USP/ICMC/SMA - 2¯a Lista de Exercı́cios de SMA-300 - Geometria Analı́tica
Professor: Claudio Martins Mendes
23.03.2009
1. Dados os pontos A(3, −4, 2) e B(−2, 1, 0), determinar o ponto N pertencente ao segmento
−→
2 −→
AB tal que AN = AB
5
2. Dados os pontos A(1, −2, 3), B(2, 1, −4) e C(−1, −3, 1), determinar o ponto D tal que
−→ −−→ −
→
AB + CD = O .
3. Determinar os três vértices de um triângulo, sabendo que os pontos médios de seus lados são
M (5, 0, −2), N (3, 1, −3) e P (4, 2, 1).
4. Dado o vetor w
~ = (3, 2, 5), determinar a e b de modo que os vetores ~u = (3, 2, −1) e
−→
~v = (a, 6, b) + 2 w sejam paralelos.
5. Obter um ponto P do eixo das abscissas eqüidistante dos pontos A(3, −1, 4) e B(1, −2, −3).
6. Determinar o vetor ~v , paralelo ao vetor ~u = (2, −1, 3) tal que ~v .~u = −42.
7. Determinar o vetor ~v , ortogonal ao eixo 0y, ~v .v~1 = 8 e ~v .v~2 = −3, sendo v~1 = (3, 1, −2) e
v~2 = (−1, 1, 1).
8. Qual o valor de α para que os vetores ~a = α~i + 2~j − 4~k e ~b = 2~i + (1 − 2α)~j + 3~k sejam
ortogonais?
9. Provar que os pontos A(−1, 2, 3), B(−3, 6, 0) e C(−4, 7, 2) são vértices de um triângulo
retângulo.
10. Calcular os ângulos diretores do vetor ~v = (6, −2, 3).
11. Determinar os vetores projeção de ~v = 4~i − 3~j + 2~k sobre os eixos cartesianos x, y e z.
12. Sejam A(2, 1, 3), B(m, 3, 5) e C(0, 4, 1) vértices de um triângulo.
(a) Para que valor de m o triângulo ABC é retângulo em A?
(b) Calcular a medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC.
(c) Determinar o ponto H, pé da altura relativa ao vértice A.
−→
−→
(d) Mostrar queAH⊥ BC.
13. Determinar o valor de α para que seja 45o o ângulo entre os vetores ~u = (2, 1) e ~v = (1, a).
14. Decomponha o vetor w
~ = (−1, −3, 2) como soma de dois vetores w~1 e w~2 , com w~1 paralelo ao
vetor (0, 1, 3) e w~2 ortogonal a este último.
−→
−→
−→
−→
15. Calcule AB · DA e AB · CD, sabendo que o tetraedro ABCD é regular, de aresta unitária.
Algumas Respostas:
(1) N (1, −2, −6/5)
(2) D(−2, −6, 8)
(3) (4, −1, −6), (6, 1, 2) e (2, 3, 0)
(4) a = 9 e b = −15
(5) P (3, 0, 0)
(6) (−6, 3, −9)
(7) (2, 0, −1)
−→ −−→
(8) −5
(9) BA · BC = 0
0
(10) α = arccos(6/7) ' 310 ,
β = arccos(−2/7) ' 107
γ = arccos(3/7) ' 650
√ ,
51 87 94
9 26
(12c) H( , , )
(11) 4~i, −3~j e 2~k
(12a) m = 3
(12b)
26
26 26 26
1
1
−1
−1
(14) w~1 = (0, 3, 9) e w~2 = (−1, −33, 11)
(15)
e 0
(13) 3 ou
3
10
10
2