Introdução aos experimentos
fatoriais
Blocagem – cap. 5 (5.6)
Blocagem em um experimento fatorial: modelo
• Considere um experimento fatorial a dois fatores (A e B) com n
replicações. O modelo estatístico linear para esse experimento
é:
 i  1, 2,..., a

yijk     i   j  ( )ij   ijk  j  1, 2,..., b
k  1, 2,..., n

Suponha que para uma realização um material particular é exigido e
que esse material está disponível em lotes que não são suficientemente
grandes para permitir que todas as abn combinações de tratamentos sejam
realizadas com o mesmo lote.
Porém, se um lote contém material suficiente para ab realizações, então um
plano alternativo é rodar cada uma das n replicações usando um lote
diferente de material.
Blocagem em um experimento fatorial: modelo
• Consequentemente, os lotes de material representam uma
restrição em aleatorização ou um bloco, e uma replicação de um
experimento fatorial completo é realizada para cada bloco.
• O modelo de efeitos para esse novo plano é:
y ijk
 i  1,2,...,a

    i   j  ( ) ij   k   ijk ,  j  1,2,...,b
k  1,2,...,n

com k representando o efeito do k-ésimo bloco.
Dentro de cada bloco, é claro, as realizações são feitas de modo
completamente aleatorizado.
Tabela ANOVA
FV
Blocos
A
B
AB
Erro
Total
SQ
gl
y...2
1
2
 y..k  abn
ab k
n-1
y...2
1
2
y

 i.. abn
bn i
a-1
y...2
1
2
 y. j.  abn
an j
y...2
1
2
 yij.  abn  SSA  SSB
n i j
Diferença
y...2
 yijk  abn
b-1
(a-1)(b-1)
(ab-1)(n-1)
abn-1
QM
QMBl
QMa
QMb
QMab
QMe
--
F
--
---
Blocagem
• O modelo assume que a interação entre blocos e
tratamentos é desprezível. Isso foi suposto
anteriormente na análise dos planejamentos em bloco
aleatorizados. Se essas interações de fato existem, elas
não podem ser separadas da componente de erro.
• De fato, o termo de erro nesse modelo consiste das
interações entre cada fator principal e bloco e entre os
três (fatores A, B e bloco).
Exercício 19
O resultado de um processo químico está sendo estudado. Os dois fatores de
interesse são temperatura e pressão. Três níveis de cada fator foram selecionados.
Porém, somente nove realizações podem ser feitas num dia. O experimentador
rodou as replicações em dias diferentes. Analise os dados, supondo que os dias
são blocos.
y=read.table("e:\\dox\\procquim.txt",header=T)
pr=as.factor(y$Pressure)
temp=as.factor(y$Temperature)
bloco=as.factor(y$dia)
modeloB=y$Yield~pr+temp+pr:temp+bloco
fitB=aov(modeloB)
fv
gl SQ
QM
F value
Pr(>F)
pr
2 5.508
2.754
5.1838 0.035988 *
temp
2 99.854 49.927
93.9807 2.778e-06 ***
bloco
1 13.005 13.005
24.4800
0.001124 **
pr:temp
4 4.452
1.113
2.0952
0.173314
Residuals 8 4.250
0.531
--Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Perfis das médias por combinação de níveis apresentam paralelismo,
confirmando a não-rejeição da hipótese de ausência de efeito de
Interação entre temperatura e pressão.
94
92
90
Low
88
Medium
86
High
84
82
80
250
260
270
Experimentos fatoriais 2k – Cap. 6
• Os experimentos fatoriais são muito usados em experimentos
envolvendo vários fatores para os quais é necessário estudar o
efeito conjunto dos fatores sobre a resposta.
• No capítulo 5 apresentamos métodos gerais de análise do
experimento fatorial.
• Existem casos especiais do experimento fatorial geral.
• O caso mais importante, entre os especiais, é o de k fatores cada
um com apenas 2 níveis.
• Os níveis podem ser quantitativos ou qualitativos.
• O plano 2k é particularmente útil nos estágios iniciais do trabalho
experimental, quando muitos fatores deverão ser investigados.
• Ele fornece o menor número de realizações com o qual k fatores
podem ser simultaneamente investigados em um planejamento
fatorial completo.
Experimentos fatoriais 2k
• Consequentemente, esses planos são muito usados em
experimentos chamados factor screening experiments (filtragem,
peneiramento de fatores).
• Como há somente dois níveis para cada fator, supõe-se que a
resposta é aproximadamente linear sobre a variedade de níveis dos
fatores escolhidos.
• Em muitos experimentos de filtragem de fatores, quando estamos
apenas começando a estudar o processo, essa suposição costuma
ser razoável.
• Na seção 6.8 são apresentados um método simples para verificar
se essa suposição é violada e ações em caso afirmativo.
The Simplest Case: The 22
“-” and “+” denote the low and
high levels of a factor,
respectively
• Low and high are arbitrary
terms
• Geometrically, the four runs
form the corners of a square
• Factors can be quantitative
or qualitative, although their
treatment in the final model
will be different
Chemical Process Example
A = reactant concentration, B = catalyst amount,
y = recovery
Analysis Procedure for a
Factorial Design
• Estimate factor effects
• Formulate model
– With replication, use full model
– With an unreplicated design, use normal
probability plots
•
•
•
•
Statistical testing (ANOVA)
Refine the model
Analyze residuals (graphical)
Interpret results
Estimation of Factor Effects
A  y A  y A
ab  a b  (1)


2n
2n
 21n [ab  a  b  (1)]
B  yB  yB
ab  b a  (1)


2n
2n
 21n [ab  b  a  (1)]
ab  (1) a  b
AB 

2n
2n
 21n [ab  (1)  a  b]
See textbook, pg. 209-210 For
manual calculations
The effect estimates are:
A
= 8.33, B = -5.00, AB = 1.67
Practical interpretation?
Design-Expert analysis
Estimation of Factor Effects
Form Tentative Model
Model
Model
Model
Model
Error
Error
Term
Effect
SumSqr
% Contribution
Intercept
A
8.33333
208.333
64.4995
B
-5
75
23.2198
AB
1.66667
8.33333
2.57998
Lack Of Fit 0
0
P Error
31.3333
9.70072
Lenth's ME
Lenth's SME
6.15809
7.95671
Obs.: As somas de quadrados aqui são bastante simples.
Statistical Testing - ANOVA
The F-test for the “model” source is testing the significance of the
overall model; that is, is either A, B, or AB or some combination of
these effects important?
Residuals and Diagnostic Checking
The 23 Factorial Design
Effects in The 23 Factorial Design
A  y A  y A
B  yB  yB
C  yC   yC 
etc, etc, ...
Analysis
done via
computer
An Example of a 23 Factorial
Design
A = gap, B = Flow, C = Power, y = Etch Rate
Table of – and + Signs for the 23 Factorial Design (pg. 218)
Properties of the Table
• Except for column I, every column has an equal number of +
and – signs
• The sum of the product of signs in any two columns is zero
• Multiplying any column by I leaves that column unchanged
(identity element)
• The product of any two columns yields a column in the table:
A  B  AB
AB  BC  AB 2C  AC
• Orthogonal design
• Orthogonality is an important property shared by all factorial
designs
Estimation of Factor Effects
ANOVA Summary – Full Model
Model Interpretation
Cube plots are
often useful visual
displays of
experimental
results
Cube Plot of Ranges
What do the
large ranges
when gap and
power are at the
high level tell
you?