Pêndulo Físico
Experiência Eletiva
OBJETIVOS
• Analisar o pêndulo físico quanto ao
período, aproximações, validade de
modelos e influência de forças de
resistências.
• Medir o valor de g.
Pêndulo Simples
e
Pêndulo Físico
• No pêndulo simples, a massa do corpo
está concentrada em um só ponto.
• No pêndulo físico, usa-se o modelo de
corpo rígido.
Período de um pêndulo físico
• Para determinar o período de um pêndulo
físico, é necessário considerar seu
comprimento, massa e momento de
inércia.
• Esses parâmetros devem ser usados na
equação de movimento do pêndulo, e daí
obtém-se o período.
Dados importantes do pêndulo
físico
•
•
•
•
Massa
Comprimento
Centro de Massa
Centro de oscilação
• d = distância entre CO e CM
• Momento de inércia
CO
d
L
CM
Período do PF
I
T  2
m gd
•
•
•
•
m = massa
d = distância
I = momento de inércia
g = gravidade
Comprimento efetivo
• Igualando os períodos do pêndulo simples e do
pêndulo físico, pode-se encontrar uma
expressão para o comprimento efetivo:
T1  T2  2
l
I
I
 2
 l  Lef 
g
mgd
md
• Fisicamente, o comprimento efetivo representa
o comprimento de um pêndulo simples com o
mesmo período de um pêndulo físico.
• Para encontrar uma expressão para o
comprimento efetivo de uma barra, deve-se ter
a expressão do seu momento de inércia:
I  I cm
2
m
L
 m d2 
 m d2
12
• Como o momento de inércia de uma barra
depende da distância d do CM e do CO (ou
ponto de apoio), para cada ponto de apoio temse um Lef diferente(e, portanto, um período
diferente).
• A vantagem de se trabalhar com o
comprimento efetivo é que a relação do
período T com Lef é mais fácil de se tratar
matematicamente:
T  2
Lef
g
 T  aLef
2
• A partir do valor de a é possível
determinar g.
O experimento
• Para este experimento foi necessário medir os
parâmetros da barra: massa, comprimento,
espaçamento entre os furos e localização do CM.
• Para 9 posições diferentes foram medidos períodos de
15 oscilação, 5 vezes, para pequenas oscilações.
• Foram medidos também períodos para grandes
amplitudes(ângulo maior que 10°).
• Foi avaliado o amortecimento para cada posição.
Para a análise de dados, é necessário:
• Calcular o comprimento efetivo da barra
para cada uma das 9 posições.
• Calcular o quadrado dos
períodos(médias).
• Analisar a dependência de Lef com T².
Período X distância d
1,950
1,900
1,850
Período(s)
1,800
1,750
1,700
1,650
1,600
1,550
1,500
0,000
0,100
0,200
0,300
distãncia(m)
0,400
0,500
0,600
Período² X Comprimento efetivo
4,000
3,800
3,600
Período²(s²)
3,400
3,200
3,000
2,800
2,600
2,400
2,200
2,000
0,5000
0,5500
0,6000
0,6500
0,7000
0,7500
0,8000
Comprimento efetivo(m)
0,8500
0,9000
0,9500
1,0000
Ajuste dos pontos
• No gráfico T² X Lef, o melhor ajuste é
através de uma reta.
• Por MMQ pode-se determinar os
coeficientes angulares e lineares:
a = 3,788 ± 0,118 s²/m
b = 0,133 ± 0,077 s²
Resíduos
0,030
0,020
Período²(s²)
0,010
0,000
0,500
-0,010
0,550
0,600
0,650
0,700
0,750
0,800
-0,020
-0,030
-0,040
-0,050
-0,060
-0,070
Comprimento efetivo(m)
0,850
0,900
0,950
1,000
Determinação de g
• Com o valor de a(coeficiente angular) é
possível determinar o valor de g:
T  4
2
2
4
 aLef  g 
g
a
Lef
2
• Substituindo o valor de a, tem-se que:
g = 10,41  0,33m/s²
• Comparando com o valor medido pelo IAG:
g = 9,7864  0,001m/s²
• Os valores são compatíveis dentro de um fator
de abrangência 3.
Alguns fatores que implicam em
erro nos resultados.
• O centro de Massa da barra não coindide
com o centro geométrico.
• A distribuição de massa não é uniforme ao
longo da barra.
Comparação entre pequenas e
grandes oscilações
• Uma aproximação do período para
oscilações com amplitudes maiores que
10° é dada por:
1 2

T  T0 1   0 
 16

• T0 é o período sem correção
• O período então passa a depender da
amplitude 0.
• Substituindo 0 por 40°(0,70 rad) usado no
experimento, a relação entre os períodos
fica sendo:
T0
 02
K
 1
 1,03
T
16
Relação T / T0
Posição 1
Posição 2
Posição 3
Posição 4
Posição 5
Posição 6
Posição 7
Posição 8
Posição 9
T / T0
1,018
1,022
1,024
1,028
1,029
1,014
1,024
1,030
1,045
incerteza
0,009
0,009
0,010
0,010
0,009
0,010
0,009
0,009
0,008
Efeitos de forças dissipativas
• No pêndulo usado na experiência foram
identificadas duas formas de resistência:
• A resistência do ar que, para baixas
velocidades, é proporcional à velocidade
de rotação da barra.
• Atrito no eixo de sustentação, que
independe da velocidade.
• A resistência do ar tende a aumentar o período
de oscilação. Mas isso não foi observado
através da inclinação da reta ajustada aos
pontos.
• O formato da barra, com pequena área
transversal na direção do movimento, favorece
uma pequena resistência do ar.
• Por outro lado, o atrito no eixo de sustentação
não depende do formato e nem afeta o período,
embora seja responsável pelo amortecimento,
pois há dissipação de energia.
• Portanto, o amortecimento observado se deve
mais ao atrito no eixo do que à resistência do ar.
Conclusões finais
• A relação do período com o comprimento efetivo
encontrada experimentalmente está de acordo
com a previsão teórica.
• O valor de g, embora um pouco alto, é
compatível com o valor medido pelo IAG.
• A aproximação do modelo para amplitudes
maiores também se mostrou válida.
• Portanto, o modelo do pêndulo físico se mostrou
válido.
Referência
• 1.H.M. Nussenzveig, Curso de Física
Básica Vol. 2 , Editora Edgard Blücher
Ltda, 3ª edição, São Paulo.