COMPREENDENDO A NOÇÃO DE LIMITES A PARTIR DA
ARITMÉTICA. UMA ABORDAGEM AO PARADOXO DA DICOTOMIA
Alexsandro de Melo Silva1 - IFAL
Rosana Loiola Carlos² - IFAL
Luiz Galdino³ - IFAL.
Grupo de trabalho - Educação Matemática
Agência Financiadora: não contou com financiamento
Resumo
O presente artigo, desenvolvidos por discentes do curso de licenciatura em matemática do
Instituto Federal de Alagoas – IFAL busca mostrar como os alunos da educação básica podem
entender o conceito de limites através de uma ideia primitiva de limite, ou seja, a ideia
utilizada no paradoxo da dicotomia descrito por Zenão de Eleia que foi um grande filosofo e
matemático e desenvolveu muitos paradoxos chegando a escrever um livro apenas com
paradoxos, no entanto esse livro se perdeu com o tempo. Foi escolhido o paradoxo da
dicotomia de Zenão de Eléia buscando entender o conceito de limite, pois o conceito de limite
só é abordado, atualmente, na educação superior por alunos que frequentam as aulas nos
cursos de exatas, mais especificamente, alunos que cursam a disciplina de cálculo integral e
diferencial. Observamos então que com este artigo, e outros nos quais este se fundamenta, o
ponto inicial do cálculo, especifico no ensino superior, pode ser entendido por alunos do
oitavo ano do ensino fundamental do segundo ciclo, utilizando para isso o conceito de
infinidade, o conceito dos números racionais, frações e potências. Para que os alunos do
ensino básico entendam a ideia de limite, basta entrelaçar os assuntos, citados anteriormente,
com o paradoxo da dicotomia regressão e paradoxo da dicotomia progressão, exposto por
Zenão de Eleia e utilizado como base para a construção do cálculo por Leibniz e Newton.. No
entanto, os docentes atuais não entrelaçam esses conteúdos tornando-os assim conceitos soltos
que não fazem nenhum sentido aos discentes da educação básica.
Palavras-chave: Paradoxo da dicotomia. Educação básica. Frações. Números racionais.
1
Graduando em Licenciatura em Matemática do Instituto Federal de Alagoas – IFAL.E-mail:
[email protected]
² Graduando em Licenciatura em Matemática do Instituto Federal de Alagoas - IFAL. E-mail:
[email protected]
³ Professor mestre do curso de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal de Alagoas – IFAL. E-mail:
[email protected]
ISSN 2176-1396
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Introdução
O estudo do conceito de limites é atualmente restrito aos alunos do ensino superior,
no decorrer das disciplina de c cálculo integral e diferencial I, ou seja, alunos matriculados em
cursos na área de exatas. Porém, este conceito poderia ser trabalhado desde a educação básica,
com os discentes no processo de entendimento do conceito de: números racionais, frações,
aritmética e potência.
Ou seja, os alunos do oitavo ano do ensino fundamental, do segundo ciclo, que podem
entender de maneira simples o conceito de limites através da utilização da aritmética nos
conceitos de números racionais. Trabalhando todos esses conceitos juntos de forma a fazer
uma interligação entre eles.
Esta abordagem faz com que os educandos concebam a ideia de infinito de uma forma
mais prática e tenham a ideia de que, além dos números reais os números racionais, também,
são infinitos, assim como o docente pode explicar utilizando esses conceitos que os conjuntos
numéricos são infinitos.
Pode-se utilizar para os fins pronunciados, anteriormente, o paradoxo da dicotomia,
enunciado por Zenão de Eléia que explica o conceito de limite através da aritmética, conceitos
que são desenvolvidos com os discentes do oitavo ano do segundo ciclo do ensino
fundamental.
Porém, os conceitos de Zenão, atualmente, são iniciados apenas no cálculo integral e
diferencial I, conceitos estes utilizados por Leibniz e Newton nas apreciações de limites que
poderiam ser abordadas desde o ensino fundamental e assim essas considerações seriam
menos complexas no ensino superior. Facilitando assim, o entendimento do conceito de:
infinito, dos números racionais e do funcionamento das frações se o paradoxo da dicotomia
fosse enunciado e ensinado na educação básica.
A noção de limite no ensino básico a partir do paradoxo da dicotomia regressão e
progressão.
Como podemos analisar no ponto abordado anteriormente, tornar-se evidente que para
se trabalhar o conceito do paradoxo da dicotomia, na educação de alunos do oitavo ano do
ensino fundamental, segundo ciclo, é necessária à compreensão dos discentes das definições
dos números racionais, frações, infinito e potência.
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Portanto, no decorrer do ensino de matemática na educação básica são desenvolvidos
alguns conceitos como o conceito de infinito, frações e números racionais todos esses
conceitos ajudam no desenvolvimento da definição de limites estudado no ensino superior.
A conceito de infinito nos remota a filosofia, poemas e entre outros conceitos como
nos afirma Sampaio ( disponível na internet) :
Se do Infinito se trata, poetas, filósofos, matemáticos, físicos, teólogos, todos se
debruçaram alguma vez sobre o assunto. Esquecido pelo tempo, este tema tão
controverso sempre suscitou dúvidas e questões. Não se trata de uma simples
questão de lógica, necessita de imaginação e reflexão, ir para lá do evidente. Que
matemático não se debruçou já sobre a inconsistência dos conceitos de
multiplicidade e de divisibilidade através dos paradoxos, relativos ao movimento e
ao tempo, de Zenão de Eleia? A incompreensão de tais temas originou um conjunto
de problemas inexplicáveis, contornáveis pela doutrina grega, dissuadindo o infinito
da Matemática. Surge uma distinção entre infinito potencial e infinito actual, que
remonta a Aristóteles e só foi ressuscitada no século XIX com a teoria dos conjuntos
infinitos de Georg Cantor que são apresentados como infinitos actuais. (p. 206)
Como vimos pela afirmação de Sampaio o conceito de infinito perpassa por diversas
áreas do conhecimento mas que é abordado matematicamente por Zenão, pelo paradoxo da
dicotomia que nada mais é que a relação do tempo e do espaço.
No entanto para compreender o conceito do parodoxo da dicotomia é necessário
sabermos as operações entre frações, esses conceitos são ensinados aos discentes da educação
básica no momento em que eles trabalham com os números racionais uma vez que: “Pertence
ao conjunto dos números racionais, qualquer número que possa ser escrito na forma de fração,
onde o numerador e o denominador são números inteiros.“ (EDUCAÇÃO, 2015, disponível
na internet)
Então utilizando o conceito de subtração de fração conseguimos desenvolver o
conceito do paradoxo da dicotomia, regressão e progressão, e, consequentemente, a partir
desse entendimento apresentar o conceito básico de limites, pois essa definição pode ser
mostrada aos discentes da educação básica utilizando-se do parodoxo da dicotomia.
Os discentes conseguem entender o conceito de infinito apartir do momento que
entende a definição dos conjuntos numéricos que são infinitos. Um exemplo de conjunto
infinito muito útil a ser utilizado para o entendimento dos limites através do paradoxo da
dicotomia de Zenão de Eléia são os números racionais definidos como: “São [os números
racionais] aqueles que podemos escrever na forma de fração entre números inteiros, com o
denominador diferente de zero” (DURANTE, 2011)..
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Um conceito importante trabalhado para o entendimento do paradoxo de Zenão é o
conceito de potência. Então, sendo n o expoente natural e 2 a base, temos que sendo 2 um
número real e n > 1 é denominada enésima potência de 2 o produto de 2n vezes, ou seja, 2 ^ n
= 2* 2* 2*...*2,
Para as frações é necessário se entender como ocorre a divisão para compreender os
conceitos do paradoxo da dicotomia regressão, ou seja, para dividir duas frações conserva-se a
primeira e multiplica-se pelo inverso da segunda. Na prática, ocorre:
No entanto, para entender a progressão é preciso entender como se realiza a soma de
duas frações, ou seja, faz-se o mínimo múltiplo comum dos denominadores, após ser
encontrado este valor faz-se a divisão deste pelo denominador da fração e em seguida
multiplica-se pelo numerador e o resultado deste processo é o numero a ser somado, como
ocorre em seguida:
Com os discentes em posse de todos esses conhecimentos, que devem ser trabalhados
previamente com os discentes da educação básica pelos docente de matemática responsáveis
pela turma, logo, os estudantes conseguem compreender com mais facilidade o que foi
proposto no paradoxo da dicotomia por Zenãode Eléia.
Com o desenvolvimento do paradoxo da dicotomia no ensino fundamental segundo
ciclo os estudantes conseguem compreender outros conceitos que são postos apenas através
de decoração, ou seja, ocorre uma melhoria significativa no desenvolvimento dos
conhecimentos prévios trabalhados.
Portanto todos os conceitos citados anteriormente são trabalhados, geralmente,
aleatoriamente pelos docentes responsáveis pelo processo ensino – aprendizagem dos
discentes da educação básica, no entanto, como veremos na discrtição do paradoxo da
dicotomia, todos esses conteúdos se interligam e podem ser desenvolvidos em conjunto
através do paradoxo, além de surgir assim a definição de um novo conceito, ou seja, com a
definição do conceito de limites.
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Zenão de Eléia e o paradoxo da dicotomia.
Zenão de Eléia é conhecido no universo matemático pelos seus paradoxos como nos
afirma Junior (2012).
Zenão de Eléia (490-430 a.C.) é bem conhecido por causa de seus paradoxos, como
aquele da corrida de Aquiles com a tartaruga. De fato, escreveu um livro com em
torno de 40 paradoxos, mas este se perdeu. O que sabemos de Zenão nos foi
transmitido por Platão, Aristóteles e pelo comentador Simplício do séc. VI d.C. (p.
1)
Então, o paradoxo da dicotomia que foi enunciado por Zenão de Eleia, “discípulo do
grande filósofo Parmênides da cidade de Eléia” (JUNIOR, 2010, p. 13). Zenão tornou-se
conhecido, também, como o autor da corrida entre Aquiles e a tartaruga, é neste problema que
é enunciado o paradoxo da dicotomia, regressão. Onde para se chegar ao fim de uma corrida,
com um percurso de um metro, é necessário percorrer metade, depois ½ da parte inicial, em
seguida ½ da parte anterior e assim nunca se chegaria ao ponto final da corrida.
Essa ideia, de sempre a metade da parte anterior, é a ideia de infinitésimo, ou seja, de
um infinito muito pequeno, representado pelos números racionais para os discentes da
educação básica.
Neste caso, sendo o percurso de zero a um metro, todos os valores encontrados com
esses cálculos tenderam a zero, resultados infinitamente próximos de zero, porém nunca serão
zero. Sendo assim, se torna claro o conceito de limite tendendo a um valor pela esquerda,
entendendo, também, os números racionais. Este conceito se torna mais claro na figura I em
seguida:
Figura I:
Fonte: Construção própria.
Dentro do paradoxo da dicotomia, agora trabalhando com a progressão, portanto
percebemos que utilizando o mesmo metro na corrida o atleta após ter percorrido metade do
percurso, terá que “Antes de chegar ao final, ele terá que passar por um ponto localizado no
meio do percurso (restante), ½ da extensão total. [...] ele tem que passar pelo ponto que
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corresponde a 3 / 4 do percurso. [...] pelo 7 / 8, depois 15 / 16” (JUNIOR, 2010, p.14) assim,
consequentemente, passando por estes pontos o atleta nunca chegará ao fim da corrida.
Contudo no desenvolvimento da progressão se torna evidente o conceito de limite
tendendo a um número pela direita, que pode ser representado da seguinte maneira
algebricamente: “d + d / 2 + d / 4 + ... + d / 2^n [...]”(MONTEIRO, p. 6),com entendendo a
infinito e d = 1, pois da mesma forma da regressão o resultado tenderá a um npumero infinito
muito pequeno, ou seja, tendendo sempre a zero. Como pode-se visualizar na figura II a
seguir:
Figura II:
Fonte: Construção própria.
Contudo conseguimos perceber que tanto na progressão quanto na regressão o
conceito de limite esta inserido no desenvolvimento do paradoxo da dicotomia, no entanto
isso só é possível pelo fato da compreensão do conceito prévio de infinito.
Considerações Finais
Analisando todo o contexto anterior, podemos perceber que além do entendimento do
paradoxo da dicotomia os alunos, da educação básica, que passarem por esta experiência terá
um maior entendimento dos conceitos de fração, infinito e números racionais, além de
entenderem o conceito inicial de limite, chegando até a introdução de limites laterais.
Algo importante a salientar, também, é que apesar destes conceitos se tornarem
complexos no ensino superior, eles podem ser entendidos com facilidade pelos discentes que
hoje cursam a matéria de cálculo integral e diferencial I. Fazendo com que estes conseguiam
visualizar os conceitos abordados no cálculo com mais clareza.
Portanto percebemos que o paradoxo da dicotomia é importante para o ensino
superior, além da educação básica uma vez que esses conhecimentos são importantes para a
formação dos discentes de um modo geral.
O paradoxo da dicotomia é um importante passo para o real processo ensinoaprendizagem dos discentes, pois os discentes da educação básica, com o estudo do paradoxo
da dicotomia, apreendem os conceitos de forma melhor, ou seja, com o paradoxo os discentes
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da educação básica conseguem desenvolver a interligação da importância entre os conteúdos
ensinados durante o ensino fundamental.
Portanto, essa interligação ocorrendo no ensino fundamental o conceito de limite se
torna muito mais compreensível para os discentes da educação superior, principalmente os
futuros docentes da educação básica.
REFERÊNCIAS:
DURANTE, Ana Maria. O que são números racionais? Nova Escola. Chapecó – Santa
Catarina. 2011. Disponível em: << http://revistaescola.abril.com.br/matematica/praticapedagogica/sao-numeros-racionais-618159.shtml>> Acesso em: 12 de agos. de 2015.
EDUCAÇÃO, Mundo. Conjuntos dos racionais. R7 educação. Disponível em:
<<http://www.mundoeducacao.com/matematica/conjunto-dos-racionais.htm>> Acesso em:
11 de ago. de 2015.
JUNIOR, Osvaldo Pessoa. Filosofia da física clássica. USP, 2010.
JUNIOR, Osvaldo Pessoa. Filosofia da Física Clássica, Cap. –I: Paradoxos de Zenão :
Questão: O espaço e o tempo são contínuos ou discretos? São Paulo – 2012. Disponível
em: << http://www.fflch.usp.br/df/opessoa/FiFi-12-Cap-1.pdf>> Acesso em: 12 de agos. De
2015.
MONTEIRO, Lúcia Cristina Silveira. O conceito de infinito e a percepção de movimento.
VII Encontro Nacional de Educação Matemática. Recife, 15 a 18 de JUL, 2004.
SAMPAIO, Patrícia Alexandra da Silva Ribeiro. Infinito uma história a contar. Spectrum.
P. 205 - 222. Disponível em: << http://www.ipv.pt/millenium/Millenium34/16.pdf>>. Acesso
em 11 de agosto de 2015.