreva as equações paramétricas da reta r
que passa por A=(3,-1,2) e B(1,2,4).
6. Dadas as equações reduzidas da reta y=mx+n,
z=px+q, encontre um vetor diretor
7. Seja a reta r que passa pelo ponto A=(-1,2,4)
e tem o vetor diretor v=(2,3,0)
Note que a terceira componente de v é nula e
a reta é paralela a x0y
8. Desenhe a reta que passa por A=(2,3,4) e tem
a direção do vetor v=(0,0,3)
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Ângulo de Duas Retas
Sejam as retas r1 e r2 com as direções v1 e v2,
respectivamente. Chama-se ângulo de duas retas o
menor ângulo formado pelos vetores diretores
Logo, sendo teta este ângulo tem-se:
cosθ = |<u , v>| /( | u | | v |)
com
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Exemplos
01. Calcule o ângulo entre as retas
x=3+t,
r1: y=t,
z=-1-2t
r2: (x+2)/-2=(y-3)/1=z/1
02.Verifique se as retas são ortogonais
r1: y=-2x+1,z=4x
r2: x=3-2t,y=4+t,z=t
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Exemplos
01. Determinar as equações paramétricas da
reta r que passa pelo ponto A=(3,4,-1) e é
ortogonal às retasr1:(x,y,z)=(0,0,1)+t(2,3,-4)
e r2: x=5, y=t, z=1-t
02. As retas
são ortogonais
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Condição de coplanaridade
de Duas Retas
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Exemplos
01.Determine o valor de m para que as retas
sejam coplanares
R1:y=mx+2,z=3x-1
R2:x=t,y=1+2t,z=-2t
02.
São coplanares
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Posição Relativas de Duas Retas
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Exemplos
Estudar a posição relativa das retas
Primeiro caso
 R1:y=2x-3,z=-x
 R2:x=1-3t,y=4-6t,z=3t
Terceiro caso
 R1:(x-2)/2=y/3=(z-5)/4
 R2:x=5+t,y=2-t,z=7-2t
Segundo caso
 R1:x/2=(y-1)/-1=z
 R2:x=2-4t,y=2t,z=-2t+1
Quarto caso
 R1:y=3,z=2x
 R2:x=y=z
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Interseção de duas retas
Se duas retas se interceptam, elas são
coplanares, isto é, estão situadas no
mesmo plano. Neste caso, são ditas
concorrentes
Se duas retas não são coplanares, elas
são ditas reversas. Supõe-se que as
retas não são paralelas
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Exemplo
01.Verifica se as retas r1 e r2 são concorrentes
e, em caso afirmativo, determinar o ponto
de interseção
 r1:y=-3x+2,z=3x-1
 r2:x=-t,y=1+2t,z=-2t
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Reta Ortogonal a Duas Retas
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Exercícos
01. Encontrar a projeção ortogonal da reta
r: x = y - 1 = z - 2 sobre o plano coordenado xy.
02. A reta r passa pelo ponto A=(1, - 2, - 3) e
forma com os eixos x, y e z respectivamente
ângulos de60º, 90º e 30º.
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EXTRA 01. Uma partícula está animada de um
movimento tal que, no instante t, ela se encontra
no ponto (x,y)=(2+3t,1+4t)
a) determine sua posição nos instantes t=0, t=1 e
t=2.
b) determine o instante no qual a partícula atinge o
ponto (13, 11).
c) a partícula passa pelo ponto (5,6)?
d) descreva sua trajetória.
e) determine sua velocidade no instante t.
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EXTRA 2. Determine a projeção ortogonal do
ponto p(2,4,1) sobre a reta x=1+2t, y=-1+3t,
z=-3-t
EXTRA3. Determine a interseção da reta
y=3x-2. z=x/2+3 com a definida pelos
pontos (2,1,0) e (0,0,1)
EXTRA 4. Determine o lugar geométrico dos
pontos do espaço equidistantes de A(2,1,3),
B(2,0,3) e C(0,3,-1)
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Bom Estudo!
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BIBLIOGRAFIA
REIS, Genésio Lima dos; SILVA, Valdir
Vilmar da. Geometria Analítica, 2ª ed. Rio
de Janeiro: LTC, 2014.
STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE,
Paulo. Geometria Analítica, 2ª ed. São
Paulo: Pearson Makron Books, 1987.
WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria
Analítica. São Paulo: Pearson Makron
Books, 2000.
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