Eletricidade A - ENG04474
AULA IV
Linearidade
 Um circuito é linear quando as relações entre quaisquer tensões e
correntes do circuito são determinadas por uma função linear
f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2)
 Equações diferenciais lineares
d ni
di
d mv
dv
n
   1
  0i  m
   1
 0v    0
dt
dt
dt
dt
 Caso Particular: Funções Lineares Algébricas
v =  i +  ou i =  v + 
Exemplo
+
i
i
R1
2
I1
4
V1
10V
-
R2
2
+
v
-
R3
3
I2
5
i
I4
9
iReq +
Req
v
1
-
R2
2
+
v
-
R3
3
I4
i + I1 +
R3
3
i + 9 = iReq
v = 1iReq= 1( i + 9 )
V1
= iReq
R1
Req
v=
v = 1i + 9
R1
2
I1
4A
v=
R1R2
iReq
R1+R2
R1R2
R1R2 1
R1R2
i+
I1 +
V1
R1+R2
R1+R2 R1
R1+R2


v=i+
Princípio da Superposição
 Contribuição das Fontes Independentes
 Em circuitos lineares a tensão ou a corrente em cada bipolo é uma
combinação linear ponderada das fontes independentes do circuito.
 Exemplo:
v=
R1R2
R1R2
i+
R1+R2
R1+R2
I1 +
R1R2
1
R1+R2
R1
R1R2
1
R1+R2
R1
V1
v = R3 (- i )
v
v=
(
1+
R1R2
1
R1+R2
R3
1
(
1+
)
R1R2
R1R2
1
R1+R2
R3
)
R1+R2
1
=
R1R2
R1+R2
I1 +
I1 +
1
(
1+
R1R2
1
R1+R2
R3
)
V1
R1R2
1
R1+R2
R1
2
N
v ou i =  k . (Fonte Independente)k
k=1
V1
Superposição
 Aplicada para resolver circuitos
 Utilizada principalmente quando as fontes de um circuito geram sinais
elétricos com formas de onda diferentes ao longo do tempo.
• Ex. fontes de sinais constantes, sinais senoidais, sinais com forma de onda
quadrada ou triangular no mesmo circuito.
• Exemplo:
+
-
R1
2
V1
10V
I1
2sen(3t)
4
R2
2
+
v
R3
3
v = 1 . 10 + 2 2sen(3t)
-
 Em alguns casos pode ser empregada para simplificar o circuito.
Superposição
 Utilizando a Superposição
 Ativar apenas uma fonte independente no circuito, tornando nulas
(matando) todas as outras fontes independentes.
 Determinar a parcela da tensão ou corrente desejada para esta fonte
 Repetir  e  para as demais fontes independentes
 Somar as parcelas de tensão ou corrente desejadas
 Exemplo
I1
2A
+
v
-
Por Superposição
i
R1
3
i = I1+I2
v = R1 i
v = R1 I1+R1 I2
I2
3A
I1
2A
I1=0
+
v’
-
+
v’’
-
v = 1 I1+ 2 I2 = v’ + v’’
i’ = I1
i’
R1
3
I2=0
v’ = R1 I1
i’’ = I2
i’’
R1
3
v’ = R1 i’
I2
3A
v’’ = R1 i’’
v’’ = R1 I2
v = v’ + v’’
v = R1 I1+R1I2
Exemplo
R1
2
+
V1
10V
R2
2
I1
4A
-
I1=0
V1
10V
R3
3
R1
2
R1
2
+
+
v
-
R2
2
-
+
v’
-
V1=0
R3
3
I1
4A
R2
2
+
v’’
-
R3
3
R3R2
v’ =
(
R3+R2
R3R2
R1 +
R3+R2
)
v’’ =
V1
1
(
1
R1
+
1
R2
+
1
R3
v = v’’ + v’
R3R2
v=
1
(
1
R1
+
1
R2
+
1
R3
)
I1 +
(
R3+R2
R3R2
R1 +
R3+R2
)
V1
)
I1
Exemplo
 Superposição em circuitos com Fontes Dependentes
 As Fontes Dependentes NÃO PODEM SER MORTAS
R1
2
V2
8V2
i
+
+
-
2i
R1
2
I1=0
V1
10V
R2
2
-
I1
4A
V1
10V
i’ = (V1+8i’)/R2
i’(1-8/R2)=V1/R2
i’ = V1/(R2(1-8/R2)) = -1,66A
i’
R2
2
-
i’’ = V2/R2-I1
V2
8V2
i’’
2i
-
i
i’’ = 8i’’/R2-I1
+
+
i’ = (V1+V2)/R2
+
-
V2
8V2
i’
2i
i’’(1-8/R2)=-I1
R1
2
I1
4A
V1=0
i’’
i’’ = -I1/(1-8/R2)) = 1,33A
R2
2
i = i’ + i’’
i = V1/(R2(1-8/R2)) -I1/(1-8/R2))
i = -1,66 + 1,33 = -0,33A