Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática
Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014
SÍNTESE DE CONTROLE DESACOPLADOR ROBUSTO
Marianna A. S. Siqueira, Luiz F. G. Silva, Eduardo N. Gonçalves∗ Reinaldo M.
Palhares† Ricardo H. C. Takahashi‡
∗
Programa de Pós-graduação em Engenharia Elétrica UFSJ/CEFET-MG
Departamento de Engenharia Elétrica - CEFET-MG, Av. Amazonas 7675
Belo Horizonte, MG, Brasil
†
Universidade Federal de Minas Gerais
Departamento de Engenharia Eletrônica, Av. Antônio Carlos 6627
Belo Horizonte, MG, Brasil
‡
Universidade Federal de Minas Gerais
Departamento de Matemática, Av. Antônio Carlos 6627
Belo Horizonte, MG, Brasil
Email: [email protected], [email protected],
[email protected], [email protected], [email protected]
Abstract— The control of multivariable industrial processes based on multiloop configuration is very popular
due to its simplicity. In the case of poor system performance caused by significant interaction between the control
loops, a common strategy is to consider a decoupling control scheme that combines multiloop PID controllers
with a decoupling precompensator. This paper presents a new robust decoupling control synthesis procedure
which aims to decouple the different channels of a multivariable system and to guarantee the tracking response
performance and disturbance rejection. The robust control problem is stated as a non-convex multiobjective
optimization problem in the space of the PID controllers and decoupler parameters. The advantages of the
proposed procedure are to compute suboptimal robust decoupling control with any desired structure and to
consider polytopic models to represent the system uncertainty. The Wood and Berry binary distillation column
model, a multivariable system considered in various previous works, is applied to demonstrate the effectiveness
of the proposed synthesis procedure.
Decoupling control, multiloop PID control, polytopic uncertainty.
Keywords—
Resumo— O controle de processos industriais multivariáveis com base em configuração multimalhas é muito
popular devido à sua simplicidade. No caso de degradação do desempenho do sistema causado pela interação
significativa entre as malhas de controle, uma estratégia comum é considerar um esquema de controle desacoplador
que combina os controladores multimalhas PID com um pré-compensador desacoplador. Este artigo apresenta
um novo procedimento de sı́ntese de controle desacoplador que pretende desacoplar os diferentes canais do sistema
multivariável e garantir o desempenho da resposta de rastreamento e da rejeição de distúrbios. O problema de
controle desacoplador robusto é formulado como um problema de otimização multiobjetivo não-convexo no espaço
de parâmetros dos controladores PID e do desacoplador. As vantagens do procedimento proposto são calcular o
controle desacoplador robusto com qualquer estrutura desejada e considerar modelos politópicos para representar
a incerteza do sistema. O modelo de Woody e Berry de uma coluna de destilação binária, sistema multivariável
considerado em vários trabalhos, é empregado para demonstrar a eficácia do procedimento de sı́ntese proposto.
Palavras-chave—
1
Controle desacoplador, controle PID multimalhas, incerteza politópica.
de controle desacoplador é uma das primeiras
abordagens para lidar com interações indesejáveis
entre malhas de controle.
Este esquema de
controle combina a simplicidade da configuração do controle PID multimalhas com um
pré-compensator desacoplador, ou simplesmente
desacoplador, como ilustrado na Fig. 1. Existem
diferentes estratégias de desacoplamento como o
desacoplador ideal, o desacoplador simplificado
e o desacoplador invertido. Uma comparação
entre essas estratégias é apresentada em Gagnon
et al. (1998). A tarefa de desenvolver um controle
desacoplador tem recebido grande interesse
nas últimas décadas e novos resultados foram
publicados recentemente (ver, por exemplo, Shen
et al. (2012); Rajapandiyan and Chidambaram
(2012); Garrido et al. (2013); Pradhan and
Ghosh (2013) e Vu and Lee (2013) e referências
Introdução
Esquemas de controle proporcional-integralderivativo (PID) multimalhas são bastante
populares na indústria porque são fáceis de
entender, implementar e ajustar pelos operadores
e as estruturas descentralizadas são tolerantes
à falha (Dittmar et al., 2012). Existem vários
métodos de sı́ntese de controle PID multimalhas
relatados na literatura, tais como: método de
dessintonia, os métodos de fechamento de malha
sequenciais, métodos de sintonia independentes,
métodos do relé de auto-ajuste e métodos de
otimização (ver Dittmar et al. (2012) e suas
referências). Se as interações entre as malhas de
controle são significativas até mesmo o melhor
sistema de controle PID multimalhas pode não
fornecer um controle satisfatório. O esquema
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internas). A maioria das estratégias de sı́ntese
de controle desacoplador calcula inicialmente o
desacoplador para gerar um sistema resultante
com uma matriz de transferência diagonal de tal
forma que os métodos de sintonia dos controladores PID monovariáveis possam ser aplicados
independentemente para cada malha de controle.
Considere a Fig. 1, seja H(s) = diag{Hi (s)} ∈
Rm×m , Hi (s) 6= 0, i = 1, . . . , m, a matriz de
transferência diagonal desejada de modo que
P (s)D(s) = H(s).
o problema de sı́ntese de controle desacoplador robusto. Diferentemente das abordagens convencionais, o procedimento de sı́ntese proposto calcula
os controladores PID multimalhas e o desacoplador simultaneamente com base em um esquema
de aproximação de modelo de referência. Um modelo de referência diagonal é considerado para garantir o desacoplamento e o desempenho da resposta de rastreamento do desempenho (Gonçalves
et al., 2011; Gonçalves et al., 2012). É realizada
a minimização da norma H∞ da matriz de transferência relacionando as saı́das da planta e os sinais de distúrbios a fim de melhorar a rejeição de
distúrbios. As vantagens do procedimento proposto são considerar as incertezas do modelo, garantir que o desacoplador seja estável e causal e
permitir que sejam estudadas a viabilidade de se
obter desacopladores com diferentes estruturas e
ordens. O modelo de uma coluna de destilação
binária (Wood and Berry, 1973), sistema multivariável considerado em vários trabalhos, é empregado para demonstrar a eficácia do procedimento
de sı́ntese proposto.
A notação neste trabalho é padrão. A notação
compacta:
A B
(3)
G(s) =
C D
(1)
Na metodologia do desacoplador ideal, geralmente
Hi (s) = Pii , i = 1, . . . , m, os elementos da diagonal de P (s). O desacoplador ideal é calculado
como sendo
D(s) = P −1 (s)H(s).
(2)
A vantagem do desacoplador ideal é que é mais
fácil sintonizar os controladores PID com base em
uma H(s) de baixa complexidade. Como o desacoplador ideal é baseado no inverso da planta, o
desacoplador resultante pode apresentar elementos de ordem elevada e até mesmo ser não-causal
ou instável. Uma segunda estratégia de desacoplamento é o desacoplador simplificado que define
os elementos da diagonal principal do desacoplador como sendo 1 e calcula os elementos fora da
diagonal de modo que H(s) seja uma matriz de
transferência diagonal. Neste caso, D(s) é mais
simples, mas a H(s) resultante é mais complexa
dificultando a sintonia PID. Uma terceira metodologia de desacoplamento é o desacoplador invertido que combina as boas caracterı́sticas dos dois
métodos anteriores com D(s) similar ao desacoplador simplificado e H(s) tão simples como a do
desacoplador ideal. Em todas essas metodologias
e nas novas propostas, o cálculo do desacoplador
não considera incertezas no modelo da planta.
d1
C(s)
u
r1
r2
rm
C1 (s)
C2 (s)
Cm (s)
Desacoplador
D(s)
u
1
2
um
dn
é aplicada para designar a matriz de transferência
G(s) = C(sI − A)−1 B + D.
2
Formulação do problema
Considere o sistema linear invariante no tempo,
P (s), descrito por
ẋ(t) =
z(t) =
y(t) =
Ax(t) + Bu u(t) + Bw w(t),
Cz x(t) + Dzu u(t) + Dzw w(t),
Cy x(t) + Dyw w(t),
(4)
sendo x(t) ∈ Rn o vetor de variáveis de estado,
u(t) ∈ Rm o vetor de sinais de variáveis manipuladas, w(t) ∈ R2m+nd o vetor de entradas exógenas (sinais de referência, r(t) ∈ Rm , distúrbios,
d(t) ∈ Rnd , e ruı́dos de medição, n(t) ∈ Rm ),
z(t) ∈ Rm o vetor de variáveis controladas (saı́das
da planta, c(t) ∈ Rm ), e y(t) ∈ R2m o vetor de
variáveis medidas que são as entradas do controlador PID multimalhas (sinais de referência e saı́das
da planta com ruı́dos de medição).
Para simplificar a notação, as matrizes da
Eq. (4) são organizadas em uma única matriz:


Bw
A Bu
(5)
P ,  Cz Dzu Dzw  ,
0
Dyw
Cy
d
n1
c1 + +
n2
c2
Sistema
+
multivariável
+
P(s)
nm
cm
+
+
Figura 1: Controle desacoplador.
A contribuição desse trabalho é apresentar um
procedimento de sı́ntese de controle robusto desacoplador que busca desacoplar as malhas de controle de sistemas lineares invariantes no tempo incertos, assegurando o desempenho da resposta de
rastreamento e da rejeição de distúrbios. Neste
trabalho, o procedimento de sintonia PID apresentado em Gonçalves et al. (2008) é estendido para
que pode possuir parâmetros incertos que pertencem a um conjunto compacto convexo, ou politopo, definido por seus vértices:
(
)
N
X
P(α) , P : P =
αi Pi ; α ∈ Ω ,
(6)
i=1
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Ω,
(
α : αi ≥ 0,
N
X
)
αi = 1 ,
transitória de rastreamento (sobresinal, tempo de
acomodação etc.) para cada saı́da controlada.
O erro de aproximação entre o modelo de referência e a matriz transferência de malha-fechada,
E(s) , Tm (s)−Tcr (s), pode ser representado pelo
seguinte modelo no espaço de estados:


Bm
Am
0
.
Acr
Bcr
E(s) =  0
(15)
Cm −Ccr Dm − Dcr
(7)
i=1
sendo Pi , i = 1, . . . , N
′ , os vértices do politopo e
α = α1 . . . αN
o vetor que parametriza o
politopo. O politopo pode ser tratado como um
simplex no espaço de dimensão N − 1. A dependência das matrizes do sistema com α será omitida.
O controlador PID multimalhas pode ser representado por
Ac Bc
(8)
C(s) ,
Cc Dc
Seja Tcd (s) a matriz de transferência de
malha-fechada relacionando as saı́das da planta
e as perturbações, um bloco de Tzw (s). Este trabalho irá considerar um problema de controle desacoplador robusto que pode ser formulado como:
dado um sistema com incerteza politópica, linear
e invariante no tempo, P(α), α ∈ Ω, e um modelo de referência, Tm (s), encontrar o controlador
desacoplador robusto, K(s) = D(s)C(s), que minimiza o valor máximo da norma H∞ do erro de
aproximação, E(s), e minimiza a norma H∞ da
matriz de transferência relacionada com a rejeição de distúrbios:
e o pré-compensator, ou desacoplador, representado por
Ad Bd
.
(9)
D(s) ,
Cd Dd
O controle por realimentação dinâmica de saı́da,
U (s) = K(s)Y (s), é o produto desses dois blocos,
K(s) = D(s)C(s):


Ad Bd Cc Bd Dc
Ak Bk
Ac
Bc  .
= 0
K(s) ,
Ck Dk
Cd Dd Cc Dd Dc
(10)
A matriz de transferência de malha-fechada relacionando as variáveis controladas, z(t), e as entradas exógenas, w(t),
Af Bf
,
(11)
Tzw (s) ,
Cf Df
pode ser calculada como
A + Bu Dk Cy Bu Ck
Af =
,
Bk Cy
Ak
Bw + Bu Dk Dyw
Bf =
,
Bk Dyw
Cf = Cz + Dzu Dk Cy Dzu Ck ,
Df = Dzw + Dzu Dk Dyw .
∗
K (s) = arg min
K(s)
Tcr (s) ,
Acr
Ccr
Bcr
Dcr
,
max kE(s, α, K)k∞
α∈Ω
max kTcd(s, α, K)k∞
#
,
α∈Ω
sujeito a: K(s) ∈ F,
(16)
sendo F o conjunto de controladores desacopladores, com uma estrutura especificada, que resulta
em sistemas em malha-fechada robustamente estáveis. Dois problemas de otimização escalar serão considerados neste trabalho. O primeiro é o
cálculo de um controle desacoplador robusto subótimo:
∗
Km
(s) = arg min max kE(s, α, K)k∞ ,
K(s) α∈Ω
(12)
(17)
sujeito a: K(s) ∈ F.
O segundo problema de otimização escalar é o cálculo de um controle para rejeição de distúrbios,
que garante um erro de aproximação especificado:
Seja
"
K ∗ (s) = arg min max kTcd (s, α, K)k∞ ,
(13)
K(s) α∈Ω
sujeito a: max kE(s, α, K)k∞ ≤ ǫm ,
a matriz de transferência de malha fechada relacionando os sinais de referência e as saı́das da
planta, um dos blocos de Tzw (s). Defina
Am Bm
(14)
Tm (s) ,
Cm Dm
(18)
α∈Ω
K(s) ∈ F,
∗
sendo ǫm > maxα∈Ω kE(s, α, Km
)k∞ .
A idéia por trás da formulação do problema
de controle desacoplador robusto proposto é simples. Com um modelo de referência diagonal, se
o máximo erro de aproximação é pequeno, isso
significa que os ganhos dos elementos fora da diagonal da matriz de transferência de malha fechada, Tcr (s), serão próximos de zero para todas
as freqüências, levando a um desacoplamento satisfatório entre as malhas de controle. Além disso,
como sendo o modelo de referência diagonal:
Tm (s) = diag{Tm,i(s)}, i = 1, . . . , m. É necessário adotar o modelo de referência como uma matriz de transferência diagonal para forçar o desacoplamento do sistema. Cada elemento da diagonal,
Tm,i (s), irá garantir as especificações de resposta
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os elementos da diagonal de Tcr (s) estarão próximos da resposta em freqüência especificada garantindo indiretamente as respostas transitórias de
rastreamento desejadas.
tes equações recursivas:
χk+1
Qk+1
1
Qk m̃,
d
+1
=
χk −
=
d2
d2 − 1
2
T
Qk −
Qk m̃m̃ Qk ,
d+1
(19)
sendo
3
m̃ = mk /
Procedimento proposto de sı́ntese de
controlador desacoplador robusto
q
mTk Qk mk ,
(20)
em que mk é a soma dos gradientes normalizados das funções de restrição violadas, gi (χ) > 0,
quando χk não é uma solução viável, ou o gradiente da função objetivo, f (χ), quando χk é uma
solução viável. Os gradientes são calculados numericamente por meio do método das diferenças
finitas. Seja ei a i-ésima coluna da matriz identidade de dimensão d, e δ um escalar tal que δ > 0 e
δ → 0 (tı́picos valores na faixa entre 10−8 e 10−3 ).
Cada elemento do vetor gradiente, ▽f (χ), pode
ser calculado como:
O procedimento proposto para tratar os problemas de otimização não-convexo (17) e (18) diretamente no espaço de parâmetros do controlador
desacoplador é baseado em duas etapas: sı́ntese
e análise. No passo de sı́ntese é aplicado um algoritmo de otimização não-linear para resolver os
problemas de otimização (17) ou (18) com o conjunto infinito Ω substituı́do por um conjunto finito
de pontos Ω̃ ⊂ Ω. Este conjunto finito é, inicialmente, o conjunto de vértices do politopo como
considerado em formulações convexas. Uma vez
que não existe garantia de convexidade, não é suficiente considerar apenas os vértices do politopo
a fim de garantir a estabilidade robusta do sistema de malha-fechada e a minimização de kEk∞
para todo α ∈ Ω no problema (17), ou a minimização de kTcdk∞ garantindo kEk∞ ≤ ǫm para todo
α ∈ Ω no problema (18). Para verificar o controlador desacoplador calculado no primeiro passo para
todo α ∈ Ω, um procedimento de análise com base
em uma combinação de um algoritmo branch-andbound e formulações LMI (Gonçalves et al., 2007)
é aplicado no segundo passo. Se o procedimento
de análise encontrar um sistema instável no domı́nio de incerteza ou se for verificado que os valores máximos das funções objetivo ou de restrição
não ocorrem em um ponto pertencente a Ω̃, então
estes pontos são incluı́dos no conjunto Ω̃ e é necessário executar os dois passos do procedimento
novamente. O procedimento termina quando se
verifica que o sistema de malha fechada é robustamente estável e os valores máximos das funções
objetivo e de restrição ocorrem em pontos que pertencem a Ω̃ (ou que estão próximos a pontos desse
conjunto, de acordo com a precisão especificada).
vi =
f (χ + δei ) − f (χ)
, i = 1, . . . , d.
δ
(21)
Na etapa de análise, é necessário encontrar
os α ∈ Ω correspondentes aos máximos das funções objetivo e restrição em (17) ou (18), ou encontrar um α ∈ Ω que corresponde a um sistema instável. A estratégia básica do algoritmo
branch-and-bound é particionar o domı́nio de incerteza, Ω, tais que as funções limitantes inferior e superior convirjam para a valor máximo da
norma em Ω. Este algoritmo termina quando a
diferença entre as funções limitantes é menor do
que a precisão desejada. O algoritmo é implementado considerando-se como função limite inferior a norma H∞ calculada nos vértices e como
função limite superior o custo garantido H∞ calculado por meio de formulações LMI (Gonçalves
et al., 2007). Se o sistema não é robustamente
estável, o algoritmo localiza um sistema instável
no politopo durante o cálculo do valor máximo de
norma. O custo garantido H∞ é calculado com
base no Lema 1 apresentado em de Oliveira et al.
(2004). A técnica de partição com base em malhas simpliciais (Gonçalves, Palhares, Takahashi
and Mesquita, 2006) é aplicada para permitir que
este processo seja aplicado aos modelos politópicos com maior eficiência. Por exemplo, considere um politopo definido por N = 4 vértices,
{P1 , P2 , P3 , P4 }, tratado como um simplex no espaço 3D (α4 = 1−α1 −α2 −α2 ). A subdivisão simplicial calcula novos vértices, {P5 , . . . , P10 }, sobre
os pontos médios de todas as arestas, e a técnica
de subdivisão gera a lista de vértices que compõem
os novos 23 simplexos como mostrado na Fig. 2.
Cada linha da tabela apresentada na Fig. 2 lista
os ı́ndices dos pontos que correspondem aos vértices de um novo simplex. O primeiro simplex é
definido pelos vértices {P1 , P5 , P6 , P7 }, o segundo
No passo de sı́ntese, o problema de otimização escalar pode ser resolvido por meio do algoritmo cone-elipsoidal (Takahashi et al., 2003).
Seja χ ∈ Rd o vetor de parâmetros de otimização (neste caso, os parâmetros dos controladores
PID e do desacoplador), f (χ) : Rd → R a função objetivo a ser minimizada e gi (χ) : Rd → R,
i = 1, . . . , s, o conjunto de funções de restrição.
Seja χk o centro do elipsóide e Qk = QTk ≻ 0 a
matriz que determina as direções e dimensões dos
eixos do elipsóide. Dados os valores iniciais χ0 e
Q0 , o algoritmo elipsoidal é descrito pelas seguin-
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por {P5 , P2 , P8 , P9 } e assim por diante. A implementação desse algoritmo está disponı́vel para
download (Gonçalves et al., 2014).
Na maioria dos casos, o valor máximo das funções objetivo e restrição ocorrem em um vértice do
politopo e o procedimento proposto exige apenas
uma iteração. Um exemplo de um problema que
requer mais de uma iteração do procedimento proposto é apresentado em Gonçalves, Palhares and
Takahashi (2006).
α3
1
P3
P6
P10
P8
P7
P4
1
5
5
6
5
6
6
7
α2
5 6 7
2 8 9
6 8 9
8 3 10
6 7 9
8 9 10
7 9 10
9 10 4
1
G(s)
Gd (s)
=
A
Cz
Bu B2
02×3
(24)
.
Considerando w = [r1 r2 d]T , sendo d o distúrbio (fluxo de alimentação), z = [c1 c2 ]T , sendo c1
e c2 as composições de topo e fundo, respectivamente e y = [r1 r2 c1 c2 ]T , as entradas do controlador desacoplador. As demais matrizes do modelo
dinâmico são definidas como Bw = [0n×2 B2 ]T ,
Dzu = 02×2 , Dzw = 02×3 ,
P1
P9
P2
Os parâmetros γ1 ∈ [0.9, 1.1] e γ2 ∈ [0.9, 1.1]
foram incluı́dos para representar as incertezas nas
constantes de tempo das funções de transferência
na diagonal. O domı́nio de incerteza corresponde
a um politopo com quatro vértices. Foi considerada uma realização no espaço de estados de 24a
ordem considerando aproximações de Padé de 3a
ordem dos atrasos:
α1
Cy =
P5
02×n
Cz
, Dyw =
I2
02×2
02×1
02×1
(25)
1
Água de
resfriamento
Figura 2: Subdivisão orientada pelas arestas de
um simplex 3D.
LC
4
Refluxo
u1
Exemplo Ilustrativo
A Fig. 3 apresenta uma coluna de destilação binária em escala piloto aplicada para separar um
mistura de metanol-água (Wood and Berry, 1973).
O refluxo e fluxo de vapor são as variáveis manipuladas e as composições do topo e da base são as
variáveis controladas. Este processo tem sido amplamente considerado para estudo de estratégias
de controle PID multimalhas e controle desacoplador (Åström et al., 2002; Zhang et al., 2002; Huang et al., 2003; Lee and Edgar, 2006; Campestrini et al., 2009; Shen et al., 2010; Vu and Lee,
2010a; Vu and Lee, 2010b; Kumar et al., 2012).
Em Wood and Berry (1973), é apresentado um
modelo dinâmico simplificado desse processo, considerando variações em torno de um ponto de operação:


−18.9e−3s
12.8e−1s
 γ 16.7s + 1
21.0s + 1 

 1
G(s) = 
 , (22)
 6.6e−7s
−19.4e−3s 
c1
Produto
do topo
Alimentação
d
CC
u2
LC
Vapor
CC
c2
Produto da base
Figura 3: Diagrama esquemático do sistema de
controle da coluna binária de Wood e Berry.
Foi considerada a aproximação de Padé de 3a
ordem dos atrasos para que os resultados das simulações do sistema com os atrasos ou com suas
aproximações fossem simulares.
Considere o controlador I-P (ação proporcional somente na realimentação):
10.9s + 1

γ2 14.4s + 1

3.8e−8s
 14.9s + 1 
,
(23)
Gd (s) = 


4.9e−3s
13.2s + 1
sendo Gd (s) a matriz de transferência relacionando as saı́das da planta e a entrada de distúrbio.

0
0
 0
0
K=
 Kp1
0
0
Kp2
1/Ti1
0
0
0
0
1/Ti2
0
0
−1/Ti1
0
−Kp1
0

0
−1/Ti2 
,

0
−Kp2
(26)
defininindo χ1 = kp,1 , χ2 = Ti,1 , χ3 = kp,2 e χ4 =
3401
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melhor rejeição de distúrbios, além do fato de que
é garantida a estabilidade para todos os sistemas
que pertencem ao domı́nio de incerteza.
Ti,2 , e o desacoplador com a seguinte estrutura:





Ad = 




BdT =
Cd =
0
χ5
0
0
0
0
0
0
0
0
χ13
0
1
χ6
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
χ7
0
0
0
0
0
0
χ14
0
0
1
χ15
0
0
0
1
χ8
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
χ9
0
0
1
0
χ16
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
χ10
0
0
0
0
χ11
0 0
,
0 1
0
χ17
0
χ18
0
0
0
0
0
0
1
χ12
0
χ19






,




2.5
2
Saídas da planta

0
.
χ20
(27)
A escolha pela configuração I-P, ao invés da tradicional configuração PI, se deve ao fato de que
tal estrutura tem resultado em melhor desacoplamento de sistemas multivariáveis em algumas situações (Åström et al., 2002).
Resolvendo o problema de otimização (17)
considerando os elementos do modelo de referência:
2
ωn,i
(−τi /2s + 1)
Tm,i (s) =
2
(τi /2s + 1)(s2 + 2ζi ωn,i s + ωn,i
)
(28)
−52.889(s + 0.194)
,
(s + 827.9)(s + 0.1107)
D2,1 (s)
=
−14.502(s − 0.7384)
,
(s + 576.8)(s + 0.1036)
D2,2 (s)
=
−8.8366(s + 1.566)
.
(s2 + 14.85s + 188.8)
150
200 250 300
Tempo (min)
350
400
450
Entradas da planta
0.4
0.3
0.2
u
1
0.1
u
1
u
2
0
u
Com base neste segundo modelo de referência, é obtido maxα∈Ω kEk∞ ≤ 0.1142 para kp,1 =
1.4410, Ti,1 = 10.3930, kp,2 = 1.2134, Ti,2 =
5.0961, e o desacoplador com as seguintes funções
de transferência:
=
100
0.5
−0.011(s − 1.6)(s +
− 2.2s + 1.95)
Tm,2 (s) =
.
(s + 0.12)(s + 0.060)(s2 + 0.94s + 0.24)
(29)
D1,2 (s)
50
Figura 4: Respostas transitórias de rastreamento
para o controle desacoplador proposto (linha
cheia) e o resultado em Shen et al. (2012) (linha
tracejada).
0.049)(s2
73.171(s + 0.3292)
,
(s + 633.7)(s + 0.07461)
0.5
−0.5
0
0.0065(s2 + 0.47s + 0.22)(s2 − 2.7s + 2.7)
,
Tm,1 (s) =
(s2 + 0.23s + 0.020)(s2 + 0.31s + 0.19)
=
1
0
com τ1 = 1, ωn,1 = 0.2, ζ1 = 0.9, τ2 = 3, ωn,2 =
0.3 e ζ2 = 0.9, é obtido um desempenho satisfatório de controle com maxα∈Ω kEk∞ ≤ 0.1327. O
modelo de referência é aperfeiçoado com base no
modelo reduzido da aproximação dos elementos da
diagonal de Tcr (s) resultante:
D1,1 (s)
1.5
2
−0.1
−0.2
0
50
100
150
200 250 300
Tempo (min)
350
400
450
Figura 5: Respostas transitórias dos sinais de controle para o controle desacoplador proposto (linha
cheia) e o resultado em Shen et al. (2012) (linha
tracejada).
(30)
Para melhorar a rejeição de distúrbios, considerando ǫm = 0.25 no problema de otimização (18), é obtido kp,1 = 2.0959, Ti,1 = 9.4305,
kp,2 = 3.0186, Ti,2 = 11.1035, e as seguintes funções de transferência do desacoplador:
O controle desacoplador obtido com o procedimento proposto é comparado com o controle PI
desacoplador apresentado em Shen et al. (2012).
As respostas transitórias obtidas são apresentadas
nas Fig. 4 e 5 para sinais de referência tipo degrau
unitário, r1 (t) = 1(t), r2 (t) = 1(t − 150), e um sinal de distúrbio tipo pulso, d(t) = 0,5 × 1(t −
300) − 0,5 × 1(t − 375). A vantagem do procedimento proposto é o de obter a resposta transitória
desejada, com o esforço de controle menor e uma
3402
D1,1 (s)
=
14.202(s + 2.419)
,
(s2 + 16.1s + 144)
D1,2 (s)
=
−22.684(s − 0.5753)
,
(s + 227.1)(s + 0.5036)
D2,1 (s)
=
−14.502(s − 0.7384)
,
(s + 576.8)(s + 0.1036)
D2,2 (s)
=
−31.549(s + 0.5616)
.
(s2 + 8.33s + 275.4)
(31)
Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática
Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014
Este controle desacoplador melhora a rejeição
ao distúrbio sacrificando um pouco o desacoplamento do sistema. Fica a critério do projetista
escolher a melhor opção.
5
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Conclusões
Foi proposto um novo procedimento de sı́ntese de
controle desacoplador robusto para sistemas lineares com incerteza politópica. Os objetivos de controle são o desacoplamento entre malhas de controle, o desempenho de resposta de rastreamento
e rejeição de distúrbios. Verificou-se que a estratégia de aproximação de modelo de referência
pode garantir tanto um desacoplamento satisfatório bem como o desempenho da resposta de rastreamento. O procedimento proposto foi aplicado
a um sistema multivariável bastante estudado na
literatura. As vantagens do procedimento de sı́ntese proposto são: (i) considerar sistemas incertos, (ii) considerar o desempenho de rastreamento
e rejeição de distúrbios e (iii) calcular simultaneamente os controladores PID multimalhas e o desacoplador causal e estável com a estrutura desejada.
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Agradecimentos
Os autores agradecem os apoios das agências
CAPES, CNPq e FAPEMIG e aos comentários
construtivos dos revisores que foram úteis no aprimoramento desse trabalho.
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