Entre várias pessoas inteligentes,
é mais inteligente aquela que sabe mais geometria.
Blaise Pascal.
MA 620 - Aula 1 – p. 1/1
Axiomas da geometria plana
Elementos básicos: pontos e retas.
MA 620 - Aula 1 – p. 2/1
Axiomas da geometria plana
Elementos básicos: pontos e retas.
Postulado 1: Por dois pontos no plano passam uma e
somente uma reta.
MA 620 - Aula 1 – p. 2/1
Axiomas da geometria plana
Elementos básicos: pontos e retas.
Postulado 1: Por dois pontos no plano passam uma e
somente uma reta.
Postulado 2: Qualquer segmento de reto pode ser
continuado de maneira única em uma reta.
MA 620 - Aula 1 – p. 2/1
Axiomas da geometria plana
Elementos básicos: pontos e retas.
Postulado 1: Por dois pontos no plano passam uma e
somente uma reta.
Postulado 2: Qualquer segmento de reto pode ser
continuado de maneira única em uma reta.
Postulado 3: Pode-se traçar um círculo com qualquer
centro e qualquer raio.
MA 620 - Aula 1 – p. 2/1
Axiomas da geometria plana
Elementos básicos: pontos e retas.
Postulado 1: Por dois pontos no plano passam uma e
somente uma reta.
Postulado 2: Qualquer segmento de reto pode ser
continuado de maneira única em uma reta.
Postulado 3: Pode-se traçar um círculo com qualquer
centro e qualquer raio.
Postulado 4: Todos os ângulos retos são iguais.
MA 620 - Aula 1 – p. 2/1
Axiomas da geometria plana
Elementos básicos: pontos e retas.
Postulado 1: Por dois pontos no plano passam uma e
somente uma reta.
Postulado 2: Qualquer segmento de reto pode ser
continuado de maneira única em uma reta.
Postulado 3: Pode-se traçar um círculo com qualquer
centro e qualquer raio.
Postulado 4: Todos os ângulos retos são iguais.
Postulado 5: Dada uma reta e um ponto exterior a ela,
existe uma e apenas uma reta contendo o ponto dado e
paralela a reta dada.
MA 620 - Aula 1 – p. 2/1
Axiomas da geometria espacial I
Elementos básicos: pontos, retas e planos.
MA 620 - Aula 1 – p. 3/1
Axiomas da geometria espacial I
Elementos básicos: pontos, retas e planos.
Postulado 1: Por dois pontos no espaço passam uma e
somente uma reta.
MA 620 - Aula 1 – p. 3/1
Axiomas da geometria espacial I
Elementos básicos: pontos, retas e planos.
Postulado 1: Por dois pontos no espaço passam uma e
somente uma reta.
Postulado 2: Dada uma reta no espaço, existem pontos
que pertencem a reta e pontos que não pertencem a reta.
MA 620 - Aula 1 – p. 3/1
Axiomas da geometria espacial I
Elementos básicos: pontos, retas e planos.
Postulado 1: Por dois pontos no espaço passam uma e
somente uma reta.
Postulado 2: Dada uma reta no espaço, existem pontos
que pertencem a reta e pontos que não pertencem a reta.
Postulado 3: Por três pontos no espaço não situados na
mesma reta passa um e somente um plano.
MA 620 - Aula 1 – p. 3/1
Axiomas da geometria espacial I
Elementos básicos: pontos, retas e planos.
Postulado 1: Por dois pontos no espaço passam uma e
somente uma reta.
Postulado 2: Dada uma reta no espaço, existem pontos
que pertencem a reta e pontos que não pertencem a reta.
Postulado 3: Por três pontos no espaço não situados na
mesma reta passa um e somente um plano.
Postulado 4: Dada um plano no espaço, existem pontos
que pertencem ao plano e pontos que não pertencem ao
plano.
MA 620 - Aula 1 – p. 3/1
Axiomas da geometria espacial II
Postulado 5: Se dois planos possuem um ponto em
comum, então eles possuem pelo menos mais um ponto
em comum
MA 620 - Aula 1 – p. 4/1
Axiomas da geometria espacial II
Postulado 5: Se dois planos possuem um ponto em
comum, então eles possuem pelo menos mais um ponto
em comum
Postulado 6: Os casos de congruência da geometria plana
também são válidos para triângulos situados em planos
distintos.
MA 620 - Aula 1 – p. 4/1
Teoremas I
Teorema: Se uma reta tem dois de seus pontos em um
plano, então ela está contida neste plano.
MA 620 - Aula 1 – p. 5/1
Teoremas I
Teorema: Se uma reta tem dois de seus pontos em um
plano, então ela está contida neste plano.
Teorema: Uma reta e um ponto exterior a reta dada
definem um único plano.
MA 620 - Aula 1 – p. 5/1
Teoremas I
Teorema: Se uma reta tem dois de seus pontos em um
plano, então ela está contida neste plano.
Teorema: Uma reta e um ponto exterior a reta dada
definem um único plano.
Definição: Duas retas distintas são ditas concorrentes se
elas possuem um único ponto em comum.
Teorema: Duas retas concorrentes definem um único plano.
MA 620 - Aula 1 – p. 5/1
Teoremas II
Teorema: Todo plano divide o espaço em dois
semi-espaços que têm a seguinte propriedade: se dois
pontos A e B estão em um mesmo semi-espaço, então o
segmento AB está contido neste semi-espaço; se dois
pontos A e B estão em semi-espaços distintos, então o
segmento AB corta o plano.
MA 620 - Aula 1 – p. 6/1
Exercícios I
Quantos são os planos determinados por 4 pontos não
coplanares?
MA 620 - Aula 1 – p. 7/1
Exercícios I
Quantos são os planos determinados por 4 pontos não
coplanares?
Quatro: ABC, ACD, ABD e BCD!
MA 620 - Aula 1 – p. 7/1
Exercícios I
Quantos são os planos determinados por 4 pontos não
coplanares?
Quatro: ABC, ACD, ABD e BCD!
Duas retas r e s são concorrentes no ponto O . Seja P um
ponto exterior ao plano definido pelas retas r e s. Qual é a
interseção do plano definido por r e P com o plano definido
por s e P ?
MA 620 - Aula 1 – p. 7/1
Exercícios I
Quantos são os planos determinados por 4 pontos não
coplanares?
Quatro: ABC, ACD, ABD e BCD!
Duas retas r e s são concorrentes no ponto O . Seja P um
ponto exterior ao plano definido pelas retas r e s. Qual é a
interseção do plano definido por r e P com o plano definido
por s e P ?
A reta definida pelos pontos O e P !
MA 620 - Aula 1 – p. 7/1
Pirâmides
Seja P o polígono plano definido por pontos coplanares
A1 , A2 , . . . , An .
MA 620 - Aula 1 – p. 8/1
Pirâmides
Seja P o polígono plano definido por pontos coplanares
A1 , A2 , . . . , An .
Tome V um ponto exterior ao plano do polígono.
MA 620 - Aula 1 – p. 8/1
Pirâmides
Seja P o polígono plano definido por pontos coplanares
A1 , A2 , . . . , An .
Tome V um ponto exterior ao plano do polígono.
Trace os segmentos V A1 , . . . , V An .
MA 620 - Aula 1 – p. 8/1
Pirâmides
Seja P o polígono plano definido por pontos coplanares
A1 , A2 , . . . , An .
Tome V um ponto exterior ao plano do polígono.
Trace os segmentos V A1 , . . . , V An .
Cada dois vértice consecutivos de P definem com V um
triângulo.
MA 620 - Aula 1 – p. 8/1
Pirâmides
Seja P o polígono plano definido por pontos coplanares
A1 , A2 , . . . , An .
Tome V um ponto exterior ao plano do polígono.
Trace os segmentos V A1 , . . . , V An .
Cada dois vértice consecutivos de P definem com V um
triângulo.
A região do espaço limitado pelo polígono e estes
triângulos é chamada de pirâmide de base P e vértice V .
MA 620 - Aula 1 – p. 8/1
Pirâmides
Seja P o polígono plano definido por pontos coplanares
A1 , A2 , . . . , An .
Tome V um ponto exterior ao plano do polígono.
Trace os segmentos V A1 , . . . , V An .
Cada dois vértice consecutivos de P definem com V um
triângulo.
A região do espaço limitado pelo polígono e estes
triângulos é chamada de pirâmide de base P e vértice V .
Os segmentos V A1 , . . . , V An são chamados arestas
laterais.
MA 620 - Aula 1 – p. 8/1
Pirâmides
Seja P o polígono plano definido por pontos coplanares
A1 , A2 , . . . , An .
Tome V um ponto exterior ao plano do polígono.
Trace os segmentos V A1 , . . . , V An .
Cada dois vértice consecutivos de P definem com V um
triângulo.
A região do espaço limitado pelo polígono e estes
triângulos é chamada de pirâmide de base P e vértice V .
Os segmentos V A1 , . . . , V An são chamados arestas
laterais.
Os triângulos V A1 A2 , . . . , V An A1 são chamados faces
laterais.
MA 620 - Aula 1 – p. 8/1
Poliedros
Em geral, um poliedro é uma região do espaço delimitada
por polígonos planos, chamados faces do poliedro,
satisfazendo as seguintes condições:
MA 620 - Aula 1 – p. 9/1
Poliedros
Em geral, um poliedro é uma região do espaço delimitada
por polígonos planos, chamados faces do poliedro,
satisfazendo as seguintes condições:
a interseção de dois polígonos ou é vazia, ou é um
vértice comum aos dois, ou é um lado (aresta) comum
aos dois.
MA 620 - Aula 1 – p. 9/1
Poliedros
Em geral, um poliedro é uma região do espaço delimitada
por polígonos planos, chamados faces do poliedro,
satisfazendo as seguintes condições:
a interseção de dois polígonos ou é vazia, ou é um
vértice comum aos dois, ou é um lado (aresta) comum
aos dois.
cada lado de um polígono é lado de exatamente mais
um outro polígono.
MA 620 - Aula 1 – p. 9/1
Poliedros
Em geral, um poliedro é uma região do espaço delimitada
por polígonos planos, chamados faces do poliedro,
satisfazendo as seguintes condições:
a interseção de dois polígonos ou é vazia, ou é um
vértice comum aos dois, ou é um lado (aresta) comum
aos dois.
cada lado de um polígono é lado de exatamente mais
um outro polígono.
V − A + F = 2!
MA 620 - Aula 1 – p. 9/1
Exercícios II
Definição: Um conjunto F de pontos no espaço é convexo
se dados dois pontos A e B em F os segmento AB
também está contido em F .
MA 620 - Aula 1 – p. 10/1
Exercícios II
Definição: Um conjunto F de pontos no espaço é convexo
se dados dois pontos A e B em F os segmento AB
também está contido em F .
Mostre que toda pirâmide é um conjunto convexo.
MA 620 - Aula 1 – p. 10/1
Exercícios II
Definição: Um conjunto F de pontos no espaço é convexo
se dados dois pontos A e B em F os segmento AB
também está contido em F .
Mostre que toda pirâmide é um conjunto convexo.
Considere uma pirâmide quadrangular com base ABCD e
vértice V . Sejam M , N e P pontos das arestas V A, V B e
V C . O plano determinado por M , N e P corta a aresta V D
em um ponto Q. Diga como Q pode ser obtido a partir de
M, N e P.
MA 620 - Aula 1 – p. 10/1
Posições relativas de retas
Definição: Duas retas são ditas paralelas se não possuem
ponto em comum, mas estão contidas em um mesmo
plano.
MA 620 - Aula 1 – p. 11/1
Posições relativas de retas
Definição: Duas retas são ditas paralelas se não possuem
ponto em comum, mas estão contidas em um mesmo
plano.
Definição: Duas retas são ditas reversas se não estiverem
contidas em um mesmo plano.
MA 620 - Aula 1 – p. 11/1
Posições relativas de retas
Definição: Duas retas são ditas paralelas se não possuem
ponto em comum, mas estão contidas em um mesmo
plano.
Definição: Duas retas são ditas reversas se não estiverem
contidas em um mesmo plano.
Teorema: Por um ponto fora de uma reta pode-se traçar
uma e apenas uma reta paralela a ela.
MA 620 - Aula 1 – p. 11/1
Posições relativas de retas
Definição: Duas retas são ditas paralelas se não possuem
ponto em comum, mas estão contidas em um mesmo
plano.
Definição: Duas retas são ditas reversas se não estiverem
contidas em um mesmo plano.
Teorema: Por um ponto fora de uma reta pode-se traçar
uma e apenas uma reta paralela a ela.
Teorema: Sejam (r, s) e (r′ , s′ ) dois pares de retas
concorrentes tais que r k r′ e s k s′ . Então o ângulo
formado por r e s é igual ao ângulo formado por r′ e s′ .
MA 620 - Aula 1 – p. 11/1
Exercícios III
Seja r uma reta qualquer e s uma reta não paralela a r.
Mostre que todas as retas paralelas a s e concorrentes
com r pertencem a um mesmo plano.
MA 620 - Aula 1 – p. 12/1