DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E ARQUITECTURA
SECÇÁO DE HIDRÁULICA E RECURSOS HÍDRICOS E AMBIENTAIS
HIDRÁULICA I
Resoluções dos problemas
HIDRÁULICA I – 1
1 – ANÁLISE DIMENSIONAL E PROPRIEDADES DOS FLUIDOS
PROBLEMA 1.1
Determinar as dimensões das seguintes grandezas nos sistemas MLT e FLT:
− massa volúmica;
− peso volúmico;
− viscosidade;
− viscosidade cinemática.
Indicar os valores-padrão das grandezas anteriores para a água no sistema métrico gravitatório,
MKS, e no Sistema Internacional de Unidades, SI. Indicar ainda o valor da viscosidade em poise
(dine s cm−2).
Qual a diferença entre dimensão e unidade?
NOTA: Viscosidade cinemática da água ν = 1, 31× 10 −6 m2 s −1 .
RESOLUÇÃO
•
equação de dimensões de uma grandeza x:
[ x ] = M α LβT y ,
em que α, β e γ são as
dimensões da grandeza e M, L e T são as grandezas fundamentais. Unidades serão,
e.g., o kg, o m e o s.
•
dimensões das grandezas no sistema MLT
− massa volúmica, ρ =
[ρ] =
M
L3
= M L−3
− peso volúmico,
[γ] =
m
∀
α = 1; β = −3; γ = 0
γ=
M L T −2
3
mg
∀
= M L−2 T −2
α = 1; β = −2; γ = −2
L
− viscosidade, µ
A lei de Newton da viscosidade estabelece que
F =µs
∆v
∆n
∴
µ=
F ∆n
s ∆v
HIDRÁULICA I – 2
em que
F – força;
µ – viscosidade;
s – área;
∆v – velocidade; incremento de velocidade;
∆n – comprimento.
Nesse caso, como F = m a
[µ ] =
M L T −2
L
L2
L T −1
( a – aceleração),
= M L−1 T −1
α = 1; β = −1; γ = −1
− viscosidade cinemática, ν
ν=
[µ] M L−1 T −1 2 −1
µ
⇒ [ν ] =
=
=L T
ρ
[ρ] M L−3
α = 0; β = 2; γ = −1
•
dimensões das grandezas no sistema FLT
− massa volúmica, ρ
ρ=
m
F
F
=
⇒ [ ρ] =
= F L−4 T 2
−2 3
∀ g∀
LT L
a1 = 1; a2 = −4; a3 = 2
− peso volúmico, γ
γ=
ρ
∀
⇒
[γ] =
F
3
= F L3
L
a1 = 1; a2 = −3; a3 = 0
− viscosidade, µ
µ=
F ∆n
S ∆v
⇒
[µ ] =
F
L
L L T −1
2
= F L−2 T
a1 = 1; a2 = −2; a3 = +1
− viscosidade cinemática, ν
HIDRÁULICA I – 3
ν=
µ
ρ
⇒
[ν ] =
F L−2 T 1
−4
FL T
2
= L2 T −1
como no sistema M L T
a1 = 0; a2 = 2; a3 = −1
•
valores-padrão das grandezas anteriores para a água no sistema métrico gravitatório,
M Kp S
− O Sistema Métrico Gravitatório é do tipo F L T
− As unidades fundamentais são
-
de força, F – o kilograma-força, kgf
-
de comprimento, L – o metro, m
-
de tempo, T – o segundo, s
− valores do peso volúmico da água:
γ = 1000 kgf m −3
− da massa volúmica:
ρ=
γ 1000 kgf m −3
=
= 102 kgf m −4 s 2 = 102 u.m.m.
−2
g
9, 8 m s
− da viscosidade:
µ = ρ ν = 102 kgf m −4 s 2 ⋅ 1, 31× 10 −6 m2 s −1 = 1, 34 × 10 −4 kgf m −2 s
− da viscosidade cinemática:
ν = 1, 31× 10 −6 m2 s −1
•
valores-padrão das grandezas anteriores para a água, no sistema internacional, SI
− O Sistema Internacional é do tipo M L T
− As unidades fundamentais do sistema SI são
-
de massa, M – o kilograma-massa, ou kilograma, kg
-
de comprimento, L – o metro, m
-
de tempo, T – o segundo, s
− valores-padrão da massa volúmica da água:
HIDRÁULICA I – 4
ρ = 1000 kg m −3
− do peso volúmico:
γ = ρ g = 1000 kg m −3 × 9, 8 m s −2 = 9800 kg m s −2 m −3 = 9800 N m −3
N
− da viscosidade cinemática:
ν = 1, 31× 10 −6 m2 s −1
− da viscosidade:
µ = ν ρ ⇒ µ = 1, 31× 10 −6 m2 s −1 × 1000 kg m −3 ⇒ µ = 1, 31× 10−3 kg m −1 s −1
•
valor da viscosidade em poise
1 poise = 1 dine cm −2 s
1dine = 1g cm s −2
1N = 1kg m s −2 = 1000 g × 100cm s −2 = 105 g cm s −2 = 105 dine
µ = 1, 31× 10−3 kg m −1s −1 = 1, 31× 10−3 kg m m −2 s −2 s = 1, 31× 10 −3 kg m s −2 s =
= 1, 31× 10 −3 N m −2 s = 1, 31× 10−3 × 105 dine m −2 s = 1, 31× 10 −2 poise
PROBLEMA 1.2
Verificar a homogeneidade dimensional da equação que exprime o teorema de Bernoulli
aplicável a fluidos reais ao longo de uma trajectória:
1∂ ν
∂ p
ν2 
−J
 + z +
 = −
∂s  γ
2g 
g ∂t
em que p é a pressão associada ao escoamento, ν é a sua velocidade, z é a cota geométrica, g
é a aceleração da gravidade, γ é o peso volúmico do fluido, t é o tempo e J é o trabalho das
forças resistentes por unidade de peso de fluido e por unidade de percurso.
RESOLUÇÃO
• Para que a equação seja dimensionalmente homogénea é necessário que os seus dois
membros tenham as mesmas dimensões.
• Neste caso,
HIDRÁULICA I – 5
s – comprimento ⇒ [ s ] = L
p – pressão; [ p ] =
F
2
=
M L T −2
2
L
= M L−1 T −2
L
γ – peso volúmico; [ γ ] = M L T −2 L−3 = M L−2 T −2
z – cota geométrica; [ z ] = L
v – velocidade; [ v ] = L T −1 ⇒  v 2  = L2 T −2
 
g – aceleração; [ g ] = L T −2
J – …=
FL
força × deslocamento
trabalho
=
⇒ [J ] =
= 1 = M 0 L0 T 0
peso × comp.
peso × comprimento
FL
• no conjunto, a equação de Bernoulli vem:
L2 T −2
1  M L−1 T −2
+
+
L

L  M L−2 T −2
L T −2

1 L T −1
− M 0 L0 T 0
 =
−2
T
L
T

• ou seja
1
( L + L + L ) = M 0 L0 T 0
L
∴ M 0 L0 T 0 = M 0 L0 T 0
Ambos os membros são adimensionais.
HIDRÁULICA I – 6
c.q.d.