Números Complexos
Conceito, formas algébrica
trigonométrica e operações.
e
Autor: Welber Neres
Conceito (parte I)
Os números complexos surgiram para
sanar uma das maiores dúvidas que
atormentavam os matemáticos: Qual o
resultado da operação x² + 1 = 0 ?
x² = -1  x = 1
Conceito (parte II)
Por isso, foi criado um número especial, que
denominamos
algebricamente
elevado
quadrado
ao
como
resulte
i,
que
em
-1,
matematicamente:
i² = -1 i =
1
Esse novo conceito possibilitou a resolução da
equação mostrada anteriormente
Conceito (parte III)
Desse modo:
x² + 1 = 0
x² = -1
x = 1
(como i = 1 )
x=i
Conclusão do conceito
Assim, foi criado um novo conjunto
numérico
denominado
conjunto
dos
números complexos ou conjunto dos
números imaginários, que representamos
pela letra C.
Conjunto dos números complexos = C.
Relação fundamental
O conjunto dos números complexos
possui,
desse
fundamental onde:
modo,
i  1
1
i  i
2
i   1
 i 3  i
0
a
relação
Potências de i (parte II)
Desse modo, para encontrar o resultado
de
qualquer
potência,
dividimos
o
expoente por 4 e resolvemos a potência
utilizando como expoente o resto da
divisão.
Exemplo
Ex:
1-Encontre o valor de i1047 .
RESPOSTA:
1047
3
4
261
Exercício
Qual o valor das seguintes expressões:
a) 8i12 + 5i6 – 10i7
b) -10i40+5i61–i15
RESPOSTAS:
a) 3+i
b)-10+6i
Forma algébrica (parte I)
O número complexo possui uma parte
real e outra imaginária. Como a parte
imaginária conta com a presença do i, sua
forma algébrica é:
Z = a + bi
Parte real
Parte
imaginária
Forma algébrica (parte II)
Um número complexo que não possui
parte real (a = 0) é denominado número
complexo puro. Um número complexo que
não possua a parte imaginária (b = 0) é
denominado número real.
Z = bi
Z=a
Igualdade entre complexos
Dados Z = a + bi e W = c + di, se Z = W,
então:
Z=W
a + bi = c + di
⇓
a=ceb=d
Exemplo
Se os números reais x e y são tais que
(3 – x) + 5i = y + (x – 1). Determine o valor
de x e y.
(3 – x) + 5i = y + (x – 1)
=
=
x–1=5
x=5+1
x=6
⇒
3–x=y
3-6=y
y = -3
Conjugado de um número complexo
Um número complexo z = a + bi possui
um conjugado que é representado por z,
onde:
z = a – bi
(lê-se conjugado de z)
Exemplos
Dados os números complexos, encontrar
seus respectivos conjugados:
z = 2 – 4i →z = 2 + 4i
z = i →z = -i
z = 1 + 2i →z = 1 - 2i
z = 2 →z = 2
Operações com números
complexos na forma algébrica
Como os números reais possuem forma
real e imaginária separadas, as operações
de
adição,
subtração,
multiplicação,
divisão e potenciação diferem um pouco
das habituais com números reais.
Adição e subtração com números
complexos na forma algébrica
Para somar e subtrair números complexos
deve-se efetuar as operações na parte real e
imaginária separadamente.
Ex:
1-Determine o valor de (2 + 4i) + (2 + 5i)
RESPOSTA:
(2 + 4i) + (2 + 5i) = (2 + 2) + (4 + 5)i
= 4 + 9i
Exemplos
(1 + 4i) – (2 - 7i) = -1 + 11i
(3 + i) – (4 + i) = -1
i + (2 + 4i) = 2 + 5i
Multiplicação com números
complexos na forma algébrica
Para efetuar a multiplicação aplica-se
simplesmente a distributiva
Ex:
1- Calcule o valor de (2 + 3i)(1 + i) .
RESPOSTA:
(2 + 3i)(1 + i) = 2 + 3i + 3i + 3i²
= 2 + 6i – 3.(-1)
= 2 + 6i + 3
= 5 + 6i
Exemplos
2 (1 + i) = 2 + 2i
(2 - i)(-3 + 2i) = -4 + 7i
i (3 + 5i) = -5 + 3i
Divisão com números complexos na
forma algébrica
Para se dividir números complexos, deve-se
multiplicar ambos os números pelo conjugado
do complexo do denominador.
z1 z1.z2

z2 z 2 .z 2
Exemplo
Ex:
3  2i
1 – Simplifique a expressão
1 i
RESPOSTA:
3  2i (3  2i )(1  i )

1 i
(1  i )(1  i )
3  3i  2i  2i 2

12  i 2
3  i  2  1 3  i  2 5  i



1   1
11
2
Exemplos
2i
4  7i

3  2i
13
6i
1  6i
i
Número complexo no plano de
Argand-Gauss
Os
números
complexos
podem
ser
representados num plano, onde a reta das
abscissas é a reta dos números reais e a
das ordenadas é a reta dos números
complexos. Esse plano é denominado
plano de Argand-Gauss.
Exemplo
Colocar no plano de Argand-Gauss o número
complexo z = 3 + 2i
y (reta imaginária)
4
3
2
1
z = 3 + 2i
1
2
3
4
x (reta dos reais)
Módulo e argumento de um número
complexo (parte I)
No gráfico, o módulo de um número
complexo z = a + bi é o segmento de reta
que vai do ponto origem O(0,0) até o ponto
do P(a, b) do número complexo z. O
argumento de z é o ângulo que esta forma
com o eixo das abscissas em sentido anti-
horário.
Módulo e argumento de um número
complexo (parte I)
z = a + bi

 = arg(z)
Módulo e argumento de um número
complexo (parte II)
a
z = a + bi

b
=arg(z)
b

sin   

a

 cos  



b
 tan  
a

  a b    a b
2
2
2
2
2
Forma trigonométrica
Utilizando as relações dadas no slide anterior
e aplicando-as à forma algébrica, obtemos a
forma trigonométrica de um número complexo.
sin  
cos  
b
 b   sin 

a

z  a  bi
 a   cos 
z   cos    sin  i
z   (cos   i sin  )
Exemplo
Ex:
1-Passar para a forma trigonométrica o número
complexo z = 1 + i 3
RESPOSTA:
 1 
2

3
sin
x


2

cos x  1

2
 3
2
 1 3  4  2
 

3
z   (cos  i sin  )



z  2  cos  i sin 
3
3

Operações com números complexos na
forma trigonométrica - Multiplicação
Para multiplicar números complexos
na forma trigonométrica utilizamos a
fórmula:
z1 z2  12 cos(1  2 )  i sin(1  2 )
Exemplo
Ex:
1-Sendo z1 e z2, calcule z1 . z2
z1  6(cos 20º i sin 20º )
z2  5(cos 40º i sin 40º )
RESPOSTA:
z1.z2  6.5 cos  20º  40º   i sin  20º  40º  
 30  cos60º i sin 60º 
Operações com números complexos na
forma trigonométrica - Divisão
A fórmula para efetuar a divisão entre
dois
números
complexos
na
forma
trigonométrica é a seguinte:
z1 1

cos 1   2   i sin 1   2  
z2  2
Exemplo
Ex:
1-Sendo z1 e z2, calcule z1 / z2
z1  10(cos80º i sin80º )
z2  2(cos35º i sin 35º )
RESPOSTA:
z1 10
 cos  80  35  i sin  80  35  
z2 2
 5  cos 45º i sin 45º 
Operações com números complexos na
forma trigonométrica - Potenciação
Para
efetuar
números
a
potenciação
complexos
na
entre
forma
trigonométrica utilizamos esta fórmula:
z   cos  n   i sin  n 
n
n
Exemplo
Ex:
1- Sendo z  3(cos15º i sin15º ) , calcule z5
RESPOSTA:
z  3 cos  5.15º   i sin  5.15º  
 243  cos 75º i sin 75º 
5
5
Operações com números complexos na
forma trigonométrica – Radiciação
De forma análoga à potenciação, para
efetuar
a
complexos
radiciação
na
forma
com
números
trigonométrica
utilizamos a formula:
wk 
n

   2k
 cos 
n


onde k = 0, 1, 2, 3, ..., n-1

   2k
  i sin 
n



 ;

Exemplo
Ex:
4
4
 i sin , ) calcule
1-Sendo z  16(cos
3
3
as 4 raízes.
4
z , encontrando
RESPOSTA:

 4

 4

2
k

 2 k




3
wk  4 16 cos  3

i
sin


4
4









  k 
  k  
wk  2 cos  

i
sin

 

2 
2  
3
3





 
CONTINUAÇÃO DO EXEMPLO
Agora para descobrimos as raízes desse complexo,
calcularemos os valores de Wk, para k = 0, 1, 2, 3 .
 w0  1  i 3
Para k = 1  w1   3  i
Para k = 2  w2  1  i 3
Para k = 0
Para k = 3
 w3  3  i